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2018年江苏高考数学真题及答案.doc
2018 年江苏高考数学真题及答案
数学Ⅰ
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷共 4 页，均为非选择题(第 1 题~第 20 题，共 20 题)。本卷满分为 160
分，考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写
在试卷及答题卡的规定位置。
3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是
否相符。
4．作答试题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，
在其他位置作答一律无效。
5．如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
参考公式：
锥体的体积 1
3
V
，其中 S 是锥体的底面积， h 是锥体的高．
Sh
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．请把答案填写在答．
题卡相应位置上
．．．．．．．．
1．已知集合 {0,1,2,8}
A
， { 1,1,6,8}
B
，那么 A B
▲ ．
2．若复数 z 满足 i
z ，其中 i 是虚数单位，则 z 的实部为 ▲ ．
1 2i
3．已知 5 位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这 5 位裁判打
出的分数的平均数为 ▲ ．
4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的 S的值为 ▲ ．
5．函数
( )
f x
log
2
x
1
的定义域为 ▲ ．
6．某兴趣小组有 2 名男生和 3 名女生，现从中任选 2 名学生去参加活动，则恰
好选中 2 名女生的概率为
▲ ．
7．已知函数 sin(2
y
)(
x
的图象关于直线
2
2
)
▲ ．
8．在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线
2
2
x
a
2
2
y
b
1(
a
0,
b
x
对称，则 的值是
3
的右焦点 ( ,0)
F c 到一
0)
条渐近线的距离为 3
2
c ，则其离心率的值是 ▲ ．
R ，且在区间 ( 2,2]
上，
)
( )
f x
9．函数 ( )
f x 满足 (
f x
4)
( )(
f x x
则 (
f
f
(15))
的值为
▲ ．
cos
|
x
x
2
1
2
,0
x
2,
|, 2
-
x
0,
10．如图所示，正方体的棱长为 2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为
▲ ．
11．若函数
( ) 2
f x
x
3
2
ax
1(
a
R 在 (0,
)
) 内有且只有一个零点，则 ( )
f x 在[ 1,1]
上的最大值与最小值的和为 ▲ ．
12．在平面直角坐标系 xOy 中，A为直线 :
l y
x 上在第一象限内的点， (5,0)
B ，
2
以 AB为直径的圆 C与直线 l交于另一点 D．若
AB CD
0
，则点 A的横坐标
为 ▲ ．
13．在 ABC△ 中，角 ,
,A B C 所对的边分别为 ,
,a b c ，
ABC
120
， ABC 的平分线
交 AC 于点 D，且
BD ，则 4a c 的最小值为 ▲ ．
1
14．已知集合
A
{ |
x x
2
n
1,
n
*
N ，
}
B
{ |
x x
2 ,
n
n
*
N ．将 A B 的所有元素从
}
小到大依次排列构成一个数列{ }na ．记 nS 为数列{ }na 的前 n项和，则使得
S
n
12
a
1
n
成立的 n的最小值为 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域
．．．．．．．内作答，解答时
应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分 14 分）
在平行六面体
ABCD A B C D
1
1 1
1
AA
中， 1
AB AB
1
,
．
B C
1
1
求证：（1）
AB
平面∥
A B C
1 1
；
（2）
平面
ABB A
1 1
平面
A BC
1
．
16．（本小题满分 14 分）
已知 ,为锐角，
tan
，
4
3
cos(
)
．
5
5
（1）求 cos2的值；
（2）求 tan(
) 的值．
17．（本小题满分 14 分）
某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆 O的一段圆弧 MPN （P为此圆
弧的中点）和线段 MN构成．已知圆 O的半径为 40 米，点 P到 MN的距离为
50 米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形
ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为 CDP△ ，要求 ,A B 均在线
段 MN 上， ,C D 均在圆弧上．设 OC与 MN所成的角为．
（1）用分别表示矩形 ABCD 和 CDP△ 的面积，并确定
sin的取值范围；
（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬
菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 4 : 3 ．求当为何值时，能
使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
18．（本小题满分 16 分）
如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C过点 1
( 3,
2
)
，
F
焦点 1
(
3,0),
F
2
( 3,0)
，圆 O的直径为 1
2F F ．
（1）求椭圆 C及圆 O的方程；
（2）设直线 l与圆 O相切于第一象限内的点 P．
①若直线 l与椭圆 C 有且只有一个公共点，求点 P的
坐标；
②直线 l与椭圆 C交于 ,A B 两点．若 OAB△ 的面积为 2 6
7
，
求直线 l的方程．
19．（本小题满分 16 分）
记 ( ),
分别为函数 ( ),
( )
f x g x
f x g x 的导函数．若存在 0x R ，满足 0
(
f x
( )
)
(
g x
0
)
(
f x
且 0
)
(
g x
0
)
，则称 0x 为函数 ( )
f x 与 ( )g x 的一个“S点”．
（1）证明：函数 ( )
f x
x 与
( )
g x
2
x
2
x
不存在“S点”；
2
（2）若函数
( )
f x
2
ax
1
与 ( )
g x
存在“S点”，求实数 a的值；
ln
x
（3）已知函数
( )
f x
x
2
，
a
( )
g x
．对任意 0
a ，判断是否存在 0
b ，
e
xb
x
使函数 ( )
f x 与 ( )g x 在区间 (0,
) 内存在“S点”，并说明理由．
20．（本小题满分 16 分）
设{ }na 是首项为 1a ，公差为 d的等差数列，{ }nb 是首项为 1b ，公比为 q的等比
数列．
a
（1）设 1
10,
b
1,
q
，若
2
|
a
n
b
n
对 1,2,3,4
|
n
b
1
均成立，求 d的取值范围；
（ 2 ） 若
a
1
b
1
0,
m
*
N
q
,
(1, 2]m
， 证 明 ： 存 在 d R ， 使 得
|
a
n
b
n
|
对
b
1
n
2,3,
m
,
1
均成立，并求 d 的取值范围（用 1,
b m q 表示）．
,
一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法．每小题 5 分，共
数学Ⅰ试题参考答案
计 70 分．
1．{1，8}
5．[2，+∞）
8．2
9． 2
2
12．3
13．9
二、解答题
2．2
3．90
4．8
7． π
6
11．–3
6． 3
10
10． 4
3
14．27
15．本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考
查空间想象能力和推理论证能力．满分 14 分．
证明：（1）在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB∥A1B1．
因为 AB 平面 A1B1C，A1B1 平面 A1B1C，
所以 AB∥平面 A1B1C．
（2）在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，四边形 ABB1A1 为平行四边形．
又因为 AA1=AB，所以四边形 ABB1A1 为菱形，
因此 AB1⊥A1B．
又因为 AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，
所以 AB1⊥BC．
又因为 A1B∩BC=B，A1B 平面 A1BC，BC 平面 A1BC，
所以 AB1⊥平面 A1BC．
因为 AB1 平面 ABB1A1，
所以平面 ABB1A1⊥平面 A1BC．
16．本小题主要考查同角三角函数关系、两角和（差）及二倍角的三角函数，
考查运算求解能力．满分 14 分．
sin
cos
解：（1）因为
，
tan
tan
4
3
，所以
sin
4
3
cos
．
9
25
因为 2
sin
cos
2
，所以 2
cos
1
，
因此，
cos2
2cos
2
1
．
7
25
（2）因为 ,为锐角，所以
(0,π)
．
又因为
cos(
)
，所以
5
5
sin(
)
2
1 cos (
)
2 5
5
，
因此 tan(
)
．
2
因为
tan
，所以
4
3
tan 2
2tan
1 tan
因此，
tan(
)
tan[2
)]
(
，
2
tan 2
tan(
1+ tan 2 tan(
24
7
)
)
2
11
．
17．本小题主要考查三角函数的应用、用导数求最值等基础知识，考查直观想
象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力．满分 14 分．
解：（1）连结 PO并延长交 MN于 H，则 PH⊥MN，所以 OH=10．
过 O作 OE⊥BC于 E，则 OE∥MN，所以∠COE=θ，
故 OE=40cosθ，EC=40sinθ，
则矩形 ABCD的面积为 2×40cosθ（40sinθ+10）=800（4sinθcosθ+cosθ），
△CDP的面积为 1
2
×2×40cosθ（40–40sinθ）=1600（cosθ–sinθcosθ）．
过 N作 GN⊥MN，分别交圆弧和 OE的延长线于 G和 K，则 GK=KN=10．
令∠GOK=θ0，则 sinθ0= 1
4
，θ0∈（0， π
6
）．
当θ∈[θ0， π
2
）时，才能作出满足条件的矩形 ABCD，
所以 sinθ的取值范围是[ 1
4
，1）．
答：矩形 ABCD的面积为 800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面积
为
1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范围是[ 1
4
，1）．
（2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 4∶3，
设甲的单位面积的年产值为 4k，乙的单位面积的年产值为 3k（k>0），
则 年 总 产 值 为 4k×800 （ 4sinθcosθ+cosθ ） +3k×1600
（cosθ–sinθcosθ）
=8000k（sinθcosθ+cosθ），θ∈[θ0， π
2
）．
设 f（θ）= sinθcosθ+cosθ，θ∈[θ0， π
2
），
则．
令 ( )=0
f ′ ，得θ= π
6
，
）时， ( )>0
f ′ ，所以 f（θ）为增函数；
当θ∈（θ0， π
6
， π
2
当θ∈（ π
6
）时， ( )<0
f ′ ，所以 f（θ）为减函数，
因此，当θ= π
6
时，f（θ）取到最大值．
答：当θ= π
6
时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
18．本小题主要考查直线方程、圆的方程、圆的几何性质、椭圆方程、椭圆的
几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等知识，考查分析问题能力和运算
求解能力．满分 16 分．
F
解：（1）因为椭圆 C的焦点为 1
(
3,0 ,
)
F
2
( 3,0)
，
可设椭圆 C的方程为
2
2
x
a
2
2
y
b
1(
．又点 1
a b
( 3,
2
0)
)
在椭圆 C上，
3
所以 2
a
2
a
2
1
4
b
2
b
1,
3,
，解得
2
2
a
b
4,
1,
因此，椭圆 C的方程为
2
x
4
2
y
．
1
因为圆 O的直径为 1
2F F ，所以其方程为 2
x
2
y
．
3
（2）①设直线 l与圆 O相切于 0
(
,
P x y
0
)
(
x
0
,
0
y
0
，则 2
x
0
0)
2
y
0
，
3
所以直线 l的方程为
y
x
0
y
0
(
x
x
0
)
，即
y
0
y
x
0
y
0
x
．
3
y
0
由
2
x
4
y
2
y
1,
x
0
y
0
x
3 ,
y
0
，消去 y，得
2
(
4
x
0
2
y
0
2
)
x
24
x x
0
36 4
2
y
0
．（*）
0
因为直线 l与椭圆 C有且只有一个公共点，
所以
(
24
x
0
2
)
2
(
4 4
x
0
2
y
0
)(
36 4
2
y
0
)
2
8
4
y
0
2
(
x
0
0)
2
．
因为 0
x
x y ，所以 0
0
,
0
02,
y
．
1
因此，点 P的坐标为 ( 2,1) ．
②因为三角形 OAB的面积为 2 6
7
，所以
1
AB OP
2
2
6
7
，从而
AB
4 2
7
．
设 1
(
A x y B x y ，
,
)
(
)
,
,
1
2
2
由（*）得
x
1,2
24
x
0
2(4
48
2
x
0
y
0
2
2
(
y
0
x
0
2
)
2)
，
所以
2
B
A
1(
x
x
2
2
)
(
y
1
y
2
2
)
(1
2
2
x
0
y
0
)
2
2
48
y
0
(4
x
0
2
(
x
0
y
2)
2 2
)
0
．
因为 2
x
0
2
y
0
，
3
所以
2
AB
x
0
2
16(
(
x
0
2
2)
2
1)
32
49
，即 4
x
0
2
2
45
x
0
100 0
，
解得 2
x
0
5 (
2
2
x
0
舍去），则 2
0
20
y ，因此 P的坐标为 10
2
1
2
(
,
2
2
)
．
综上，直线 l的方程为
y
5
x
．
3 2
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