1999年湖南高考文科数学真题及答案.doc-资料库

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1999 年湖南高考文科数学真题及答案本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分。第 I 卷 1 至 2 页。第 II 卷 3 至 8 页。共 150 分。考试时间 120 分钟。第 I 卷（选择题共 60 分）注意事项： l.答第 I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型（A 或 B）用铅笔涂写在答题卡上。 2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后。再选涂其它答案，不能答在试题卷上。 3.考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。参考公式：三角函数的积化和差公式 sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2 cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2 cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2 sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2 正棱台、圆台的侧面积公式： S 台侧=(c'+c)L/2 其中 c'和 c 表示圆台的上下底面的周长，L 表示斜高或母线长。台体的体积公式：一. 选择题：本大题共 14 小题；第(1)—(1O)题每小题 4 分，第(11)—(14)题每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选顶中，只有一顶是符合题目要求的。其中 s,s'分别表示上下底面积，h 表示高。（1）如图，I 是全集，M、P、S 是 I 的 3 个子集，则阴影部分所表示的集合是（A）（M∩P〕∩S （B）（M∩P）∪S （C〕（M∩P）∩ （D〕（M∩P）∪ （2）已知映射 f：A→B，其中，集合 A＝{-3，-2，-1，1，2，3，4}，集合 B 中的元素都是 A 中元素在映射 f 下的象，且对任意的 a∈A，在 B 中和它对应的元素是|a|，则集合 B 中元素的个数是（A）4 （B）5 （C）6 （D）7 （3）若函数 y＝f（x）的反函数是 y=g（x），f（a）=b，ab≠0，则 g（b）等于（A）a （B）a-1 （C）b （D）b-1

（4）函数 f（x）＝Msin（ωx+ρ）（ω>0）在区间[a，b]上是增函数，且 f（a）=-M，f （b）=M，则函数 g（x）=Mcos（ωx+ρ）在[a，b]上（A）是增函数（C）可以取得最大值 M （B）是减函数（D）可以取得最小值-M （5）若 f（x）sinx 是周期为∏的奇函数，则 f（x）可以是（A）sinx （B）cosx （C）sin2x （D）cos2x （6）曲线 x2+y2+2 x-2 y=0 关于（A）直线 x=轴对称（B）直线 y=-x 轴对称（C）点（-2，）中心对称（D）点（- ，0）中心对称（7）若干毫升水倒人底面半径为 2cm 的圆柱形器皿中，量得水面的高为 6cm，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是（A）6 cm （B）6cm （C）2 cm （D）3 cm （8）若（2x＋）3＝a0+a1x+a2x2+a3x3，则（a0+a2）2-（a1+a3）2 的值为（A）-1 （B）l （C） 0 （D） 2 （9）直线 x＋y-2 =O 截圆 x2+y2=4 得的劣弧所对的圆心角为（A）（B）（C）（D）（10）如图，在多面体 ABCDEF 中，已知面 ABCD 是边长为 3 的正方形， EF∥AB， EF=3/2，EF 与面 AC 的距离为 2，则该多面体的体积为（A）9/2 （B）5 （C）6 （D）15/2 （11）若 sina＞tga＞ctga(- ＜a＜ )，则 a∈ （A）（- ，- ）（B）（- ，0）（C）（0，）（D）（，）（12）如果圆台的上底面半径为 5，下底面半径为 R，中截面把圆台分为上、下两个圆台，它们的侧面积的比为 1：2，那么 R= （A）10 （B）15 （C）20 （D）25 （13）给出下列曲线： ①4x+2y-1=0 ②x2+y2=3 ③x2/2+y2=1 ④x2/2-y2=1 其中与直线 r＝-2x-3 有交点的所有曲线是（A）①③ （B）②④ （C） ①②③ （D）②③④ （14）某电脑用户计划使用不超过 500 元的资金购买单价分别为 60 元、70 元的单片软件和盒装磁盘根据需要，软件至少买 3 片，磁盘至少买 2 盒则不同的选购方式共有（A）5 种（B）6 种（C）7 种（D）8 种第Ⅱ卷(非选择题共 90 分)

二．填空题：本大题共 4 小题；每小题 4 分，共 16 分，把答案填在题中横线 (15)设椭圆 2 2 x a  2 2 y b  1 (a>b>0)的右焦点为 F1，右准线为 l1 若过 F1 且垂直于 x 轴的弦的长等于点 F1 到 l1 的距离，则椭圆的离心率是_______________ 新疆王新敞奎屯 (16)在一块并排 10 垄的田地中，选择 2 垄分别种植 A、B 两种作物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长．要求 A、B 两种作物的间隔不小于 6 垄，则不同的选垄方法共有______ 种(用数字作答) 新疆王新敞奎屯 (17)若正数 a、b 满足 ab=a+b+3，则 ab 的取值范围是____________ 新疆王新敞奎屯 (18) α、β是两个不同的平面，m、n 是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断： ①m⊥n ②α⊥β ③n⊥β ④m⊥α 以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确一个命题： _________________________ 新疆王新敞奎屯三．解答题：本大题共 6 小题；共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 (19)(本小题满分 10 分) 解方程 31 gx －31gx+4=0 2 (20)(本小题满分 12 分) 数列{an}的前 n 项和记为 Sn，已知 an=5Sn－3(n∈N)求 lim (a1+a3+…+a2n－1)的值． n (21)(本小题满分 12 分) 设复数 z=3cosθ+isinθ．求函数 y=tg(θ－argz)(0<θ<  2 )的最大值以及对应的θ值 (22)(本小题满分 12 分) 如图，已知正四棱柱 ABCD－A1B1C1D1，点 E 在棱 D1D 上，截面 EAC∥D1B，且面 EAC 与底面 ABCD 所成的角为 45º，AB=a． (Ⅰ)求截面 EAC 的面积； (Ⅱ)求异面直线 A1B1 与 AC 之间的距离； (Ⅲ)求三棱锥 B1－EAC 的体积．

D 1 E D A 1 A C 1 B 1 C B (23)(本小题满分 14 分) 下图为一台冷轧机的示意图．冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出． (Ⅰ)输入带钢的厚度为 a，输出带钢的厚度为β，若每对轧辊的减薄率不超过 r0，问冷轧机至少需要安装多少对轧辊？输入该对的带钢厚度－从该对输出的带钢厚度 (一对轧辊减薄率= 输入该对的带钢厚度 ) (Ⅱ)已知一台冷轧机共有 4 对减薄率为 20%的轧辊，所有轧辊周长均为 1600mm，若第 k 对轧辊有缺陷，每滚动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的带钢上，疵点的间距为 Lk，为了便于检修，请计算 L1、L2、L3 并填入下表(轧钢过程中，带钢宽度不变，且不考虑损耗)．轧辊序号 k 1 2 3 疵点间距 Lk(单位：mm) (24)(本小题满分 14 分) 4 1600 如图，给出定点 A(a，0) (a>0，a≠1)和直线 l：x=－1，B 是直线 l 上的动点，∠BOA 的角平分线交 AB 于点 C，求点 C 的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与 a 值的关系．

参考答案说明：一．本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一．选择题：本题考查基本知识和基本运算．第(1)—(10)题每小题 4 分，第(11)—(14)题每小题 5 分．满分 60 分． (1) C (2) A (3) A (4) C (5) B (6) B (7) B (8) A (9) C (10) D (11) B (12) D (13) D (14) C 二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题 4 分，满分 16 分． (15) 1 2 (16) 12 (17)  ，9 (18) m⊥α，n⊥β，α⊥β  m⊥n 或 m⊥n，m⊥α，n⊥β  α⊥β 三．解答题 (19) 本小题主要考查对数方程、无理方程的解法和运算能力．满分 10 分．解：设 lg3 x  2 y ，原方程化为 y－y2+2=0 解得 y=－1，y=2．因为 lg3 x 2 0 ，所以将 y=－1 舍去．由 lg3 x 2 =2，得 lgx=2， ——4 分 ——6 分

所以 x=100．经检验，x=100 为原方程的解． (20) 本小题主要考查等比数列和数列极限等基础知识．满分 12 分．解：由 Sn=a1+a2+…+an 知 an=Sn－Sn－1(n≥2)， a1=S1，由已知 an=5Sn—3 得 an－1=5Sn－1—3．于是 an－an－1 =5(Sn－Sn－1) =5an， 1 4 所以 an=－ an－1．由 a1=5S1—3，得 a1= 3 4 ．所以，数列{an}是首项 a1= ——9 分 ——10 分 ——2 分 ——4 分 ——6 分 3 4 ，公比 q=－ 1 4 的等比数列． ——8 分由此知数列 a1，a3，a5，…，a2n－1，… 是首项为 a1= 3 4 ，公比为 2    1 4    的等比数列． ∴ lim ( a1+a3+a5+…+a2n－1)= n 3 4    1 1 4    2  4 5 ． ——12 分 (21) 本小题主要考查复数的基本概念、三角公式和不等式等基础知识，考查综合运用所学数学知识解决问题的能力．满分 12 分．解：由 0   2 得 tg  ． 0 由 z=3cosθ+isinθ得 tg(argz)= sin  cos 3   1 3 tg  ．分故 y=tg(θ－argz) ——3

tg  1 3 tg 2  tg    tg   11  3 2  3 tg  ∵ ∴ 3 tg  3 tg    tg  32 ， 2   tg  3 3 ．当且仅当 3 tg =tgθ( 0   2 )时，即 tgθ= 3 时，上式取等号．所以当θ=  3 时，函数 y 取得最大值 3 3 ． ——6 分 ——9 分 ——12 分 (22) 本小题主要考查空间线面关系、二面角和距离的概念，逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力．满分 12 分． (Ⅰ) 解：如图，连结 DB 交 AC 于 O，连结 EO． ∵ 底面 ABCD 是正方形， ∴ DO⊥AC．又 ∵ ED⊥底面 AC， ∴ EO⊥AC． ∴ ∠EOD 是面 EAC 与底面 AC 所成二面角的平面角， ∴ ∠EOD=45º． DO= 2 2 a，AC= 2 a，EO= 2 2 a·sec45º=a．故 S△EAC= 2 2 a 2． (Ⅱ) 解：由题设 ABCD－A1B1C1D1 是正四棱柱，得 A1A⊥底面 AC，A1A⊥AC．又 A1A⊥A1B1， ——2 分 ——4 分

∴ A1A 是异面直线 A1B1 与 AC 间的公垂线． ——6 分 ∵ D1B∥面 EAC，且面 D1BD 与面 EAC 交线为 EO， ——8 分 ∴ D1B∥EO．又 O 是 DB 的中点， ∴ E 是 D1D 的中点，D1B=2EO=2a． ∴ D1D= 2 BD 1  2 DB = 2 a．异面直线 A1B1 与 AC 间的距离为 2 a． (Ⅲ) 解法一：如图，连结 D1B1． ∵ D1D=DB= 2 a， ∴ BDD1B1 是正方形．连结 B1D 交 D1B 于 P，交 EO 于 Q． ∵ B1D⊥D1B，EO∥D1B， ∴ B1D⊥EO．又 AC⊥EO，AC⊥ED． ∴ AC⊥面 BDD1B1， ∴ B1D⊥AC， ∴ B1D⊥面 EAC． ∴ B1Q 是三棱锥 B1－EAC 的高． ——10 分由 DQ=PQ，得 B1Q= ∴ V EAC B 1  1  3 3 4 2 2 B1D= 2 a  3 2 3 2 a． a  所以三棱锥 B1－EAC 的体积是 2 4 a 3 . 3 2 a ． 4 解法二：连结 B1O，则 EAC BV 1 =2 AV  ． EOB 1 ∵ AO⊥面 BDD1B1， ∴ AO 是三棱锥 A－EOB1 的高，AO= 2 2 a．在正方形 BDD1B1 中，E、O 分别是 D1D、DB 的中点(如右图)， ——12 分 ——10 分

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