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introduction to linear algebra 5th edition课后题答案.pdf
Preface
This Instructor’s Solutions Manual contains solutions for essentially all of the exercises in the
text that are intended to be done by hand. Solutions to Matlab exercises are not included.
The Student’s Solutions Manual that accompanies this text contains solutions for only selected
odd-numbered exercises, including those exercises whose answers appear in the answer key. The
solutions that appear in the students’ manual are identical to those provided in this manual,
and generally provide a more detailed solution than is available in the answer key. Although no
pattern is strictly adhered to throughout the student manual, the solutions provided there are
primarily to the computational exercises, whereas solutions that involve proof are generally not
included. None of the solutions to the supplementary end-of-chapter exercises are included in the
student manual.
Contents
Preface
iii
1 Matrices and Systems of Equations
1
1
1.1
Introduction to Matrices and Systems of Linear Equations . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Echelon Form and Gauss-Jordan Elimination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.3 Consistent Systems of Linear Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5 Matrix Operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.6 Algebraic Properties of Matrix Operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.7 Linear Independence and Nonsing. Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.8 Data fltting, Numerical Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.9 Matrix Inverses and their Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.10 Supplementary Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.11 Conceptual Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2 Vectors in 2-Space and 3-Space
43
2.1 Vectors in the Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2 Vectors in Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.3 The Dot Product and the Cross Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.4 Lines and Planes in Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.5 Supplementary Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.6 Conceptual Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3 The Vector Space Rn
59
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.1
3.2 Vector Space Properties of Rn
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.3 Examples of Subspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.4 Bases for Subspaces
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.5 Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.6 Orthogonal Bases for Subspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.7 Linear Transformations from Rn
to Rm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
v
vi CONTENTS
3.8 Least-Squares Solutions to Inconsistent Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.9 Fitting Data and Least Squares Solutions
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.10 Supplementary Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.11 Conceptual Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4 The Eigenvalue Problems
99
4.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.2 Determinants and the Eigenvalue Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.3 Elementary Operations and Determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.4 Eigenvalues and the Characteristic Polynomial
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.5 Eigenvalues and Eigenvectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.6 Complex Eigenvalues and Eigenvectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.7 Similarity Transformations & Diagonalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.8 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.9 Supplementary Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4.10 Conceptual Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5 Vector Spaces and Linear Transformations
Introduction (No exercises)
135
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.1
5.2 Vector Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.3 Subspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.4 Linear Independence, Bases, and Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
5.5 Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
5.6
5.7 Linear Transformations
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
5.8 Operations with Linear Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
5.9 Matrix Representations for Linear Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
5.10 Change of Basis and Diagonalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
5.11 Supplementary Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
5.12 Conceptual Exercises
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
Inner-products
6 Determinants
Introduction (No exercises)
175
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
6.1
6.2 Cofactor Expansion of Determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
6.3 Elementary Operations and Determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
6.4 Cramer’s Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
6.5 Applications of Determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
6.6 Supplementary Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
6.7 Conceptual Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
7 Eigenvalues and Applications
193
7.1 Quadratic Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
7.2 Systems of Difierential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
7.3 Transformation to Hessenberg Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
7.4 Eigenvalues of Hessenberg Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
7.5 Householder Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
7.6 QR Factorization & Least-Squares
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
7.7 Matrix Polynomials & The Cayley-Hamilton Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . 211
7.8 Generalized Eigenvectors & Difi. Eqns. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
7.9 Supplementary Exercises
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
7.10 Conceptual Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
Chapter 1
Matrices and Systems of Equations
1.1
Introduction to Matrices and Systems of Linear Equations
1. Linear.
2. Nonlinear.
3. Linear.
4. Nonlinear.
5. Nonlinear.
6. Linear.
7. x1 + 3x2 = 7
4x1 ¡ x2 = 2
6x1 ¡ x2 + x3 = 14
x1 + 2x2 + 4x3 = 4
8.
1 + 3 ¢ 2 = 7
4 ¢ 1 ¡ 2 = 2
6 ¢ 2 ¡ (¡1) + 1 = 14
2 + 2 ¢ (¡1) + 4 ¢ 1 = 4
1 + (¡1) =
0
3 ¢ 1 + 4 ¢ (¡1) = ¡1
¡1 + 2 ¢ (¡1) = ¡3
9.
10.
x1 + x2 =
0
3x1 + 4x2 = ¡1
¡x1 + 2x2 = ¡3
3x2 = 9;
4x1 = 8;
3 ¢ 3 = 9
4 ¢ 2 = 8
11. Unique solution.
12. No Solution
13. Inflnitely many solutions.
2 CHAPTER 1. MATRICES AND SYSTEMS OF EQUATIONS
14. No solution.
15.
(a) The planes do not intersect; that is, the planes are parallel.
(b) The planes intersect in a line or the planes are coincident.
16. The planes intersect in the line x = (1 ¡ t)=2; y = 2; z = t:
17. The planes intersect in the line x = 4 ¡ 3t; y = 2t ¡ 1; z = t:
18. Coincident planes.
4 3 8 ‚:
19. A =• 2 1 6
20. C =• 1 2 7 1
2 2 4 3 ‚:
3
21. Q =2
1 4 ¡3
2 1
1
5:
4
1
3 2
22.
x1 +2x2 +7x3 = 1
2x1 +2x2 +4x3 = 3
23. 2x1 + x2 = 6
4x1 + 3x2 = 8
;
x1 + 4x2 = ¡3
1
2x1 + x2 =
3x1 + 2x2 =
1
1
1
1
3 ‚:
1 ‚ ; B = • 1 ¡1 ¡1
24. A = • 1 ¡1
25. A = • 1 1 ¡1
2 0 ¡1 ‚ ; B = • 1 1 ¡1 2
2 0 ¡1 1 ‚:
3
26. A = 2
1 3 ¡1 1
1 3 ¡1
1 5
2 5
1
2 5
5:
4
1 1
1 3
1 1
1
27. A = 2
4
28. A = 2
4
5 ; B = 2
3
4
3
5 ; B = 2
4
3
5 ; B = 2
4
1 1
2 6
3 4 ¡1 5
¡1 1
1 2
1
1
¡1 ¡3
1 1
2
3 4 ¡1
¡1 1
1
1
1
¡1 ¡3
1 ¡3
2 ¡5
7
3
5:
1 ¡3 ¡1
2 ¡5 ¡2
3
7
3
5:
1.1.
INTRODUCTION TO MATRICES AND SYSTEMS OF LINEAR EQUATIONS 3
29. A = 2
4
1
1 1
2
3 1
1 ¡1 3
5 ; B = 2
3
4
1
1 1 1
2
3 1 2
1 ¡1 3 2
3
5:
30. Elementary operations on equations: E2 ¡ 2E1 :
6
¡7x2 = ¡5
Reduced system of equations:
2x1 + 3x2 =
:
Elementary row operations: R2 ¡ 2R1 :
Reduced augmented matrix: • 2
0 ¡7 ¡5 ‚:
3
6
31. Elementary operations on equations: E2 ¡ E1; E3 + 2E1 :
32. Elementary operations on equations: E1 $ E2; E3 ¡ 2E1 :
Reduced system of equations:
x1 + 2x2 ¡ x3 = 1
¡x2 + 3x3 = 1
5x2 ¡ 2x3 = 6
Elementary row operations: R2 ¡ R1; R3 + 2R1 :
Reduced augmented matrix: 2
3
5:
4
2 ¡1 1
3 1
5 ¡2 6
1
0 ¡1
0
Reduced system of equations:
x1 ¡ x2 + 2x3 = 1
x2 + x3 = 4
3x2 ¡ 5x3 = 4
Elementary row operations: R1 $ R2; R3 ¡ 2R1 :
Reduced augmented matrix: 2
3
5:
4
1 ¡1
2 1
1
0
1 4
3 ¡5 4
0
:
:
33. Elementary operations on equations: E2 ¡ E1; E3 ¡ 3E1 :
:
x1 + x2 =
Reduced system of equations:
9
¡2x2 = ¡2
¡2x2 = ¡21
Elementary row operations: R2 ¡ R1; R3 ¡ 3R1 :
Reduced augmented matrix: 2
4
1
9
0 ¡2 ¡2
0 ¡2 ¡21
3
5:
1
4 CHAPTER 1. MATRICES AND SYSTEMS OF EQUATIONS
34. Elementary operations on equations: E2 + E1; E3 + 2E1 :
Reduced system of equations:
x1 + x2 + x3 ¡ x4 = 1
2x2 = 4
3x2 + 3x3 ¡ 3x4 = 4
:
Elementary row operations: R2 + R1; R3 + 2R1 :
Reduced augmented matrix: 2
4
1 1 1 ¡1 1
0 4
0 2 0
0 3 3 ¡3 4
3
5:
35. Elementary operations on equations: E2 $ E1; E3 + E1 :
x1 + 2x2 ¡ x3 + x4 = 1
x2 + x3 ¡ x4 = 3
3x2 + 6x3 = 1
Reduced system of equations:
:
Elementary row operations: R2 $ R1; R3 + R1 :
Reduced augmented matrix: 2
1 2 ¡1
1 1
1 ¡1 3
0 1
4
0 1
6
0 3
3
5:
36. Elementary operations on equations: E2 ¡ E1; E3 ¡ 3E1 :
Reduced system of equations:
x1 + x2 = 0
¡2x2 = 0
¡2x2 = 0
:
Elementary row operations: R2 ¡ R1; R3 ¡ 3R1 :
Reduced augmented matrix: 2
4
1
1 0
0 ¡2 0
0 ¡2 0
3
5:
37. (b) In each case, the graph of the resulting equation is a line.
38. Now if a11 = 0 we easily obtain the equivalent system
a21x1 + a22x2 = b2
a12x2 = b1
Thus we may suppose that a11 6= 0. Then :
a11x1 + a12x2 = b1
a21x1 + a22x2 = b2 ‰ E2 ¡ (a21=a11)E1
=)
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