2014年福建高考理科数学真题及答案.doc-资料库

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2014 年福建高考理科数学真题及答案第Ｉ卷（选择题共 50 分）一.选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.复数 (3 2 ) i i   z 的共轭复数 z 等于（） . 2 3 A i   . 2 3 B i   C .2 3 i D .2 3 i 2.某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（） .A 圆柱 .B 圆锥 .C 四面体 .D 三棱柱 3.等差数列{ }na 的前 n 项和 nS ，若 1 a  32, S 12  ，则 6a  ( ) .8A .10B .12C .14D 4.若函数 log  y ( x a  0, 且 a 1) a 的图像如右图所示，则下列函数图象正确的是（） 5.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的 S 得值等于（ .18A .40D .21C .20B ）

1  与圆 l y kx ”的（ 6.直线 : 1 2 .A 充分而不必要条件 .C 充分必要条件） : O x 2 2 y 1  相交于 ,A B 两点，则" k  是“ ABC 1" 的面积为 .B 必要而不充分条件 .D 既不充分又不必要条件 7.已知函数   xf  A.  xf 是偶函数 B. x x 0 0   则下列结论正确的是（）  ,12 x   , cos x   xf 是增函数 C.  xf 是周期函数 D.  xf 的值域为  ,1 8.在下列向量组中，可以把向量  2,3a 表示出来的是（） A. e 1  ),0,0( e 2  )2,1( B . e 1  ),2,1( e 2  )2,5(  C. e 1  ),5,3( e 2  )10,6( D. e 1  ),3,2(  e 2  )3,2( 9.设 QP, 分别为 2 x   y  6 2   2 和椭圆 2 x 10 2  y  1 上的点，则 QP, 两点间的最大距离是（） A. 25 B. 46  2 C. 7  2 D. 26 10.用 a 代表红球，b 代表蓝球， c 代表黑球，由加法原理及乘法原理，从 1 个红球和 1 个篮球中取出若干个球的所有取法可由 1 1 表示出来，如：“1” 的展开式 ba  1 b ab   a 表示一个球都不取、“ a ”表示取出一个红球，而“ ab ”则表示把红球和篮球都取出来。. 依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从 5 个无区别的红球、5 个无区别的蓝球 5 个

有区别的黑球中取出若干个球，且所有的篮球都取出或都不取出的所有取法的是 3  4 a  5 a  1  2  3 b  4 b  b 2  3 b  4 b   A.  1 B. 1 C.  1 D. 1  2 5 a a  aa   1 bb    1  1 bb    1   a b 5 a 5 5 5 5  1 b  1   1 5 b c   5 c 5 5 c 5  c 2 c  3 c  4 c  c 第 II 卷（非选择题共 100 分）二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分。把答案填在答题卡的相应位置。 11、若变量 yx, 满足约束条件 x x x      01 08     y 2 0 y 则 z  3 x  y 的最小值为________ 12、在 ABC 中， A  60 ,  AC  4, BC  2 3 ,则 ABC 的面积等于_________ 13、要制作一个容器为 4 3m ，高为 m1 的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米 20 元，侧面造价是每平方米 10 元，则该容器的最低总造价是_______（单位：元） 14.如图，在边长为 e （ e 为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部分的概率为______. 15.若集合 ,{ dcba },4,3,2,1{}, , 且下列四个关系： ① 1a ；② 1b ；③ 2c ；④ 4d 有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组 ,( , dcba , ) 的个数是_________. 三．解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.（本小题满分 13 分）

已知函数 ( ) f x  cos (sin x x  cos ) x 1  . 2 （1）若0   ，且  2 sin  2 2 ，求 ( f  的值； ) （2）求函数 ( ) f x 的最小正周期及单调递增区间. 17.（本小题满分 12 分）在平行四边形 ABCD 中， AB BD CD    ， 1 AB BD CD BD   , .将 ABD 沿 BD 折起，使得平面 ABD  平面 BCD ，如图. （1）求证：AB  CD；（2）若 M 为 AD 中点，求直线 AD 与平面 MBC 所成角的正弦值. 18.（本小题满分 13 分）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对 1000 位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有 4 个标有面值的球的袋中一次性随机摸出 2 个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额. （1）若袋中所装的 4 个球中有 1 个所标的面值为 50 元，其余 3 个均为 10 元，求 ①顾客所获的奖励额为 60 元的概率 ②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望; （2）商场对奖励总额的预算是 60000 元，并规定袋中的 4 个球只能由标有面值 10 元和 50 元的两种球组成，或标有面值 20 元和 40 元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励

总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的 4 个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由. 19.（本小题满分 13 分）已知双曲线 xE : a 2 2  2 2 y b  (1 a  ,0 b  )0 的两条渐近线分别为 l 1 : y  ,2 lx 2 : y  2 x . （1）求双曲线 E 的离心率； 1,l l 于 BA, 两点（ BA, 分别在第一，（2）如图， O 为坐标原点，动直线l 分别交直线 2  四象限），且 OAB 共点的双曲线 E ？若存在，求出双曲线 E 的方程；若不存在，说明理由。的面积恒为 8，试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公 20. （本小题满分 14 分）已知函数   xf  e x  ax （ a 为常数）的图像与 y 轴交于点 A ，曲线 y   xf 在点 A 处的切线斜率为-1. （I）求 a 的值及函数  xf 的极值；（II）证明：当 0x 时，（III）证明：对任意给定的正数 c ，总存在 0x ，使得当  x 2 xe ； x  ，0x  ，恒有 x 2 xce . 21. 本题设有（1），（2），（3）三个选考题，每题 7 分，请考生任选 2 题作答，满分 14 分. 如果多做，则按所做的前两题计分.作答时，先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中. （1）（本小题满分 7 分）选修 4—2：矩阵与变换

已知矩阵 A 的逆矩阵 1A     12 21    . （I）求矩阵 A ；（II）求矩阵 1A 的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量. （2）（本小题满分 7 分）选修 4—4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为 x 2 t a  4 t y     x y      cos 4 sin4   ，（为参数）. ，（t 为参数），圆C 的参数方程为（I）求直线l 和圆C 的普通方程；（II）若直线 l 与圆C 有公共点，求实数 a 的取值范围. （3）（本小题满分 7 分）选修 4—5：不等式选讲已知定义在 R 上的函数   xf （I）求 a 的值；  1 x x 2 的最小值为 a . （II）若 rqp ，，为正实数，且 rqp  a ，求证： 2 p  2 q 2  r  3 . 2014 年福建高考数学试题（理）答案一.选择题：本大题考查基础知识和基本运算，每小题 5 分，共 50 分. 1-10 CACBBADBDA 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算，每小题 4 分，共 20 分。 11. 1 12. 2 3 13. 160 14. 2 2 e 15. 6 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16、本小题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式、两角和与差的三角函数及三角函数的图象与性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想。满分 13 分.

解法一：(1)因为 0    , 2 sin  2 2 , 所以 cos  2 2 . 所以 ( f   ) 2 2 ( 2 2  2 2 )   1 2 1 2 (2)因为 ( ) f x  sin cos x x  cos 2 x 1 2  2   1 2 sin 2 x  1 cos 2  x 2   1 2 1 2 sin 2 x  1 2 cos 2 x  2 2 sin(2 x   ) 4 2  2 x    .由 2  k    8 , x   2 k    4  .所以 ( ) k Z  ,所以 T 3  8 解法二： k    2 k    , 2 k Z  得 , f x 的单调递增区间为 [ k   3  , 8 k    ], 8 k Z  . ( ) f x  sin cos x x  cos 2 x   1 2 1 2 sin 2 x  1 cos 2  x   1 2 1 2 sin 2 x  1 2 cos 2 x  2 2 sin(2 x   ) 4 （1）因为 0    , 2 sin  2 2 , 所以  2  4 从而 f ( )   2 2 sin(2    ) 4  2 2 sin 3  4  1 2 （2） T    2  2   2 由 2 k   调递增区间为 [ 2 x    4 3  , k   8 2 k   k   k Z  得 , k   3  8   x k    8 ,  .所以 ( ) k Z f x 的单 k Z  .  , 2  ], 8 17. 本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想。满分 13 分。解： (1) 因为 ABD  平面 BCD , 平面 ABD  平面 BCD BD AB  ,  平面 ABD AB BD , , 所以 AB  平面 BCD 又CD  平面 . BCD 所以 AB CD , .

(2)过点 B 在平面 BCD 内作 BE BD ,如图. 由(1)知 AB  平面 , BCD BE  平面    BE BD BA , BCD BD  平面 , BCD 所以 , AB BE AB BD   , . 的方向为 x 轴, y 轴, z 轴的正方向建立空间直角坐以 B 为坐标原点,分别以 , 标系. 依题意,得 B  BC  则 (0,0,0),  BM C  (1,1,0), 设平面 MBC 的法向量 (0,0,1), A M (0, 1 1 , ) 2 2 . (0,1, 1)  . (0,1,0),  AD  (1,1,0), D 1 1 , 2 2 , ( , x y z 0 (0,  n ),  ) 0 . 0     n BC    即  n BM   0  0  则  y 0  0 . y 0  z 0  0     x 0 1 2 z  得平面 MBC 的一个法向量 (1, 1,1) 1,  . 取 0  n  设直线 AD 与平面 MBC 所成角为, 则 sin   cos    , n AD     n AD    n AD  6 3 , 即直线 AD 与平面 MBC 所成角的正弦值为 6 3 . 18.本小题主要考查古典概型、离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查必然与或然思想、分类与整合思想。满分 13 分。解：(1)设顾客所获的奖励为 X. ①依题意,得 ( P X  60)  1 1 C C 1 3 2 C 4  1 2 .

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