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1999年湖南高考理科数学真题及答案.doc
1999 年湖南高考理科数学真题及答案
第 I 卷（选择题 共 60 分）
注意事项：
l．答第 I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型（A 或 B）
用铅笔涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡
皮擦干净后。再选涂其它答案，不能答在试题卷上。
3．考试结束。监考人将本试卷和答题卡一并收回。
参考公式：
三角函数的积化和差公式
sin cos
cos
cos
1
2
1
2
sin(
)
sin(
)
cos
sin
1
2
sin(
)
sin(
)
cos(
) cos(
)
正棱台、圆台的侧面积公式：
S
台侧
1 (
c
2
)
c l
其中 c 、 c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长．
4
3
3
球的体积公式：
V
r球
1
V
台体 （
台体的体积公式：
3
，其中 R 表示球的半径．
‘
S
'
SS
)
hS
，其中 'S ，S 分别表示上下底面积，h
表示高。
一、选择题：本大题共 14 小题；第 1—10 题每小题 4 分，第 11—14 题每小题 5 分，共 60
分在每小题给出的四个选顶中，只有一顶是符合题目要求的。
（1）如图,I 是全集,M、P、S、是 I 的 3 个子集，由阴影部分所表示的集合是
(
)
（A）
(
NM
)
S
（B）
(
PM
)
S
（C）
(
PM
)
S
（D）
(
PM
)
S
（2）已知映射 f: A
B
,
其中，集合
A
,3,2,1,1,2,3{
},
集合
B
中的元素都是
A
中
元素在映射 f 下的象，且对任意的 a A
素的个数是
B,
在
中和它对应的元素是
{a},
则集合
B
中
元
(
)
（A）4
（B）5
（C）6
（D）7
（3）若函数 y=f(x)的反函数是 y=g(x),f(a)=b,ab
,0
则 )(
bg
等于
(
)
（A） a
（B） 1a
（C）b
（D） 1b
（4）函数 f(x)=Msin(
)(
x
在区间)0
[a,b]上是增函数，且 f(a)=-M,f(b)=M,则函
数 g(x)=Mcos(
)
上在 ],[
x
ba
(
)
(A)是增函数
（B）是减函数
（C）可以取得最大值 M
（D）可以取得最小值－M
（5）若 f(x)sinx 是周期为的奇函数，则 f(x)可以是
（A）sinx
(B)cosx
（6）在极坐标系中，曲线
4
sin(
(C)sin2x
3
关于)
(D)cos2x
(
)
(A)直线
对称
（B）直线
轴对称
5
6
（C）点(2,
中心对称
（D）极点中心对称
3
)
3
（７）若干毫升水倒入底面半径为２cm 的圆柱形器皿中，量得水面的高度为６cm，若将这
些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是
（ ）
(A)
cm36
（B） cm6
（C）2
（D）3
（8）
若
2(
x
4
)3
a
0
xaxa
1
2
2
3
xa
3
xa
4
4
,
则（
a
0
a
2
a
4
2
)
(
a
1
a
3
2
)
的值为
(A)1
(9)直线
（A）
3
x
6
(B)-1
(C)0
(D)2
（
）
y
32
截圆
0
4
(B)
2
x
2
y
4
得的劣弧所对的圆心角
为
（
）
(C)
3
(D)
2
(10) 如图，在多面体ＡＢＣＤＥＦ中 , 已知面ＡＢＣＤ是边长为３的正方形ＥＦ∥ＡＢ
Ｅ Ｆ ＝ EF,
3
2
与 面 Ａ Ｃ 的 距 离 为 ２ ， 则 该 多 面 体 的 体 积 （
）
（A）
9
2
（11）若 sin
(B)5
(C) 6
tg
(
ctg
(
4
)
2
4
(B)
,
(A)
(
2
)0,
(C)
则),
2
,0(
)
4
(D)
15
2
（
）
(D)
(
)
4
2
,
（12）如果圆台的上底面半径为 5，下底面半径为 R，中截面把圆台分为上、下两个圆台，
它们的侧面积的比为 1∶2，那么 R＝（
）
（A）10
（B）15
（C）20
（D）25
（13）已知丙点 M（1，
③
2
x
2
2
y
1
④
5
4
2
x
2
)
5,4(
N、
4
),
给出下列曲线方程：4x+2y-1=0 ②
2
x
2
y
3
y
2
1
在曲线上存在点 P 满足 MP
PN
的所有曲线方程是
（A）①③
（B）②④
（C）①②③ （D）②③④
（14）某电脑用户计划使用不超过 500 元的资金购买单价分别为 60 元、70 元的单片软件和
盒装磁盘。根据需要，软件至少买 3 片，磁盘至少买 2 盒，则不同的选购方式共有（ ）
（A）5 种
（B）6 种
（C）7 种
（D）8 种
二、填空题：本大题共 4 小题；每小题 4 分，共 16 分。把答案填在题中横线上。
（15）设椭圆
2
2
x
a
2
2
y
b
1
（
a
b
)0
的右焦点为
F
，右准线为
1
L
2
.
若过 1F 且垂直于 x
轴的弦的长等于点 F 1 到 L 1 的距离，则椭圆的离心率是
。
（16）在一块并排 10 垄的田地中，选择 2 垄分别种植 A、B 两种作物，每种作物种植一垄，
为有利于作物生长，要求 A、B 两种作物的间隔不小于 6 垄，则不同的选垄方法共有_____
种(用数字作答）
（17）若正数 a、b 满足 ab=a+b+3,则 ab 的取值范围是
（18）、 是两个不同的平面，m、n 是平面 、 之外的两条直线。给出四个论断：
①
nm ②
③ n
④ m 以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为
结论，写出你认为正确的一个命题：
三．解答题：本大题共 6 小题；共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（19）（本小题满分 10）
解不等式
log3
a
x
2
log2
a
x
.(1
a
,0
a
)1
（20）（本小题满分 12 分）
设复数 z＝3cos
i
sin2
.
求函数
y
arg
z
0(
)
的最大值以
2
及对应的值
(21)(本小题满分 12 分)
如 图 ： 已 知 正 四 棱 锥 ABCD －
DCBA
1
1
1
1
,
在棱点
E
DD
1
上，截面
EAC
∥
所成的角为
45
，
EAC
与底面
ABCD
,
BD
且面
1
AB
a
＝
1
EAC
）求截面
（
的面积；
2
BA
AC
）求异面直线
与
（
1
1
3
B
EAC
）求三棱锥
－
的体积。
（
1
之间的距离；
（22）（本小题满分 12 分）
右图为一台冷轧机的示意图。
冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从
一端输入，经过各对轧辊
逐步减薄后输出。
（1）输入钢带的厚度为,输出钢带的厚度为 ，
若每对轧辊的减薄率不超过 0r ，问冷轧机至少需要
安装多少对轧辊？
（一对轧辊减薄率＝
输入该对的带钢厚度－
从该对输出的带钢厚度
输入该对的带钢厚度
）
（2）已知一台冷轧机共有 4 台减薄率为 20％的轧辊，所有轧辊周长均为 1600mm。若第 k
对轧辊有缺陷，每滚动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的带钢上，疵点
的间距为 kl .为了便于检修，请计算
1.
LLL
3
2
并填入下表（轧钢过程中，带钢宽度
不变，且不考虑损耗）
轧钢序列号 k
1
2
3
疵点间距 kL （单位 mm）
4
1600
(23)(本小题满分 14 分)
已知函数 y=f(x)的图象是自原点出发的一条折线。当
y
b
n
的线段（其中正常数
b
1
），
时，该图象是斜率为
)
定义。
n
设数列
)2,1,0
(
,2,1
)
nn
的表达式；
n
(1
n
n
}{
(
xf
x
由
n
n
.
.
1
x
xx
）求（
和
1
2
)(
2
xf
的表达式，并写出其定
3
)(
y
x
xf
）证明：
的图象没有
（
1
的交点
横坐标大于
）求（
的图象与
y
义域；
(24)（本小题满分 14 分）
如图，给出定点 A（a, 0）(a>0 且 a 1 和直线 l: x=-1 ,B
是直线 l 上的动点，∠BOA 的角平分线交 AB 于 C 点，求点 C
的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与 a 值的关系。
说明：
参考答案
一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给了一种或几种解法供参考，如
果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细
则。
二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题
的内容和难，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分解答应得分数的一半；
如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。第（1）－第（10）题每小题 4 分，第（11）
－（14）题每小题 5 分，满分 60 分。
（1）C
（2〕A
（3〕A
（4）C
（5）B
（6）B
（7）B
（8）A
（9）C
（10）D
（11）B （12）D （13）D （14）C
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题 4 分，满分 16 分
（15）
1
2
(18) m
（16）12 （17）[9, + )
;
nm
n
,
,
或
mnm
,
n
,
三．
（19）本小题主要考查对数函数的性质，对数不等式、无理不等式解法等基础知识，考查分
类论的思想，满分 10 分
解：原不等式等价于
3
3
2
log
log
log
a
a
a
x
x
x
2
2
1
0
2(
0
log
a
x
)1
2
可解得：
当 a>1 时得所求的解集是：
2
3
{
ax
3
4
x
a
}
{
xx
}
a
当 0＜a＜1 时得所求的解集是：
3
4
{
ax
2
3
x
a
}
0{
x
x
}
a
(20) 本小题主要考查复数的基本概念、三角公式和不等式等基础知识，考查综合运用所学
数学知识解决问题的能力，满分 12 分。
由 0<
由 z=3cos
2
tg得
0
i
sin2
,
得
0
arg
z
2
及
tg
(arg
z
)
sin2
cos
3
2
3
tg
故 tgy=tg(
arg
z
)
∵
3
tg
2
tg
≥2 6
2
3
tg
tg
2
tg
21
3
1
2
tg
2
tg
∴
1
3
tg
≤
6
12
2
tg
当且仅当
3
tg
2
tg
0(
)
即时
2
,
tg
6
2
,
时
上式取等号
故当
arctg
6
2
函数时
,
tgy
取最大值
6
12
∵
y
arctgz
故
y
(
).
2
2
,
∴
y
max
arctg
6
12
(21) 本小题主要考查空间线面关系、二面角和距离的概念
思维能力、空间想象能力及运算能力。满分 12 分。
(1)作辅助线如图所示:
S 解得:
EAC
2
2 a
2
(2)可求得 A
1
DDA
1
2
a
即为所求异面直线的距
离
(1) 求得
QB
1
3
4
DB
1
3
2
a
,
故
V
B
1
EAC
1
3
2
2
2
a
3
2
a
2
4
3
a
(22) 本小题主要考查等比数列，对数计算等基本知识，考查综合运用数学知识和方法解决
实际问题的能力，满分 14 分。
(1)厚度为的钢带经过减薄率均为 0r 的 n 对轧辊后厚度为
r )
0
1(
n
为使输出钢带的厚度不超过 ,冷轧机的轧辊数(以对为单位)应满足
1(
n
r
0
)
即
1(
n
r
0
)
两边取对数得
:
n
1lg(
r
0
)
lg
即
n
lg
1lg(
)
lg
r
0
因此至少需要安装不小
于
lg
1lg(
)
lg
r
0
的整数对轧辊
(2)第三对轧辊出口疵点间距为轧辊周长,在此处出口的两疵点间带钢体积与冷轧机
出口处两疵点间带钢体积相等,因宽度不变,有
1600
L
3
)201(
故
L
3
1600
80
填表如下:
2000
(
mm
)
同理
L
2
L
3
80
2500
(
mm
)
L
2
L
2
80
3125
(
mm
)
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