2016 年云南昆明理工大学数学分析考研真题 A 卷
一、(20 分)求下列极限(每小题 4 分,共 20 分)
3
n
(1)
lim
n
n
2 sin( !)
n
1
;
(2)
(3)
lim
n
1
2
n
lim
0
x
1
tan
x
0
1
2
xe
1
2
n
n
;
1
2
n
2
sin(
2
;
t dt
)
(4)
lim 2016
x
x
1
arctan ;
x
(5)
lim
0
x
ln(1 arcsin )
x
arcsin
x
.
二、(20 分)求下列导数或微分(每小题 5 分,共 20 分)
(1) 设
y
(
(
x
x
2
5) (
5
2) (
x
x
4)
4)
(
x
4),
求 ;dy
dx
(2) 已知 ( )
f x
x
,x
求 ( );
df x
(3) 设
x
y
sin ),
(
a t
t
(1 cos ),
t
a
求
dy
dx
2
t
.
(4) 设
u
f
(
x y
,
y z
),
且 f 具有连续的偏导数,求 .du
三、(8 分)求下列积分(每小题 4 分,共 8 分)
(1)
1
0
xe dx
;
(2)
1
1
x
2
.
dx
四、(40 分)按要求计算下列曲线积分、曲面积分和重积分(每小题 8 分,共 40 分)
(1) 计算第一型曲线积分 (
x
L
)
y ds
,
其中 L 是以 (0,0),
O
(1,0),
A
B
(0,1)
为顶点的三角形.
(2) 利用格林公式计算第二型曲线积分
AB
x
(
e
sin
y
)
y dx
x
(
e
cos
y
1)
dy
,
其中 AB 为由 ( ,0)a 到 (0,0) 经过圆 2
x
2
y
上半部分的路线.
ax
(3) 用变量变换求二重积分
x y
x y
e
D
的区域.
dxdy
,
其中 D 是由
x
,0
y
,0
x
y
1
所围成
(4) 计算第一型曲面积分
xyzdS
,
其中 S 为平面
x
S
分.
(5) 利用高斯公式计算第二型曲面积分
1
y
z
在第一卦限中的部
Ò
S
2
x dydz
2
y dzdx
2
z dxdy
其中 S 是锥面
x
2
2
y
2
z
与平面 h
z 所围空间区域
0(
z
h
)
的表面,方向取外侧.
五、(10 分)按要求完成下列各题(每小题 5 分,共 10 分)
(1) 设
( )
D x
1,
0,
x
为有理数
x
为无理数
,
.
证明函数项级数
n
1
( )
D x
3
n
在
(
,
)
上一致收敛;
(2) 用间接方法求非初等函数
( )
F x
x
0
2
t
e dt
在 0x 处的幂级数展开式.
六、(10 分)求
( )
f x
在
x
x
2
x
上的傅里叶级数,并应用它推出
2
1 .
6
n n
1
2
七、(8 分)叙述函数 ( )
f x 在区间 I 上无界的定义,并应用它证明
( )
f x
在区间 (0,1) 上
1
3
x
无界.
八、(8 分)用定义证明
lim(
2
x
2
x
6
x
10)
2.
九、(9 分)按柯西准则叙述极限 lim n
a
n
存在的充要条件,并应用它证明
lim(1
n
1
2
2
1
2
3
1
2
n
)
存在.
十、(9 分)设函数 ( )
f x 在[0,1] 上连续,在 (0,1) 内二阶可导,证明存在 (0,1),
使得
f
(1) 2 (
f
1
2
)
f
(0)
1
4
f
( ).
十一、(8 分)证明函数
z
2
x
2
在点 (0,0) 连续但偏导数不存在.
y