2016年云南昆明理工大学数学分析考研真题A卷.doc

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2016 年云南昆明理工大学数学分析考研真题 A 卷一、（20 分）求下列极限（每小题 4 分，共 20 分） 3 n (1) lim n  n 2 sin( !) n 1  ; (2) (3) lim n     1 2 n lim 0 x  1 tan x  0  1 2 xe    1 2  n n ;     1 2 n  2 sin( 2 ; t dt ) (4) lim 2016 x   x 1 arctan ; x (5) lim 0 x  ln(1 arcsin ) x  arcsin x . 二、（20 分）求下列导数或微分（每小题 5 分，共 20 分） (1) 设 y  ( ( x x   2 5) ( 5 2) ( x x   4) 4) ( x  4), 求 ;dy dx (2) 已知 ( ) f x x ,x 求 ( ); df x (3) 设 x     y  sin ), ( a t t (1 cos ), t a   求 dy dx   2 t . (4) 设 u  f ( x y , y z ), 且 f 具有连续的偏导数，求 .du 三、（8 分）求下列积分（每小题 4 分，共 8 分） (1) 1  0 xe dx ; (2) 1   1 x   2 . dx 四、（40 分）按要求计算下列曲线积分、曲面积分和重积分（每小题 8 分，共 40 分）  (1) 计算第一型曲线积分 ( x L  ) y ds , 其中 L 是以 (0,0), O (1,0), A B (0,1) 为顶点的三角形. (2) 利用格林公式计算第二型曲线积分  AB x ( e sin y  ) y dx  x ( e cos y  1) dy , 其中 AB 为由 ( ,0)a 到 (0,0) 经过圆 2 x  2 y  上半部分的路线. ax

(3) 用变量变换求二重积分 x y  x y  e  D 的区域. dxdy , 其中 D 是由 x  ,0 y  ,0 x  y 1 所围成 (4) 计算第一型曲面积分 xyzdS , 其中 S 为平面 x  S 分. (5) 利用高斯公式计算第二型曲面积分 1 y z 在第一卦限中的部 Ò S 2 x dydz  2 y dzdx  2 z dxdy 其中 S 是锥面 x 2  2 y  2 z 与平面 h z  所围空间区域 0( z  h ) 的表面，方向取外侧. 五、（10 分）按要求完成下列各题（每小题 5 分，共 10 分） (1) 设 ( ) D x     1, 0, x 为有理数 x 为无理数 , . 证明函数项级数   n 1  ( ) D x 3 n 在 (  ,  ) 上一致收敛； (2) 用间接方法求非初等函数 ( ) F x x   0 2 t  e dt 在 0x 处的幂级数展开式. 六、（10 分）求 ( ) f x   在 x x 2 x    上的傅里叶级数，并应用它推出  2 1 .     6 n n 1  2 七、（8 分）叙述函数 ( ) f x 在区间 I 上无界的定义，并应用它证明 ( ) f x  在区间 (0,1) 上 1 3 x 无界. 八、（8 分）用定义证明 lim( 2 x  2 x  6 x  10)  2. 九、（9 分）按柯西准则叙述极限 lim n a n  存在的充要条件，并应用它证明 lim(1 n   1 2 2  1 2 3    1 2 n ) 存在. 十、（9 分）设函数 ( ) f x 在[0,1] 上连续，在 (0,1) 内二阶可导，证明存在 (0,1),  使得 f (1) 2 ( f  1 2 )  f (0)  1 4 f  ( ). 十一、（8 分）证明函数 z  2 x 2  在点 (0,0) 连续但偏导数不存在. y

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