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2006年安徽高考文科数学真题及答案.doc
2006 年安徽高考文科数学真题及答案
参考公式：
)
如果时间 A、B 互斥，那么 (
P A B
如果时间 A、B 相互独立，那么 (
P A B
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P，那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概
(
)
(
)
P B
P A
)
(
(
)
P A P B
)
率
P k
n
k
k
n
C P
1
球的表面积公式
球的体积公式
V
n k
P
4
S
R
4
3
R
3
2
，其中 R 表示球的半径
，其中 R 表示球的半径
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
只有一项是符合题目要求的。
（1）设全集
U
{1,2,3,4,5,6,7,8}
，集合 {1,3,5}
S
， {3,6}
T
，则
UC S T 等
B．{2,4,7,8}
C．{1,3,5,6}
D．{2,4,6,8}
于（ ）
A．
（2）不等式
1
x
1
2
的解集是（ ）
y
y
)
B． (2,
,2)
A．(
1(
x
)
x R
y
e
的反函数是（
（3）函数
0)
B． 1 ln (
A． 1 ln (
x x
x x
0)
1 ln (
x x
D．
C．
x ”是 2
4
（4）“ 3
x “的（
A．必要不充分条件
C．充分必要条件
）
y
D． (
,2)
(2,
)
C． (0,2)
）
y
0)
1 ln (
x x
0)
B．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
（5）若抛物线 2
y
2
px
的焦点与椭圆
的右焦点重合，则 p 的值为（ ）
1
A． 2
（6）表面积为 2 3 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为
B． 2
D． 4
2
y
2
2
x
6
C． 4
D．
2 2
3
2
3
0)
没有公共点，则 a 的取值范围是
D． (0, 2 1)
2 1, 2 1)
，下列结论正确的是（ ）
2
x
B．
C．
A．
2
3
1
3
1
2
ay
B． ( 2 1, 2 1)
1 (0
y 与圆 2
x
sin
x
sin
（7）直线
A．(0, 2 1)
（8）对于函数
f x
A．有最大值而无最小值 B．有最小值而无最大值
C．有最大值且有最小值 D．既无最大值又无最小值
0(
a
C．(
)
x
x
y
（9）将函数 sin
y
x
(
的图象按向量
0)
示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（ ）
)
6
B． sin(
A． sin(
)
6
y
x
y
x
a
6
,0
平移，平移后的图象如图所
D． sin(2
x
)
3
x
x
y
)
C． sin(2
y
3
（10）如果实数 x
y、 满足条件
y
1 0
y
1 0
y
x
A． 2
，那么 2x
1 0
B．1
D． 3
y 的最大值为（ ）
C． 2
A B C
的三个内角的余弦值分别
的三个内角的正弦值，则（ ）
A B C
（11）如果 1 1
1
A B C
等于 2
2
2
A B C
A． 1 1
1
A B C
B． 1 1
1
A B C
C． 1 1
1
A B C
D． 1 1
1
（12）在正方体上任选 3 个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰．．三角形的概
和 2
A B C
是钝角三角形， 2
是锐角三角形， 2
2
都是钝角三角形
A B C
A B C
都是锐角三角形
是锐角三角形
是钝角三角形
和 2
2
2
2
2
2
2
2
率为（ ）
A．
1
7
B．
2
7
C．
3
7
D．
4
7
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）
注意事项：
请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡．．．上书写作答，在试题卷上书写作答无效
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案填写在答题卡的相应位
．．．．．．．．．．．。
置。
（13）设常数 0
a ，
展开式中 3x 的系数为
4
中，
2
1
x
ax
,
AB a AD b AN
,
3
NC
3
2
，则 a ＝_____。
，M 为 BC 的中点，则 MN
_______。
（14）在 ABCD
（用 a b
、表示）
（15）函数
f x 对于任意实数 x 满足条件
f x
2
，若 1
f
则
5,
1
f x
f
__________。
5
f
（16）平行四边形的一个顶点 A 在平面内，其余顶点在的同侧，已知其中有两个
顶点到的距离分别为 1 和 2 ，那么剩下的一个顶点到平面的距离可能是：
②2；
①1；
以上结论正确的为______________。（写出所有正确结论的编号．．）
④4；
③3；
C
D
B
A
第 16 题
三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
（17）（本大题满分 12 分）已知
（Ⅰ）求
2
2
sin
cos
sin 2
cos 2
的值；
0
2
,sin
4
5
（Ⅱ）求
tan(
5
)
4
的值。
（18）（本大题满分 12 分）在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对
各种不同的搭配方式作比较。在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂。现有
芳香度分别为 0，1，2，3，4，5 的六种添加剂可供选用。根据试验设计原理，通常首先要
随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验。
（Ⅰ）求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于 4 的概率；
（Ⅱ）求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于 3 的概率；
（19）（本大题满分 12 分）如图，P 是边长为 1 的正六边形
PA ，P 在平面 ABC 内的射影为 BF
1
ABCDEF 所在平面外一点，
的中点 O。
（Ⅰ）证明 PA ⊥ BF ；
（Ⅱ）求面 APB 与面 DPB 所成二面角的大小。
（20）（本大题满分 12 分）设函数
，已知 ( )
g x
cx x R
bx
x
(
)
3
2
f x
数。
（Ⅰ）求b 、 c 的值。
（Ⅱ）求 ( )g x 的单调区间与极值。
( )
f x
f x
( )
是奇函
P
F
A
H
O
B
第 19 题
E
C
D
（21）（本大题满分 12 分）在等差数列 na 中， 1 1
1,2,
，
n
n
S
2
S
n
4
n
n
2 ,
1
（Ⅰ）求数列 na 的通项公式；
（Ⅱ）记
na
b
n
a p
n
(
p
，求数列 nb 的前 n 项和 nT 。
0)
2
2
（22）（本大题满分 14 分）如图，F 为双曲线 C：
y
b
x
a
点，且位于 x 轴上方，M 为左准线上一点，O 为坐标原点。
的右焦点。P 为双曲线 C 右支上一
0,
1
0
a
b
2
2
a ，前 n 项和 nS 满足条件
y
O
M
N
H
P
x
F
第 22 题图
已知四边形OFPM 为平行四边形， PF
。
（Ⅰ）写出双曲线 C 的离心率 e 与的关系式；
（Ⅱ）当 1 时，经过焦点 F 且平行于 OP 的直线交双曲线于 A、B 点，若
OF
AB ，
12
求此时的双曲线方程。
2006 年安徽高考文科数学真题参考答案
1、解：
2、解：由
S T
1
2
1x
e
，则
UC S T ＝{2,4,7,8} ，故选 B
{1,3,5,6}
2
1
x
2
2
x
得： 1 ln ,
y
即x=-1+lny ，所以
，即 (2
得：
1
x
y
x
1
x
) 0
，故选 D。
0
x
y
x
3、解：由
D。
4、解：条件集是结论集的子集，所以选 B。
1 ln (
x x
为所求，故选
0)
2
x
6
2
y
2
5、解：椭圆
故选 D。
的右焦点为(2,0)，所以抛物线 2
y
1
2
px
的焦点为(2,0)，则
p ，
4
6、解：此正八面体是每个面的边长均为 a 的正三角形，所以由
8
23
a
4
2 3
知， 1a ，
x
y 大于 a ，且 0
a ，选 A。
1
的值域为函数
)
x
是一个减函减，故选 B。
(0,1]
a
,0
6
7
3
)
2
12
6
平移，平移后的图象所对应的
，所以
2 ，因此选 C。
2
y
8、解：令 sin ,
x t
则此球的直径为 2 ，故选 A。
7、解：由圆 2
0(
a
x
，则函数
f x
11
t
2
ay
(0,1]
11
t
的值域，而
(0,1]
y
y
t
t
t
,
,
0)
的圆心 (0, )a 到直线
1 (0
sin
x
sin
x
9、解：将函数 sin
y
x
(
的图象按向量
0)
)
6
t
(
y
y
A
2
sin
cos
，由图象知，
解析式为 sin (
10、解：当直线 2x
A B C
11、解： 1 1
1
sin
x
过点(0，-1)时，t 最大，故选 B。
A B C
的三个内角的余弦值均大于 0，则 1 1
1
2
2
2
2
2
2
是钝角三角形。故选 D。
所以 2
12、解：在正方体上任选 3 个顶点连成三角形可得 3
C
锐角三角形，由
A B C
sin(
sin(
sin(
cos
cos
sin
C
1
C
1
B
2
B
2
A
2
，得
B
1
B
1
A
1
A
1
C
)
)
)
2
2
2
2
是锐角三角形，若 2
A B C
2
是
2
A
1
B
1
A
，那么， 2
B C
2
2
，
2
C
1
则每个顶点上可得三个(即正方体的一边与过此点的一条面对角线)，共有 24 个，得
所以选 C。
24
3
C
8
，
8C 个三角形，要得直角非等腰．．三角形，
13、解：
14、解：
MN
3
4
r
C a
4
rT
1
AN
由
(
a b
)
r
4
x
3
NC
(
a
15、解：由
f x
2
则
f
5
f
f
( 5)
r
r
8 2
x
，由
3A =3(
C
1
b
a
4
1
4
得
f x
4
。
8 2
r
1
2
x
AN
1
2
4
得
)
b
1
f x
( 1)
f
1
( 1 2)
f
1
f x
1
5
。
1
2
r
x
a b
)
r
=
3
2
知a= 。
1
2
3
x
，
2,
,
r
得
AM a
r
4
4
C a 由
1
2
b
，所以
( )
f x
，所以 (5)
f
f
(1)
，
5
2
2
sin
3cos
2sin cos
2
1
tan
（Ⅱ）∵
2
20
sin
cos
。
16、解：如图，B、D 到平面的距离为 1、2，则 D、B 的中点到平面的距离为
C 到平面的距离为 3；
3
2
，所以
B、C 到平面的距离为 1、2，D 到平面的距离为 x ，则 1 2
x
x
或
2 1
，即 1x ，
所以 D 到平面的距离为 1；
C、D 到平面的距离为 1、2，同理可得 B 到平面的距离为 1；所以选①③。
17、解：(Ⅰ)由
0
,sin
，得
4
5
cos
，所以
3
5
2
2
sin
cos
sin 2
cos 2
＝
，∴
4
3
tan(
5
)
4
tan
1
1 tan
1
7
。
18、解：设“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于 4”的事件为 A，“所选用的两种
不同的添加剂的芳香度之和不小于 3”的事件为 B
2
15
（Ⅰ）芳香度之和等于 4 的取法有 2 种： (0,4) 、 (1,3) ，故
（Ⅱ）芳香度之和等于 1 的取法有 1 种：(0,1) ；芳香度之和等于 2 的取法有 1 种：(0,2) ，
(
P B
(
P A 。
) 1 (
。
)
)
故
1
2
C
6
1
2
C
6
13
15
19、解：（Ⅰ）在正六边形 ABCDEF 中， ABF
∵P 在平面 ABC 内的射影为 O，∴PO⊥平面 ABF，∴AO 为 PA 在平面 ABF 内的射影；∵O
为等腰三角形，
为 BF 中点，∴AO⊥BF，∴PA⊥BF。
（Ⅱ）∵PO⊥平面 ABF，∴平面 PBF⊥平面 ABC；而 O 为 BF 中点，ABCDEF 是正六边形 ，
∴A、O、D 共线，且直线 AD⊥BF，则 AD⊥平面 PBF；又∵正六边形 ABCDEF 的边长为 1，∴
AO ，
DO ，
BO
1
2
3
2
3
2
。
过 O 在平面 POB 内作 OH⊥PB 于 H，连 AH、DH，则 AH⊥PB，DH⊥PB，所以 AHD
为所
求二面角平面角。
在 AHO
中，OH=
6
4
，
tan
AHO
AO
OH
1
2
6
4
=
6
3
。
在 DHO
中，
tan
DHO
DO
OH
3
2
6
4
；
6
而
tan
AHD
tan(
AHO
DHO
)
1
6
3
6
3
6
6
4 6
3
（Ⅱ）以 O 为坐标原点，建立空间直角坐标系，P(0,0，1)，A(0，
0,0)，D(0,2，0)，∴
PA
(0,
1
2
, 1)
，
PB
3(
2
,0, 1)
，
PD
(0,2, 1)
n
设平面 PAB 的法向量为 1
(
,
x y
1
1
,1)
，则 1n
PA
， 1n
PB
，得
n
1
(
2 3
3
, 2,1)
；
n
设平面 PDB 的法向量为 2
(
,
x y
2
2
,1)
，则 2n
PD
， 2n
PB
，得
,0)，B(
1
2
3
2
，
1
2
3
2
y
1
1 0
x
1
1 0
，
2
y
3
2
1 0
2
，
x
2
1 0
。从而
(
c
c
3)
x
2
2 )
b x c
是
，由此可知，
n
2
(
；
,1)
,
2 3 1
2
3
,
n n
1
2
2
2
x
cos
( )
f x
n n
2
1
|
|
|
|
n
n
2
1
20、证明（Ⅰ）∵
，∴
3
2
bx
bx
cx
x
f
f x
2
3
(
( )
2
(3
( )
b
cx
bx
bx
g x
f x
x
c ，由奇函数定义得 3b ；
得 0
一个奇函数，所以 (0) 0
g
( )
6
6
x
g x
) 是函数 ( )g x 是单调递增区间；
23
x
x
＝ 3
)
c
x
，从而
( ) 3
g x
,
2)
2, 2)
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
(
和 ( 2,
(
是函数 ( )g x 是单调递减区间；
( )g x 在
极小值为 4 2
S
21、解：（Ⅰ）设等差数列 na 的公差为 d ,由 2
S
n
a
1
x 时，取得极大值，极大值为 4 2 ， ( )g x 在
2
。
a
n
2
x
x
3
4
n
n
2
1
n
S
2
S
n
即
d
a
2
1 1
a
，又
所以 na
n 。
x 时，取得极小值，
2
n
4
n
n
2
1
a
得： 1
a
2
a
1
，所以 2
a ，
2
3
2(
a
n
a
n
nd
a
a
1
)
＝
1
2(
1)
a
n
a
n
1
n
，
nd
2
2
n
a
2
n
a
1
n
a p
n
T
n
na
n
nb
np
n
。所以
nT
p
2
2
p
3
3
p
(
n
1)
p
n
1
np
n
，
，得
1
2
；
（Ⅱ）由
b
n
当 1p 时，
当 1p 时，
2
npT
p
2
(1
)
P T
n
3
p
4
3
p
(
n
1)
p
n
1
n
np
，
3
p
p
n
1
n
p
np
n
1
n
)
p
(1
1
p
p
np
n
1
p
1
。
np
n
1
,
p
1
2
p
n
p
1,
2
(1
)
p
1
p
n
p
即
T
n
22、解：∵四边形OFPM 是 ，∴|
|
PM PH
|
|
2
| 2 a
c
，又
e
|
|
PF
PH
|
|
，作双曲线的右准线交 PM 于 H，则
OF
|
c
|
|
|
PM c
|
c
OF
2
a
c
2
2
c
2
c
2
2
a
c
2
e
2
e
2
2
，
2
a
c
2
e
2 0
。
e
（Ⅱ）当 1 时， 2
e ， 2
a ， 2
b
c
则
x MP
0
|
|
|
ON c
|
2
a
c
，
3
a
2
OP 的斜率为
，则直线 AB 的方程为
a ，双曲线为
23
2
x
4
a
2
2
y
3
a
2
，设 P
1
(
x y ，
0
)
,
0
|
|
y MN
0
15 (
3
y
x
|
OM
2
|
|
ON
2
|
a
15
2
，所以直线
2 )
a
，代入到双曲线方程得：
15
3
29
12
2
4
x
2
a
20
ax
AB ，由
又
12
1
5
3
2
25
a
0
，
AB
29
a
4
4
1
k
2
(
x
1
x
2
2
)
4
x x
1 2
得：
2
12
a
，解得 1a ，则 2
b ，所以
3
2
x
2
y
3
为所求。
1
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