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2006年安徽高考理科数学真题及答案.doc
2006 年安徽高考理科数学真题及答案
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
（1）、复数
1
3
3
i
i
等于
A．i
B． i
C． 3 i
D． 3 i
（2）、设集合
A
x x
2
2,
x R
，
B
y
x
，则
2, 1
RC A B 等
x
2
于
A． R
B．
,
x x R x
0
C． 0
D．
（3）、若抛物线 2
y
2
px
的焦点与椭圆
2
x
6
2
y
2
的右焦点重合，则 p 的值为
1
A． 2
B． 2
C． 4
D． 4
（4）、设 ,a
Rb
，已知命题 :p a b ；命题
q
:
a b
2
2
2
a
2
b
2
，则 p 是 q 成立的
A．必要不充分条件
C．充分必要条件
B．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
2 ,x
x
0
（5）、函数 y
的反函数是
2x ,
x
0
，
x
0
x ，
x
0
，
x
0
x
2
x
2
A． y
C． y
2 ,x
x
0
x ，
2 ,x
x
0
x
0
B． y
D． y
，
x
x
0
，
x
x
0
（6）、将函数 sin
y
x
(
的图象按向量
0)
a
6
,0
平移，平移后的
图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是
A． sin(
y
B． sin(
y
x
x
C． sin(2
y
D． sin(2
y
x
x
)
6
)
6
)
3
)
3
（7）、若曲线
y
4
x 的一条切线l 与直线 4
y
x
垂直，则l 的方程为
8 0
A． 4
x
y
3 0
B． 4
y
x
5 0
C． 4
x
y
3 0
D． 4
y
x
3 0
（8）、设 0
a ，对于函数
f x
A．有最大值而无最小值
B．有最小值而无最大值
C．有最大值且有最小值
D．既无最大值又无最小值
sin
x a
x
sin
(0
，下列结论正确的是
)
x
（9）、表面积为 2 3 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为
A．
2
3
B．
1
3
C．
2
3
x
y ，
1 0
D．
2 2
3
（10）、如果实数 x
y、 满足条件
y ，
1 0
那么 2x
y 的最大值为
A． 2
B．1
C． 2
D． 3
x
y ，
1 0
A B C
（11）、如果 1 1
1
的三个内角的余弦值分别等于 2
A B C
2
的三个内角的正弦值，则
2
A B C
A． 1 1
1
A B C
B． 1 1
1
A B C
C． 1 1
1
和 2
A B C
2
和 2
A B C
2
都是锐角三角形
都是钝角三角形
2
2
是钝角三角形， 2
A B C
2
是锐角三角形
2
A B C
D． 1 1
1
是锐角三角形， 2
A B C
2
是钝角三角形
2
（12）、在正方体上任选 3 个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰三角形的概
率为
A．
1
7
B．
2
7
C．
3
7
D．
4
7
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）
注意事项：
请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上书写作答无效。
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案填写在答题卡的相应位置。
（ 13 ）、 设 常 数
a ，
0
2
ax
4
1
x
展 开 式 中 3x 的 系 数 为
3
2
， 则
lim(
n
a a
2
a
)n
__________。
（14）、在 ABCD
（用 a b、 表示）
AB a AD b AN
,
,
中，
3
NC
，M 为 BC 的中点，则 MN
_______。
（15）、函数
f x 对于任意实数 x 满足条件
f x
2
1
f x
，
若 1
f
则
5,
f
f
5
_______________。
（16）、多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，
正方体的一个顶点 A 在平面内，其余顶点在的同侧，正方体上
与顶点 A 相邻的三个顶点到的距离分别为 1，2 和 4，P 是正方体
的其余四个顶点中的一个，则 P 到平面的距离可能是：
①3；
②4；
③5；
④6；
⑤7
以上结论正确的为________________________。（写出所有正
B1
C1
A1
B
D1
C
D
A1
A
第 16 题图
确结论的编号）
三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
（17）、（本大题满分 12 分）
3
4
cot
已知
, tan
（Ⅰ）求 tan的值；
10
3
5sin
2
2
（Ⅱ）求
8sin
cos
2
2
2 sin
2
11cos
2
2
8
的值。
（18）、（本大题满分 12 分）
在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较。
在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂。现有芳香度分别为 0，1，2，3，4，
5 的六种添加剂可供选用。根据试验设计原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行
搭配试验。用表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和。
（Ⅰ）写出的分布列；（以列表的形式给出结论，不必写计算过程）
（Ⅱ）求的数学期望 E。（要求写出计算过程或说明道理）
PA ，P 在平面 ABC 内的射影为 BF 的中点 O。
（19）、（本大题满分 12 分）
如图，P 是边长为 1 的正六边形 ABCDEF 所在平面外一点，
1
（Ⅰ）证明 PA ⊥ BF ；
（Ⅱ）求面 APB 与面 DPB 所成二面角的大小。
（20）、（本大题满分 12 分）
已知函数
f x 在 R 上有定义，对任何实数 0
a 和任何实
P
F
A
H
O
B
第 19 题
E
C
D
数 x ，都有
f ax
af x
（Ⅰ）证明 0
f
；
0
,kx
x ，
0
（Ⅱ）证明
f x
其中 k 和 h 均为常数；
,hx
x ，
0
（Ⅲ）当（Ⅱ）中的 0
k 时，设
g x
1
f x
f x
(
x
，讨论
g x 在
0)
0,
内的单调性并求极值。
（21）、（本大题满分 12 分）
数列 na 的前 n 项和为 nS ，已知
a
1
1 ,
2
S
n
2
n a
n
n n
1 ,
n
1,2,
（Ⅰ）写出 nS 与 1nS 的递推关系式
n ，并求 nS 关于 n 的表达式；
2
（Ⅱ）设
f
n
x
S
n
n
n
1
x
,
b
n
f
/
n
p
，求数列 nb 的前 n 项和 nT 。
p R
（22）、（本大题满分 14 分）
x
如图，F 为双曲线 C：
a
2
2
2
2
y
b
1
a
0,
b
的
0
右焦点。P 为双曲线 C 右支上一点，且位于 x 轴上方，
M 为 左 准 线 上 一 点 ， O 为 坐 标 原 点 。 已 知 四 边 形
OFPM 为平行四边形， PF
OF
。
（Ⅰ）写出双曲线 C 的离心率 e 与的关系式；
（Ⅱ）当 1 时，经过焦点 F 且品行于 OP 的直
AB ，求此时的双曲
12
线交双曲线于 A、B 点，若
y
O
M
H
P
x
F
第 22 题图
线方程。
2006 年安徽高考理科数学真题参考答案
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。
等于（ ）
1
3
3
i
i
（1）复数
A．i
1
解：
3
3
i
i
（2）设集合
A
1
(1
i
x x
B． i
3
i
3 )
i
2
故选 A
1
i
i
，
2,
x R
B
C． 3 i
D． 3 i
|
y y
x
2
，则
, 1
RC A B
2
x
等于（ ）
A． R
解：
A
[0,2]
，
B．
[ 4,0]
B
（3）若抛物线 2
y
2
px
的焦点与椭圆
A． 2
解：椭圆
2
x
6
p ，故选 D。
4
R
0
,
x x R x
，所以
C A B
2
2
y
x
6
2
C． 4
C． 0
{0}
C
R
，故选 B。
D．
的右焦点重合，则 p 的值为（ ）
1
D． 4
B． 2
2
y
2
的右焦点为(2,0)，所以抛物线 2
y
1
2
px
的焦点为(2,0)，则
（4）设 ,a
Rb
，已知命题 :p a
b ；命题
q
:
a b
2
2
2
a
2
b
2
，则 p 是 q 成立的
（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条
件
解：命题 :p a
b 是命题
q
:
（5）函数
y
0
2 ,
x x
2
,
0
x x
a b
2
2
2
a
2
b
2
等号成立的条件，故选 B。
的反函数是（ ）
y
A．
0
x x
,
2
,
x x
0
y
B．
0
2 ,
x x
,
0
x x
y
C．
x x
,
2
,
x x
0
0
y
D．
2 ,
x x
,
x x
0
0
解：有关分段函数的反函数的求法，选 C。
y
（6）将函数 sin
平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的
解析式是（ ）
的图象按向量
6
x
,0
0)
(
a
x
y
A． sin(
)
6
)
3
解：将函数 sin
C． sin(2
y
x
y
B． sin(
y
x
D． sin(2
y
x
)
6
)
3
x
(
的图象按向量
0)
a
,0
6
)
6
平移，平移后的图象所对应的解析式为 sin (
y
x
，由图
象知，
(
7
3
2
12
4
)
，所以
2 ，因此选 C。
6
y
（7）若曲线
D． 4
3 0
A． 4
3 0
B． 4
y
y
y
8 0
解：与直线 4
0
垂直的直线l 为 4
y
x
x 在某一点的导数为
y
，即
，所以
4
x 在(1，1)处导数为 4，此点的切线为 4
x
y ，故选 A
y
垂直，则 l 的方程为（ ）
3 0
x
y m
x 的一条切线l 与直线 4
y
C． 4
x
8 0
y
5 0
3 0
x
x
x
x
y
4
4，而
34
x
a ，对于函数
f x
（8）设 0
sin
x a
x
sin
(0
，下列结论正确的是（ ）
)
x
解：令 sin ,
x t
A．有最大值而无最小值 B．有最小值而无最大值
C．有最大值且有最小值 D．既无最大值又无最小值
x a
sin
x
a
a ，所以 1
,
t
的值域，又 0
，则函数
f x
(0,1]
(0,1]
sin
a
t
y
t
t
t
,
y
1
(0
的值域为函数
)
x
(0,1]
是一个减函减，故选 B。
（9）表面积为 2 3 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为
A．
2
3
B．
1
3
C．
2
3
解：此正八面体是每个面的边长均为 a 的正三角形，所以由
8
2 2
3
2 3
知， 1a ，
D．
23
a
4
则此球的直径为 2 ，故选 A。
（10）如果实数 x
y、 满足条件
x
1 0
y
1 0
y
1 0
x
y
C． 2
A． 2
解：当直线 2x
y
过点(0，-1)时，t 最大，故选 B。
A B C
（11）如果 1 1
1
t
的三个内角的余弦值分别等于 2
B．1
A B C
2
D． 3
的三个内角的正弦值，则
2
（ ）
，那么 2x
y 的最大值为（ ）
A B C
B． 1 1
1
和 2
A B C
2
都是钝角三角形
2
2
2
2
2
2
2
A B C
是钝角三角形
都是锐角三角形
A B C
A B C
是锐角三角形
A B C
A． 1 1
1
A B C
C． 1 1
1
A B C
D． 1 1
1
A B C
解： 1 1
1
sin
和 2
是钝角三角形， 2
是锐角三角形， 2
A B C
的三个内角的余弦值均大于 0，则 1 1
1
2
2
2
2
2
2
是钝角三角形。故选 D。
C
sin(
sin(
sin(
cos
cos
cos
sin
sin
C
1
C
1
B
2
B
2
A
2
A
2
，得
A
1
)
B
1
)
B
1
A
1
C
2
2
)
锐角三角形，由
是锐角三角形，若 2
A B C
2
是
2
A
1
B
1
A
，那么， 2
B C
2
2
，
2
C
1
所以 2
A B C
（12）在正方体上任选 3 个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰．．三角形的概
2
2
率为（ ）
A．
1
7
B．
C．
2
7
3
7
D．
4
7
解：在正方体上任选 3 个顶点连成三角形可得 3
8C 个三角形，要得直角非等腰．．三角形，
24
则每个顶点上可得三个(即正方体的一边与过此点的一条面对角线)，共有 24 个，得 3
C
8
，
所以选 C。
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案填写在答题卡的相应位
置。
（13）设常数 0
a ，
2
ax
4
1
x
展开式中 3x 的系数为
3
2
，则
lim(
n
a a
2
a
)n
_____。
解：
rT
1
r
C a
4
4
r
x
8 2
r
1
2
r
x
，由
8 2
r
x
x
1
2
r
3
x
,
得
r
2,
4
C a 由
r
4
r
=
3
2
知a= ，所以
1
2
lim(
n
a a
2
a
n
)
（14）在 ABCD
（用 a b
、表示）
AN
由
(
a b
3
NC
(
a
MN
解：
)
3
4
，所以为 1。
1
2
111
2
,
AB a AD b AN
,
中，
AN
1
4
3A =3(
C
1
b
a
4
4
得
b
1
2
)
。
3
NC
，M 为 BC 的中点，则 MN
_______。
a b
)
AM a
，
b
1
2
，所以
f x 对于任意实数 x 满足条件
f x
（15）函数
5
f
f
__________。
2
1
f x
，若 1
f
则
5,
( )
f x
，所以 (5)
f
f
(1)
，则
5
解：由
f x
2
f
5
f
f
( 5)
f
1
f x
( 1)
得
f x
4
1
( 1 2)
f
2
1
f x
1
5
。
（16）多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方
体的一个顶点 A 在平面内，其余顶点在的同侧，正方体上与顶点 A
相邻的三个顶点到的距离分别为 1，2 和 4，P 是正方体的其余四个顶点
中的一个，则 P 到平面的距离可能是：
④6；
①3；
以上结论正确的为______________。（写出所有正确结论的编号．．）
解：如图，B、D、A1 到平面的距离分别为 1、2、4，则 D、A1 的中
②4；
③5；
⑤7
点到平面的距离为 3，所以 D1 到平面的距离为 6；B、A1 的中点到平面的距离为
所以 B1 到平面的距离为 5；则 D、B 的中点到平面的距离为
，所以 C 到平面的距离
3
2
为 3；C、A1 的中点到平面的距离为
D1 中的一点，所以选①③④⑤。
7
2
，所以 C1 到平面的距离为 7；而 P 为 C、C1、B1、
三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
（17）（本大题满分 12 分）已知
（Ⅰ）求 tan的值；
5sin
2
（Ⅱ）求
2
8sin
3
4
, tan
cot
10
3
2
2
8
的值。
B1
C1
A1
B
D1
C
D
A1
A
第 16 题图
5
2
，
cot
1
3
8sin
11cos
cos
2
2
2 sin
2
10
3tan
3
得
，又
3
4
cos
2
2
2 sin
2
11 11cos
解：(Ⅰ)由
tan
2
10 tan
，即
tan
3
或
tan
，所以
tan
为所求。
5sin
2
2
（Ⅱ）
11cos
2
2
8
5
=
1+cos
2
8
4sin
11
2 cos
3 0
1
3
1-cos
2
5 5cos
=
8sin
2 2 cos
16
=
8sin
2 2 cos
6cos
6
8tan
2 2
=
5 2
6
。
（18）（本大题满分 12 分）在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对
各种不同的搭配方式作比较。在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂。现有
芳香度分别为 0，1，2，3，4，5 的六种添加剂可供选用。根据试验设计原理，通常首先要
随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验。用表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度之
和。
（Ⅰ）写出的分布列；（以列表的形式给出结论，不必写计算过程）
（Ⅱ）求的数学期望 E。（要求写出计算过程或说明道理）
解：（Ⅰ）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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