高等数学讲义之积分表公式推导.pdf-资料库

高等数学高等数学高等数学高等数学积积积积分分分分表表表表公公公公式式式式推推推推导导导导 Daniel Lau《高等数学讲义——积分公式》By Daniel Lau

Daniel Lau《高等数学讲义——积分公式》By Daniel Lau

目目目目录录录录（一）含有 bax+ 的积分的积分的积分的积分（1~9）·······················································1 （一）含有（一）含有（一）含有（二）含有（二）含有（二）含有（二）含有 bax + 的积分的积分的积分的积分（10~18）···················································5 （三）含有（三）含有（三）含有（三）含有 2 ax ± 的积分的积分的积分的积分（19~21）····················································9 2 （四）含有（四）含有（四）含有（四）含有 2 + abax > ( )0 的积分的积分的积分的积分（22~28）············································11 （五）含有（五）含有（五）含有（五）含有 ax 2 + acbx > ( + )0 的积分的积分的积分的积分（29~30）········································14 （六）含有（六）含有（六）含有（六）含有（七）含有（七）含有（七）含有（七）含有（八）含有（八）含有（八）含有（八）含有 2 aax ( 2 + > )0 的积分的积分的积分的积分（31~44）·········································15 aax 2 ( 2 − 2 axa ( 2 − > )0 的积分的积分的积分的积分（45~58）·········································24 > )0 的积分的积分的积分的积分（59~72）·········································37 （九）含有（九）含有（九）含有（九）含有 ± a 2 + acbx ( + > )0 的积分的积分的积分的积分（73~78）····································48 （十）含有（十）含有（十）含有（十）含有 ± ax bx − − 或或或或 ( xbax ) )( − − 的积分的积分的积分的积分（79~82）···························51 （十一）含有三角函数的积分（十一）含有三角函数的积分（十一）含有三角函数的积分（十一）含有三角函数的积分（83~112）···········································55 （十二）含有反三角函数的积分（其中 0>a ))))（113~121）·······················68 （十二）含有反三角函数的积分（其中（十二）含有反三角函数的积分（其中（十二）含有反三角函数的积分（其中（十三）含有指数函数的积分（十三）含有指数函数的积分（十三）含有指数函数的积分（122~131）··········································73 （十三）含有指数函数的积分（十四）含有对数函数的积分（十四）含有对数函数的积分（十四）含有对数函数的积分（十四）含有对数函数的积分（132~136）··········································78 （十五）含有双曲函数的积分（十五）含有双曲函数的积分（十五）含有双曲函数的积分（十五）含有双曲函数的积分（137~141）··········································80 （十六）定积分（十六）定积分（十六）定积分（142~147）····························································81 （十六）定积分附录：常数和基本初等函数导数公式附录：常数和基本初等函数导数公式附录：常数和基本初等函数导数公式附录：常数和基本初等函数导数公式·········································85 说明说明说明说明·····················································································86 团队人员团队人员团队人员团队人员··············································································87 Daniel Lau《高等数学讲义——积分公式》By Daniel Lau

Daniel Lau《高等数学讲义——积分公式》By Daniel Lau

（一）含有 bax+ 的积分的积分的积分的积分（1~9）（一）含有（一）含有（一）含有 . 1 ⋅ = ∫ 1 abax dx + 被积函数证明： Cbaxln + + )x(f = 的定义域为 xx |{ −≠ 1 + bax )0 ，则 b } a dt 1 a 令 ax =+ ttb ( ≠ dt = dx,adx =∴ dt ∫ ∴ dx + 11 ∫ tabax C t ln = 1 = a ∫ baxt = 将代入上式得： + + ⋅ 1 abax dx + = ⋅ Cbaxln + + . 2 ∫ dxbax ( + ) μ = 1 μa ( + )1 ⋅ bax ( ) + μ 1 + + μC ( −≠ 1) tbax , 令证明： =+ 则 dt = dx,adx =∴ 1 a dt ∴ ∫ dxbax ( + ) μ = dtt μ ∫ 1 a = 1 μa ( + ⋅ t μ 1 + + C )1 ∫ dxbax ( 代入上式得： + ) μ 将 baxt = + = 1 μa ( + )1 ⋅ bax ( ) + μ 1 + + C . 3 ∫ x + 1 a 2 dx = bax 被积函数证明： ( C bax lnbbax ⋅−+ + + ) )x(f = 的定义域为 { x|x −≠ 令 t tbax ( =+ ≠ ∴ ∫ x + bax dx 1 a = ∫ b } a dt x bax + x, )0 则 = 1 a ( dx ,bt − ) = 1 a ∫ b1 ⎛ − ⎞ ⎜ ⎟ t ⎝ ⎠ dt = dt 1 a 2 ( ) bt − 1 · a t 1 a 2 C t ln b t dt − dt ∫ ∫ − + ⋅ b a 2 ( C t lnbt ⋅− + 1 = a 2 t = a 2 1 a 2 = ) x + 将 baxt = + ∫ 代入上式得： dx bax = 1 a 2 ( ) C bax lnbbax ⋅−+ + + - 1 - Daniel Lau《高等数学讲义——积分公式》By Daniel Lau

bax ) ( + 2 − Cbaxlnbbaxb ( 2 + + + ) ⋅ 2 ⎤ +⎥⎦ − babx 2 2 + ) dx abx 2 bax + dx − 1 a 2 b 2 bax + dx ∫ ∫ ∫ .4 x 2 + bax ∫ 证明： 11 ⎡ ⎢⎣ a 2 3 dx = dx = x 2 + bax 1 ∵ 2 a 1 a 2 ∫ ∫ = dxbax ( + ) abx 2 bax + 1 a 2 ∫ 2 b + bax axd ( ) 1 a 2 1 a 2 ∫ + bax ( ) 2 − bax 1 a 2 Cbax ( 1 dxbax ( − + + + ) 2 ) = = dx = ∫ 1 3 a 2 b bbax 2 −+ ∫ bax a 3 + b b 2 2 2 ∫ dx − a a 3 3 bx b 2 2 2 = − a a 3 3 2 bdx 1 bax a 3 + x 2 + bax dx ∫ ∫ = = 1 + bax baxd ( ) + + Cbaxln + 2 2 bbaxd ( a 3 = + ) Cbaxln 3 + + ∫ 由以上各式整理得： 11 ⎡ ⎢⎣ a 2 3 bax ) ( + 2 − ⎤ Cbaxlnbbaxb ( 2 +⎥⎦ + + + ) ⋅ 2 . 5 ∫ dx + baxx ( ) 1 ⋅−= b baxln + x + C 被积函数证明： )x(f = 设 1 A xbaxx = + ) ( ⋅ + , 则 bax ∴ 有 BAa Ab 1 + = ⎧ ⎨ ⎩ = 0 ⇒ ⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ 1A = b a b −= B x|x { 的定义域为 −≠ b } a baxx ) + ⋅ 1 ( B + 1 = A( bax + B) + x = (A a + B) bx A + a dx ] )bax(b + ⋅ = 11 ∫ xb adx − ∫ baxb 1 + dx )bax(d + − 1 ∫ baxb 1 ⋅− b 1 + Cbaxln + + = = − dx 1[ ∫ bx 11 ∫ xb 1 xln ⋅= b 1 ⋅= b 1 ⋅−= b ln x + + bax baxln + x C + C 提示： blog −=−1 a blog a 于是 ∫ dx + baxx ( ) - 2 - Daniel Lau《高等数学讲义——积分公式》By Daniel Lau

.6 ∫ dx + baxx ) 2 ( −= 1 bx + a b 2 ⋅ ln bax + x + C 被积函数证明： xf )( = ⋅ + x 2 A 1 xbax ( ⋅ aBAbx (A ( ) + C) + + x 2 ax 2 + + = 设即 ∴ 有 ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ CAa 0 = aBAb 0 = Bb + + = 1 于是 ∫ dx + baxx ) 2 ( −= −= −= −= = + + 则 , ⇒ B( −≠ b } a xx |{ 1 a b 2 ( A1 baxx ) 的定义域为 1 bax ( ) B C bax x 2 + b B) = + + ⎧ A −= ⎪ ⎪ 1B ⎪ = ⎨ b ⎪ aC ⎪ 2 ⎪ b 2 ⎩ adx a 1 1 1 2 ∫ xb xb b 2 2 2 adx a 1 1 1 ∫ xb xb b 2 2 2 a a 1 Cbaxln bx b b 2 2 bax 1 bx ∫ xln 1 + 1 + bax bax a b 2 dx + dx + + x ln C ∫ ∫ ∫ + = + + + + − + + ⋅ ⋅ ⋅ dx bax ) + + Cx 2 baxd ( ) + 设即 . 7 ∫ x + bax ( ) dx = 2 1 a 2 ⎛ ⎜ ⎝ baxln + + ⎞ +⎟ bax ⎠ b + C 证明：被积函数 )x(f = x + bax ) 2 x|x { 的定义域为 −≠ b } a B + bax ) 2 ( , 则 x = A( bax + B) + x bax ( ) + ax A ( + ⋅ 2 = + bax + = xBAb ( A + ) ∴ 有 Aa 1 BAb = + ⎧ ⎨ ⎩ 0 = ⇒ 于是 x + bax ( ) ∫ dx = 2 = = = − ⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ 1A = a bB −= a bdx 1 1 ∫ baxa + 1 1 a 2 + 1 a 2 1 a 2 baxln baxln bax ∫ + + + + ⎛ ⎜ ⎝ ⋅ 1 + ( ∫ baxa ) b a 2 − 2 ∫ baxd ( ) + 2 baxa ) b + ⎞ +⎟ bax ⎠ ( b + dx 1 + bax ) ( + C baxd ( ) + 2 C - 3 - Daniel Lau《高等数学讲义——积分公式》By Daniel Lau

∫ . 8 x 2 + bax ) ( dx = 2 1 a 3 ⎛ ⎜⎜ ⎝ b bax lnbbax + −+ bax − + 2 ⋅ 2 ⎞ C +⎟⎟ ⎠ 被积函数证明： )x(f = x 2 + bax ( ) 2 x|x { 的定义域为 −≠ b } a 令 t tbax ( =+ ≠ )0 x, 则 = = 2 ∴ x 2 bax ( ) + x 2 ∫ ∴ + bax ( ) dx 2 tb ( ) − ta 22 ∫ = 2 = = 1 a dt ) 1 ( dx ,bt − a tb 2 2 + − ta 22 bt bdt 2 bt 2 = tb 2 2 − + 23 ta bt b 1 2 2 + −⋅ ⋅ ata a 3 3 3 b t lnbt (1 2 − a t 3 − 2 ⋅ −= C t ln + = 将 baxt = + ∫ 代入上式得： x 2 + bax ) ( dx = 2 1 a 3 . 9 ∫ dx + baxx ( ) = 2 1 ·1 bbaxb ( 2 + − ) bax|ln + x C| + 证明：被积函数 )x(f = 设： 2 = + 1 + ( A x 2 + 2 D bax bax baxx ) ( ( ) + baxBx Dx baxA1 ) ( ) + + + 2 22 2Ab xAa Bax Aabx + + + 2 Ba Aab2x Aax 2 ) ( + + + ( 2 = 则 = = 的定义域为 x|x { −≠ 2 b } a 1 + baxx ( ) B + + 1 2 ∫ 3 2 ta dt + 1 3 a dt − ∫ b 2 1 ∫ ta 3 dt ) + C b bax lnbbax + −+ − + 2 ⋅ 2 bax ⎛ ⎜⎜ ⎝ ⎞ C +⎟⎟ ⎠ Dx 2 AbDBb ) Bbx + + 1 b 2 = A + + ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ −= −= a B b 2 aD b adx 1 b + 1 · b bax C| + b| |axln + bax|ln· bax ∫ + − 1 + ( ∫ + x dx 2 bax ) 1 + + C ∴ ⎧ ⎪ 有 ⎨ ⎪ ⎩ 0Ba Aa 2 + = Aab2 0DBb + + 1 Ab 2 = = ⇒ 于是 ∫ 1 xbbaxx ( dx + 1 2 ∫ = ) dx − a b 2 1 b 2 ⋅ 1 b 2 ⋅ |x|ln − 1 1 bbaxb ( 2 − + ) = = - 4 - Daniel Lau《高等数学讲义——积分公式》By Daniel Lau

资料库

高等数学讲义之积分表公式推导.pdf

相关推荐

考试认证

热门标签

最新资料