2007年湖南高考文科数学真题及答案.doc-资料库

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2007 年湖南高考文科数学真题及答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择）题两部分，满分 150 分.考试用时 120 分钟. 参考公式: 如果事件 A 、 B 互斥，那么 ( P A B  )  ) ( P A  ( P B ) 如果事件 A 、 B 相互独立，那么 ( ABP )  ( ( BPAP )  ) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P ，那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率是 ( ) P k n  k C P k n (1  n k ) P  4 3 3 R 球的体积公式 V ,球的表面积公式 S R 4 2 ，其中 R 表示球的半径一．选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 第Ⅰ卷（选择题） 1．不等式 2x x 的解集是 A． ,0  C.  1,   B.  0,1 D.     ,0  1,   2．若 O、E、F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是      A． EF OF OE    OF OE  C. EF      B. EF OF OE     OF OE   D. EF   3. 设 2 : p b  4 ac  0  a q  ， 0  : 关于的方程 x ax 2  bx c   0  a  0  有实根，则 p 是 q 的 A．充分不必要条件 C. 充分必要条件 4．在等比数列  na n N   A． B. 2 1  8 2   nx B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 1 8  ，则该数列的前 10 项和为 C. 2  1 10 2 D. 2  1 11 2 1, a 4 a 中，若 1 1 9 2 2  5．在 1  A．8 n N    的二项展开式中，若只有 5x 的系数最大，则 n  B. 9 C. 10 D.11 6．如图 1，在正四棱柱 ABCD A B C D 1 1 1  1 中，E、F AB 分别是 1 C、B 的中点，则以下结论中不成立的是 1

A． EF BB与垂直 1 B. EF BD与垂直 C. EF与CD异面 D. EF 1 1与A C 异面 7．根据某水文观测点的历史统计数据，得到某条河流水位的频率分布直方图（如图 2），从图中可以看出，该水文观测点平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是 A．48 米 B. 49 米 C. 50 米 D. 51 米图 1 8．函数 ( ) f x     4 4 x  4 x   3 2 x x x   1 1 的图象和函数 ( ) g x  log x 2 的图象的交点个数是 A．1 B.2 C.3 D. 4 9．设 1 F F、分别是椭圆 2 2 2 x a  2 2 y b  1  a   的左、右焦点，P 是其右准线上纵坐标为 3c 0 b  （ c 为半焦距）的点，且 1 2 F F  F P 2 ，则椭圆的离心率是 C. 5 1  2 D. 2 2 A． 3 1  2 10. 设集合 M  B. 1 2   1,2,3,4,5,6 足：对任意的 S i   , a b i i  , S j  min    a b i i b a i i ,     min      a b j j , b a j j       min   , x y 是 S ， 1 S 2  k   , a b j j 、、、S 都是的含两个元素的子集，且满 M  i  , j i j 、   1,2,3, ,  k   ，都有表示两个数x、y中的较小者 .则 k 的最大值  A．10 B.11 C. 12 D. 13 二．填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分，把答案填在横线上. 11. 圆心为 y  相切的圆的方程是 1,1 且与直线 4 x .

12. 在 ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a b c、、，若 1,  a c  3, C  ，则  3 A= . 13. 若 a  0, a 2 3  4 9 , 则 log a  2 3 . 14. 设集合 A    , x y  | y |   x 2 |, x   0 , B    , x y  | y    x b A B    ，  , （1）b 的取值范围是（2）若 A B , x y  .   且 2x y 的最大值为 9，则b 的值是 , . 15.棱长为 1 的正方形 ABCD A B C D 1 1 1  1 的 8 个顶点都在球 O 的表面上，则球 O 的表面积是；设 E、F 分别是该正方形的棱 1 AA、DD 的中点，则直线 EF 被球 O 截得的线段 1 长为三．解答题：本大题共６小题，共 75 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分１２分） . 已知函数  f x    1 2sin 2 x        8   2sin x        8  cos x        8  .求： (Ⅰ)函数  f x 的最小正周期；  （Ⅱ）函数  f x 的单调增区间.  17.（本小题满分１２分）某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训.已知参加过财会培训的有 60%，参加过计算机培训的有 75%.假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响. (Ⅰ)任选 1 名下岗人员，求该人参加过培训的概率； (Ⅱ)任选 3 名下岗人员，求这 3 人中至少有 2 人参加过培训的概率. 18.（本小题满分１4 分）如图 3 ，已知直二面角   PQ   ， A  PQ ， B ， C ， CA  CB ，  BAP  45  ，直线 CA 和平面所成的角为30 .

(Ⅰ)证明 BC PQ ； (Ⅱ)求二面角 B AC P  的大小.  19.（本小题满分 13 分）已知双曲线 2 x 2 y  的右焦点为 F，过点 F 的动直线与双曲线相交与 A、B 两点，点 2 C 的坐标是（1，0）.   （Ｉ）证明CA CB 为常数；（Ⅱ）若动点 M 满足  求点 M 的轨迹方程.   CM CA CB CO     （其中O 为坐标原点）， 20.（本小题满分 13 分）设 nS 是数列 na ( Nn  *) 的前 n 项和， a 1 a ，且 2 S n  2 3 an n  S n 1  2 ， 0na ， ,4,3,2n 。

n n a a  ( n 2)   2  是常数数列；（Ⅰ）证明数列 （Ⅱ）试找出一个奇数 a ，使以 18 为首项，7 为公比的等比数列  nb 都是数列 na 中的项，并指出 nb 是数列 na 中的第几项. n N   中的所有项 21.（本小题满分 13 分） 1 3 已知函数  f x  3 x   1 2 b 的最大值； ax 2  在区间 bx  1,1 , 1,3    内各有一个极值点. （Ⅰ）求 2 4 a （Ⅱ）当 2 4 b a  时，设函数 8 y   f x  在点  1, A f   1  处的切线为 l ，若在点 A 处穿过 y   f x  的图象（即动点在点 A 附近沿曲线 y   f x  运动，经过点 A 时，从l 的一侧进入另一侧），求函数  f x 的表达式.  参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题 5 分，满分 50 分． 1.D 6.D 2.B 7.C 3.A 8.C 4.B 9.D 5.C 10.B 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题 4 分，满分 24 分． 11. ( x  )1 2  ( y  )1 2  2 14.（1） ,2 三、解答题（2） 9 2 12.  6 13.3 15. 3 ， 2

16.解： )( xf  cos( 2 x   2 sin( 2  ) 4 x  (Ⅰ) 函数  f x 的最小正周期是   sin( 2 x     ) 4 4 T   ) 4 2 sin(   2  2   2 2 x   ) 2  2 cos 2 x （Ⅱ）当 2 k   2 x  2 k  ，即 k   x k  （ Z k  ）时，函数 )( xf  2 cos 2 x 是增函数，故函数  f x 的单调增区间是  [ k    2 , ] k  （ Z k  ） 17. (Ⅰ)解法一任选 1 名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是 P 1  ( BAP  )  ( ( BPAP )  )  25.04.0   1.0 所以该人参加过培训的概率是 1  P 1  9.01.01  解法二任选 1 名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是 P 2  ( BABAP  )  ( BAP  )  ( BAP  )  25.06.0   75.04.0   45.0 该人参加过两项培训的概率是 P 3  ( BAP  )  ( ( BPAP )  )  75.06.0   45.0 所以该人参加过培训的概率是 P 2  P 3  45.0  45.0  9.0 (Ⅱ) 解法一任选 3 名下岗人员，这 3 人中只有 2 人参加过培训的概率是 P 4  C 2 3  9.0 2  .01.0  243 3 人都参加过培训的概率是 P 5  C 3 3  9.0 3  .0 729 所以 3 人中至少有 2 人参加过培训的概率是 P 4  P 5  .0 243  .0 729  .0 972 解法二任选 3 名下岗人员，这 3 人中只有 1 人参加过培训的概率是 P 6  C 1 3  2 1.09.0   .0 027 3 人都没有参加过培训的概率是 P 7 1.0 3  .0 001 所以 3 人中至少有 2 人参加过培训的概率是 1  P 6  P 7  .01 027  .0 001  .0 972 18. (Ⅰ)证明：在平面内过点 C 作 CO⊥PQ 于点 O，连结 OB，因为  ， PQ ，所以 CO 又因为 CA=CB，所以 OA=OB，而  BAO  45  ，

 ABO 所以从而 BO⊥PQ，又 CO⊥PQ，， 45    AOB  90  ，所以 PQ⊥平面 OBC，因为 BC 平面 OBC，故 BC PQ (Ⅱ)解：解法一由(Ⅰ)知，BO⊥PQ，又  ， PQ ， BO ，所以 BO 过点 O 作 OH⊥AC 于点 H，连结 BH，由三垂线定理知：BH⊥AC，故 BHO 由(Ⅰ)知，是二面角 B AC P CO  ，所以 CAO 是 CA 和平面所成的角，即  的平面角。  CAO  30  不妨设 AC=2，则 3AO ， OH  AO sin 30  3 2 在 OAB Rt 中，  ABO  BAO  45  ，所以 BO  AO 3 于是在 BOH Rt 中， tan  BHO  BO OH   2 3 3 2  arctan 2 OC  OC  ，  的大小为 OA 故二面角 B AC P OB 解法二由(Ⅰ)知：故可以 O 为原点，分别以直线 OB、OA、OC 为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系（如图）。因为成的角，即，所以 CAO CAO ， CO  是 CA 和平面所 OA  30  OB ，  ，不妨设 AC=2，则在 OAB Rt 中， 3AO  ABO  ， 1CO BAO  45  ，所以 BO  AO 3 则相关各点的坐标分别是 )0,0,0(O ， )0,0,3(B ， )0,3,0(A ， )1,0,0(C 所以 AB ,3(  )0,3 ， AC ,0(  )1,3 设 n  1 ), ,( zyx 是平面 ABC 的一个法向量，由     n 1 n 1   AB AC   0 0 得：      3 x  3 y 3 0 y  0 z  取 1x ，得 1 n )3,1,1( 。易知 2 n )0,0,1( 是平面的一个法向量设二面角 B AC P   的平面角为，由图可知， 1,nn 2

所以 cos 1  nn  2 n  n 1 2  1 15   5 5 故二面角 B AC P  的大小为  arccos 5 5 19. 解：由条件知 )0,2(F ，设 ( , 1 yxA 1 ) ， ( xB , 2 y 2 ) （Ｉ）当 AB 与 x 轴垂直时，可设点 A、B 的坐标分别为 )2,2( 、 ,2(  )2 ，   此时CA CB  ,1()2,1(  )2  1 当 AB 不与 x 轴垂直时，设直线 AB 的方程是 y  (  xk )2 ( k )1 代入 2 x 2 y  ，有 2 1(  k 2 2 ) x  4 2 xk  4( k 2  )2  0 则 1x ， 2x 是上述方程的两实根，所以 x 1  x 2  2 4 k 2 k  1 ， xx 21  2 2 4 k k 2  1    于是CA CB  ( x 1  )(1 x 2 )1  yy 21  ( x 1  )(1 x 2 )1  k 2 ( x 1  )(2 x 2  )2 2  ( k  )1 xx 21  2( k 2  )(1 x 1  x 2 4)  k 2  1 )1 2  4 k  1 2 k   1 2 ( k   2 4)(1 k 2 1 k   )2 4 k  2 2( 2 k 4(  k 2  4)2  k 2 1  1   综上所述，CA CB 为常数 1 （Ⅱ）解法一设 ,( yxM ) ，则 CM  ( x  ,1 y ) ， CA  ( x 1  ,1 y 1 ) ， CB  ( x 2  ,1 y ) 2 ， )0,1(CO ，由 CM  CA  CB  CO 得： x y    1  y  1 x 1   y 2 x 2  3 ，即    x  2 x 1 y 1 2 , 2   x 2 y 2 x  y  y 2 ) 于是 AB 的中点坐标为 (

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