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2011年云南昆明理工大学高等代数考研真题A卷.doc
2011 年云南昆明理工大学高等代数考研真题 A 卷
1. 设 ( )
f x 是一个多项式，对任意数 ,a b 有 (
f a b
)
( )
f a
( ).
f b
证明： ( )
f x
kx （ k
是常 数）（10 分）
2. 设
( )
f x
1
1
1
...
1
a
1
x
a
1
...
a
1
a
2
a
2
x
...
a
2
...
...
...
...
...
n
n
1
1
a
a
a
1
n
...
a
1
n
n
n
a
a
a
n
...
x
.
求 ( )
f x 的根。（15 分）
3. 设 向 量 可 由 向 量 组 1
,
,...,
2
线 性 表 示 。 证 明 ： 表 示 法 唯 一 的 充 要 条 件 是
n
线性无关。（15 分）
,...,
,
1
2
n
4. 设 A 是实 n 阶方阵，证明：
rank A A
(
T
)
rank A
(
).
（20 分）
5. 计算
0 0 0 1 2
0 0 0
32
0 0 0
1 1
0 0
0
0 0
0 0
1 1
1
的逆矩阵。（20 分）
6. t 取什么值时，
分）
(
,
f x x x
3
,
1
2
)
2
x
1
x
2
2
5
2
x
3
2
tx x
1 2
2
x x
1 3
4
x x
2 3
是正定二次型。（10
7. 已知
1,
2
,
x x x 是
,
3
[ ]P x 的一组基。
4
(1)证明：
1,1
,(1
x
x
2
) ,(1
(2)求由基
1,1
,(1
x
x
2
) ,(1
3
也是
x
)
[ ]P x 的一组基；
4
3
到基
x
)
1,
2
,
x x x 的过渡矩阵。（20 分）
,
3
8. 设 A 是 2 阶方阵,其特征多项式为
( )
x
2
x
10
x
21
.
(1) 证明: A 是可逆矩阵；
(2)求 1A 的特征多项式.(10 分)
9. 设V 为 n 维欧氏空间,
V
,|
| 1.
证明：
V
(1) 1
x V
{
|
内积
( ,
x
) 0}
是V 的一个子空间；
(2)
1(
dim V
)
n （10 分）
1.
10. 求正交矩阵 ,T 使 1T AT
为对角矩阵：
A
2
2
0
2
1
2
0
2 .
0
（20 分）
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