微分方程数值解课程设计(含代码).doc

发布时间：2022-06-08 发布人：admin 分类：说明书资料大小：0.78M 资料格式：doc 举报版权申诉

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椭圆型方程

·设计题目、原理：

·设计思路、算法步骤：

·函数文件、命令文件：

·对计算过程与结果的分析：

抛物线方程

·设计题目、原理：

·函数文件、命令文件：

·对计算过程与结果的分析：

双曲线方程

·设计题目、原理：

·函数文件、命令文件：

·对计算过程与结果的分析：

课程体会心得

微分方程数值方法课程设计姓名：康洋班级：信息与计算科学 1 班

目录椭圆型方程 .............................................................................3 · 设计题目、原理： .....................................................3 · 设计思路、算法步骤：............................................. 4 · 函数文件、命令文件：............................................. 4 · 对计算过程与结果的分析： ..................................... 9 抛物线方程 ...........................................................................10 · 设计题目、原理： ...................................................11 · 函数文件、命令文件：........................................... 12 · 对计算过程与结果的分析： ....................................15 双曲线方程 ...........................................................................17 · 设计题目、原理： ...................................................17 · 函数文件、命令文件：........................................... 20 · 对计算过程与结果的分析： ....................................23 课程体会心得.......................................................................23

椭圆型方程编程计算：采用五点差分格式求如下椭圆型方程： ;  f (x, y), (x, y)   2 u  2 x   2 u  2 y  其中f (x, y) 、 及边条件为：   f (x, y)  u(x,0)   u(0, y)    ，且边条件如下：    (0,2) (0,1) 4, 2 2 x 1; (x 2) 0 x , u(x,2)     ， 2 2 (y 1) , 0 2. y y , u(1, y)     ) ( , ) ( x y u x y   2 问题存在精确解为： · 设计题目、原理：为了说明对椭圆型方程边值问题建立差分格式的过程，首先考虑方程的离散化，在矩形区域上，对于如题 Poisson 方程的差分格式离散化，我们可以采用中心差商代替导数：将以上两式代入 Poisson 方程化简得：之后写成矩阵形式：

通过解方程组的方法求出数值解。 · 设计思路、算法步骤：算法步骤就是要用代码表示出 H 矩阵和 g 向量，之后解出的值即为精确解的数值近似。 · 函数文件、命令文件： function [g,u0]=fivepointdiff(x1,x2,y1,y2,M,N) %变步长法，g 是数值解，u0 是精确解 h=abs(x1-x2)/M; k=abs(y1-y2)/N; m=M-1; n=N-1; h1=h^2; r=h1/k^2; t=2+2*r; %横轴步长 %纵轴步长 %五点中的上下两个点的系数 %五点中的中心点的系数 x=x1+(x2-x1)*(0:M)/M; %x，y 向量表示横纵坐标 y=y1+(y2-y1)*(0:N)/N; a=zeros(m*n,m*n); b=zeros(m*n,1);%初始化 a，b 矩阵，a 为系数矩阵

%内部的（m-2）*（n-2）个点 for i=2:m-1 for j=2:n-1 a(i+(j-1)*m,:)=[zeros(1,i-1+(j-2)*m) -r zeros(1,m-2) -1 t -1 zeros(1,m-2) -r zeros(1,(n-j)*m-i)]; b(i+(j-1)*m)=h1*f(x(i+1),y(j+1)); end end %下边界 j=1; for i=2:m-1 a(i+(j-1)*m,:)=[zeros(1,i-2) -1 t -1 zeros(1,m-2) -r zeros(1,(n-j)*m-i)]; b(i+(j-1)*m)=h1*f(x(i+1),y(j+1))+r*bottom(x(i+1)); end; %右边界 i=m; for j=2:n-1 a(i+(j-1)*m,:)=[zeros(1,(j-1)*m-1) -r zeros(1,m-2) -1 t zeros(1,m-1) -r zeros(1,(n-j)*m-i)]; b(i+(j-1)*m)=h1*f(x(i+1),y(j+1))+right(y(j+1)); end %上边界

j=n; for i=2:m-1 a(i+(j-1)*m,:)=[zeros(1,i-1+(j-2)*m) -r zeros(1,m-2) -1 t -1 zeros(1,m-i-1)]; b(i+(j-1)*m)=h1*f(x(i+1),y(j+1))+r*top(x(i+1)); end %左边界 i=1; for j=2:n-1 a(i+(j-1)*m,:)=[zeros(1,i-1+(j-2)*m) -r zeros(1,m-1) t -1 zeros(1,m-2) -r zeros(1,(n-j)*m-i)]; b(i+(j-1)*m)=h1*f(x(i+1),y(j+1))+left(y(j+1)); end; %左下角的那个点 i=1;j=1; a(1,:)=[t -1 zeros(1,m-2) -r zeros(1,(n-1)*m-1)]; b(1)=h1*f(x(2),y(2))+r*bottom(x(2))+left(y(2)); %右下角的那个点 i=m;j=1; a(i+(j-1)*m,:)=[zeros(1,m-2) -1 t zeros(1,m-1) -r zeros(1,(n-2)*m)]; b(i+(j-1)*m)=h1*f(x(i+1),y(j+1))+r*bottom(x(i+1))+right(y(j+1)); %左上角的那个点

i=1;j=n; a(i+(j-1)*m,:)=[zeros(1,(n-2)*m) -r zeros(1,m-1) t -1 zeros(1,m-2)]; b(i+(j-1)*m)=h1*f(x(i+1),y(j+1))+r*top(x(i+1))+left(y(j+1)); %右上角的那个点 i=m;j=n; a(i+(j-1)*m,:)=[zeros(1,(n-1)*m-1) -r zeros(1,m-2) -1 t]; b(i+(j-1)*m)=h1*f(x(i+1),y(j+1))+r*top(x(i+1))+right(y(j+1)); u=a\b; g=zhengli(u,N,M); ux=jie1(M,N,h,k); u0=ux'; function k=bottom(x) %下边界函数 k=x^2; function k=right(y) %右边界函数 k=(y-1)^2; function k=top(x) %上边界函数 k=(x-2)^2; function k=left(y) %左边界函数 k=y^2; function k=f(x,y) %f(x,y)函数 k=-4;

function k=jie(x,y) %精确解 k=(x-y)^2; function u0=jie1(M,N,h,k) %将精确解表示为矩阵形式 for i=1:M-1 for j=1:N-1 u0(i,j)=jie(j*h,i*k); end end function g=zhengli(u,N,M) %由于求得 u 是向量，故该函数将 u 表示成矩阵 j=1; t=1; for i=1:(N-1)*(M-1) g(t,j)=u(i); t=t+1; if(mod(i,M-1)==0) j=j+1; t=1; end end

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