第七章 平稳时间序列预测法 基本内容 一、概述 1、 时间序列 ty 取自某一个随机过程，如果此随机过程的随机特征不随时间变化，则我们称 过程是平稳的；假如该随机过程的随机特征随时间变化，则称过程是非平稳的。 2、 宽平稳时间序列的定义：设时间序列 ty ，对于任意的t , k 和 m ，满足：  yE t     yE mt    kt cov  , yy t 则称 ty 宽平稳。 cov  y mt  kmt  y , 3、Box-Jenkins 方法是一种理论较为完善的统计预测方法。他们的工作为实际工作者提供了 对时间序列进行分析、预测，以及对 ARMA 模型识别、估计和诊断的系统方法。使 ARMA 模型的建立有了一套完整、正规、结构化的建模方法，并且具有统计上的完善性和牢固的理 论基础。 4、ARMA 模型三种基本形式：自回归模型（AR：Auto-regressive），移动平均模型（MA： Moving-Average）和混合模型（ARMA：Auto-regressive Moving-Average）。 （1） 自回归模型 AR(p)：如果时间序列 ty 满足 y    t  p  1 ... pt   y y 1  t t 其中 t 是独立同分布的随机变量序列，且满足：   0tE  ，  Var  t  2  0 则称时间序列 ty 服从 p 阶自回归模型。或者记为   平 稳条 件 ：滞 后 算子 多 项式    1  ... B B   1  yB t y  kt 。 p B  p 的 根均 在 单位 圆 外， 即   0B 的根大于 1。 （2） 移动平均模型 MA(q)：如果时间序列 ty 满足 ty   t  1 t  ... 1  则称时间序列 ty 服从 q 阶移动平均模型。或者记为 y t 平稳条件：任何条件下都平稳。 （3） ARMA(p,q)模型：如果时间序列 ty 满足  t  B  。  q qt  y t   1 y t 1   ...  p y pt    t  1 t  ... 1   q qt  则称时间序列 ty 服从(p,q)阶自回归移动平均模型。或者记为    yB t   t   B 。 

特殊情况：q=0,模型即为 AR(p)，p=0, 模型即为 MA(q)。 二、时间序列的自相关分析 1、自相关分析法是进行时间序列分析的有效方法，它简单易行、较为直观，根据绘制 的自相关分析图和偏自相关分析图，我们可以初步地识别平稳序列的模型类型和模型阶 数。利用自相关分析法可以测定时间序列的随机性和平稳性，以及时间序列的季节性。 2、自相关函数的定义：滞后期为 k 的自协方差函数为： r k  cov  y kt  , t y ，则 ty 的 自相关函数为：  k  r k  y y kt  ，其中 t 2  y t  yE t   yE t  2 。当序列平稳时，自相关 函数可写为： k  rk 0r 。 3、 样本自相关函数为： ˆ k  kn   t 1   y t   yy kt    y  y t  2  y n  t 1  ，其中 y  n  t 1  t / ny ，它可以说明 不同时期的数据之间的相关程度，其取值范围在-1 到 1 之间，值越接近于 1，说明 时间序列的自相关程度越高。 4、 样本的偏自相关函数： 1ˆ 1k kkˆ ˆ  k  k 1   ˆ ˆ  k ,1  k j  j ,...3,2k k 1 j  1  ˆ ˆ  k ,1  k j   j j 1  1  其中， ˆ ˆ  k  , jk   ,1 j ˆ  k kk 。 ,1  k  j 5、 时间序列的随机性，是指时间序列各项之间没有相关关系的特征。使用自相关分析 图判断时间序列的随机性，一般给出如下准则： ①若时间序列的自相关函数基本上都落入置信区间，则该时间序列具有随机性； ②若较多自相关函数落在置信区间之外，则认为该时间序列不具有随机性。 6、 判断时间序列是否平稳，是一项很重要的工作。运用自相关分析图判定时间序列平 稳性的准则是：①若时间序列的自相关函数 kˆ 在 k>3 时都落入置信区间，且逐渐 趋于零，则该时间序列具有平稳性；②若时间序列的自相关函数更多地落在置信区 间外面，则该时间序列就不具有平稳性。 7、 ARMA 模型的自相关分析 AR(p)模型的偏自相关函数 kk 是以 p 步截尾的，自相关函数拖尾。MA(q)模型的自相 

关函数具有 q 步截尾性，偏自相关函数拖尾。这两个性质可以分别用来识别自回归模型 和移动平均模型的阶数。ARMA(p,q)模型的自相关函数和偏相关函数都是拖尾的。 三、单位根检验和协整检验 1、单位根检验 ①利用迪基—福勒检验（ Dickey-Fuller Test）和菲利普斯—佩荣检验（Philips-Perron Test）,我们也可以测定时间序列的随机性，这是在计量经济学中非常重要的两种单位根 检验方法，与前者不同的事，后一个检验方法主要应用于一阶自回归模型的残差不是白 噪声，而且存在自相关的情况。 ②随机游动 如果在一个随机过程中， ty 的每一次变化均来自于一个均值为零的独立同分布，即随 机过程 ty 满足： ...2,1t  1 t  t ， y y t   0tE  ，  Var  t   ，其中 t 独立同分布，并且：  2  2  E   t 称这个随机过程是随机游动。它是一个非平稳过程。 ③单位根过程 设随机过程 ty 满足： ，  并且  cov  0tE   ,  st t  s  ， ...2,1,0s 。 y t  y   1 t  t ， ...2,1t ，其中 1 ， t 为一个平稳过程 2、协整关系 如果两个或多个非平稳的时间序列，其某个现性组合后的序列呈平稳性，这样的时间序 列间就被称为有协整关系存在。这是一个很重要的概念，我们利用 Engle-Granger 两步 协整检验法和 Johansen 协整检验法可以测定时间序列间的协整关系。 四、ARMA 模型的建模 1、模型阶数的确定 ①基于自相关函数和偏相关函数的定阶方法 对于 ARMA(p,q)模型，可以利用其样本的自相关函数 kˆ 和样本偏自相关函数  kkˆ 的截尾性判定模型的阶数。 具体方法如下： i、对于每一个 q,计算 ˆ q ， 2 ˆ q ，…， Mqˆ （M 取为 n 或者 10/n ），考察其中满 1 足 ˆ  k  1 n 21  q  i 1  2ˆ  i 或者 ˆ  k  2 n 21  q  i 1  2ˆ  i 的个数是否占 M 个的 68.3%或 者 95.5%。如果 1 k  q 0 ， kˆ 都明显地异于零，而 10 ˆ q ， 20 ˆ q ，…， Mq 0 ˆ 均近似 于零，并且满足上述不等式之一的 kˆ 的个数达到其相应的比例，则可以近似的判定  kˆ 是 0q 步截尾，平稳时间序列 ty 为 MA( 0q )。 

ii、类似，我们可通过计算序列 kkˆ ，考察其中满足 ˆ  kk 1 n 或者 ˆ  kk 2 n 的个 数是否占 M 个的 68.3%或者 95.5%。即可以近似的判定 kkˆ 是 0p 步截尾，平稳时间 序列 ty 为 AR( iii、如果对于序列 0p ). kkˆ 和 kˆ 来说，均不截尾，即不存在上述的 0p 和 0q ，此时属于 情况 iii，则可以判定平稳时间序列 ty 为 ARMA 模型。 此外常用的方法还有：②基于 F-检验确定阶数；③利用信息准则法定阶（AIC 准则和 BIC 准则） 2、模型参数的估计 ①初估计 i、 AR(p)模型参数的 Yule-Walker 估计 ˆ   ， 对 于 二 阶 自 回 归 模 型 AR(2) ， ˆ 1 1 特 例 ： 对 于 一 阶 自 回 归 模 型 AR(1) ， ˆ  1    ˆ 1ˆ   1 2 2 ˆ 1   1 ， ˆ  2  2 ˆ ˆ   2 1 2 ˆ 1   1 。 ii、MA(q)模型参数估计 特例：对于一阶移动平均模型 MA(1), 1  ˆ  1  2  1 41  2  1 ，对于二阶移动平均模型 MA(2)，  1   2   1 21 2 1   2  1 ，  2    2 2   2 1 2 1  。 iii、ARMA(p,q)模型的参数估计 模型很复杂，一般利用统计分析软件包完成。 ②精估计 ARMA(p,q)模型参数的精估计，一般采用极大似然估计，由于模型结构的复杂性，无法 直接给出参数的极大似然估计，只能通过迭代方法来完成，这时，迭代初值常常利用初 估计得到的值。 3、ARMA(p,q)序列预报 设 平 稳 时 间 序 列  ty 是 一 个 ARMA(p,q) 过 程 ， 则 其 最 小 二 乘 预 测 ：   ˆ ly t  yE 1 y ,..., 。  y T 1  T i、AR(p)模型预测  ˆ ly  1 T   ˆ ly t   1  ...  p  ˆ ly T  p ， ,...2,1l ii、ARMA(p,q)模型预测 

p   j j 1   ˆ ly T   j  q  j 1  ˆ  Tj  l  j ，其中   i ˆ  T    E iT  y T ,..., 1 y 。   ˆ ly t  iii、预测误差 预测误差为：   le t  y t  l    ˆ ly t   t  1 0  l t  ...  l 1  l 。l 步线性最小方 1  1 l  差预测的方差和预测步长 l 有关，而与预测的时间原点 t 无关。预测步长 l 越大，预测 误差的方差也越大，因而预测的准确度就会降低。所以一般不能用 ARMA(p,q)作为长 期预测模型。 iv、预测的置信区间 预测的 95%置信区间：   ˆ t ly    1  2 0 96.1 2  ...  l  2 12 1  。