2018 年山西省专升本考试数学真题 一、 单项选择题（每小题 4 分，共 20 分） 1 、 ( ) f x  n a x n  a x 1 n  n 1   a x a  是一个整系数多项式，若既约分数 是整系 0 1 p q 数多项式 的有理根，则下列结论中正确的是 ( ) f x .p | A a q a , | 0 n .p | B a q a n n , | C a q a 0 .p | , | n D a q a 0 .p | , | 0 2. 设 、 是 阶方阵 若 A B n , , AB O .A A O  或B O C.r(A)+r(B) n  则下列结论正确的是 . B A  0 D A  . 0 3. A设 为3阶方阵，则detA的元素a 代数余子式等于-2，若B=5A，则detB的元素b 31 的代数余子式等于 . 20 A  . 10 B  . 40 . 50 D  C  13 4.下列向量组中，线性无关的是  . 0A  . 0B   ， ， C    s ， ， 1 . 2   , 其中   2 =m 1 .D   ， ， s 2 1   , 其中任一向量都不能表示成其余向量的线性组合 5 、 若 矩 阵 与 相 似 ， 则 下 列 结 论 错 误 的 是 A B .A A B与 的特征根都是实数 .B A B与 的特征多项式相同 .C A B与 的秩相同 .D A B与 的迹相同 二、填空题（每小题 分，共 分） 4  20 x a   1、设 ( ) f x m 1   的根是 ， ， ，      m   m 1 2 1 2 = 2 、矩阵A= 逆矩阵A  1      m x  1 2 3 4 x    3 、已知三元齐次线性方程组 =0 x x x    1 2 3  2 3 =0 x x x     3 2 1   2 3 0 x x x    1 2 3 有非零解，则 =  4、设A为三阶方阵，其特征值为1,2,3，则A 的特征值为 *  1 

5、标准正交基下的度量矩阵为 三、计算题(每小题 15 分) 2 0 2  4 1、计算行列式D 1 3 1 2  1  1 0 1 = 2 1  4 1  4  ( ) f x 2、求  并求u(x),v(x)使得（ ， ）u(x) 3  与 ( ) = g x 4 x  ( ) f x +3  x x 3 x 2 ( ) 3 +10 + g x x 2 3 x ( )+ f x x 2 -3的最大公因式（ ， ）， ( ) g x ( ) g x ( ) f x v(x) 。 2 

3、设实对称矩阵 A = 0   1   1  1  1 0 1  1 1 1  0 1 1  1 1 0       A (1) 2 （ ）求一个正交矩阵Q和对角矩阵 ，使得Q 求出 的所有特征值和特征向量  1 AQ   4、k为何值时，非齐次线性方程组 x x   1 2   x kx  2 1  x x    1 2 k x  3 x  3 2 x 3 2 4  k  4   有无穷多解？并求出它的一般解。 3 

四、证明题（每小题 10 分） 1 a 、证明：设b 1 线性相关。 a 1    a b 2 , 2  a 3 , b 3  a 3  a 4 , b 4  a 4  a 1 , 2 , 证明向量组b b b b , , 1 2 3 4 2 、证明：能与所有的n n阶矩阵相乘可交换的矩阵一定是数量矩阵  3 、设V是数域F上形如A a 1 a 2 a 3 （）证明： 是F 的子空间      = 3 3  V 2 1 2 （ ）求 的一组基 V a 2 a 3 a 1 a 3 a 1 a 2   的循环矩阵的集合，    4 

4 = 、证明：如果（f(x),g(x)）=1,那么（f(x)g(x)，f(x) g(x)）1 + 5