随机过程课后答案西安交大汪荣鑫.pdf-资料库

第一章随机过程的基本概念 1．设随机过程，其中是正常数，而是标准正态变量。试求（t）的一维概率分布解：∵ 当即即时若即时当时此时若时同理有综上当：即时 2．利用投掷一枚硬币的试验，定义随机过程为 1 ttXtX,cos)(00XX0cos0t)21(0kt)21(10kt10)(txp0cos0t)21(10ktxtXPxxXPtxF0cos)(),(0cos0tdetxXPtxFtx02cos02021cos),(textxFtxftx0cos2cos121,),(0220cos0ttxxPtxXPtxF00cos1cos),(detx02cos02211tetxftx0cos2cos121),(0220cos0t)21(10kttxetxf022cos20|tcos|1 21),(

假定“出现正面”和“出现反面”的概率各为。试确定的一维分布函数和，以及二维分布函数解：（1）先求显然随机变量的可能取值只有 0，1 两种可能，于是所以再求 F（x,1）显然所以 (2) 计算于是 2  ,2 ,cos)(出现反面出现正面tttX21)(tX)21,(xF)1,(xF)1,21;,(21xxF)21,(xF出现反面出现正面出现反面出现正面10,212,2cos21X21X21021XP21121XP 111021 0021,xxxxF出现反面出现正面出现反面出现正面 2 1 2 cos(1)X212)1(-1(1)XpXp2 121- 21-1 0,1)(xxxxF)1,21;,(21xxF出现反面出现正面出现反面出现正面 2 1)1(, 1 0)21( XX

3．设随机过程共有三条样本曲线且 Rx(t1,t2)。解：数学期望相关函数 4．设随机过程试求随机过程数学期望 EX(t) 和相关函数其中 X 是具有分布密度 f(x)的随机变量。试求 X(t)的一维分布密度。解：对于任意 t>0 因为 ∴ 当 x>0 时 ∴ 3 2 ,1 121 ,1 2 ,10 211 ,0 0 0 )1(;211,21;,21212121212121xxxxxxxxxxxXxXpxxFx或或ttX,tXtXXcos)t,( ,sin)t,( ,1)t,(321,31)p()p()p(321tX)cos(sin313131cos31sin311)()(tttttEXtmX)cossin1(31tt21212121coscos3131sinsin311)]()([),(tttttXtXFttRX)]cos(1[3121tt)0( )(tetXXt))((),(xtxPtxFXtxXPxXtPxePtxFXtXlnln),(txdftxXpln)(1ln1xttxftxFxtxfXX1ln),(),(

当时 ∴ 随机过程的一维分布密度为 5．在题 4中，假定随机变量 X具有在区间（0，T）中的均匀分布，试求随机过程的数字期望和自相关函数解：∵ 随机变量 X的概率密度函数为因此： 6．设随机过程在每一时刻 t 的状态只能取 0 或 1 的数值，而在不同时刻的状态是相互独立的，且对于作意固定的 t 有其中 0

随机过程 X (t)的自相关函数为且；且；且 7．设是独立同分布的随机序列，其中的分布列为 Xj P J=1，2，„ 定义。试对随机序列求（1）Y1 的概率分布列；（2）Y2 的概率分布列；（3）Yn 的数字期望；（4）Yn 的相关函数 RY（n, m）。解：（1）∵ Y1=X1 故概率分布则为（2）∵ 可能的取值为 0 或 2，-2 = （3）的数字期望为（4）自样关函数当 m≥n 时 5 ptXptXptEXtmX0)(01)(1)()(1)(,1)(1)()(),(212121tXtXptXtXEttRX101tXP0)(2tX0)(1tX1)(2tX0)(1tX0)(2tX2211)( 1)(ptXPtXP1,nXnjX112121njjnXY11,nYn211 21111YPYP212XXY2Y1,11,1002121212XXPXXPXXPYP21414111112121XPXPXPXP411,12221212XXPXXPYP411,12221212XXPXXPYPnjjnXY1njnjjnjjnEXXEEY111021)1(211mkkmjjYXXEnYmYEnmR11)()(),(nkkmnjjnjjnkkmnjjnjjYXXXEXXXEnmR1121111),(

∵ （相互独立） ∵ ∴ ∴ 当 m≥n 时 8．设随机过程的数字期望为协方差为，而是一个函数。试求随机过程的数字期望和协方差函数。解：随机过程的数字期望为为而 ∴ 的协方差函数 6 nkkmnjjnjjXEXEXE1121nnnnnmnjjnDYEYDYEYYEXEEY2212)(njjnjjnDXXDDY11jXnjjjEXXE122)(021)1(211jEX1)(2jXEnjnnDY101nDYnmRnY),(ttX),()(tmX),(21ttCX)(t)()()(ttXtY)(tY)()()()()()()()()(tYttmtEtEXttXEtEYtmXY)()()()(),(212121tYEtYEtYtYEttCY)()()()()()(221121ttXttXEtYtYE)()()()()()()()(21211221tttXttXttXtXE)()()()()()()()(21211221tttEXttEXttXtXE)()()()()()(221121ttEXttEXtYEtYE)()()()()()()()(21211221tttEXttEXttXEtXE),()()()()(),(21212121ttCtEXtEXtXtXEttCovXY

思考：有没有更为简单的方法呢？ 9．给定随机过程，对于任意一个数，定义另一个随机过程试证：的数字期望和相关函数分别为随机过程的一维和二维分布函数。证明：设的一维和二维概率密度分加别为和则若考虑到对任意的是离散型随机变量，则有： 10 ．给定一个随机过程和常数 a ，试用的相关函数表示随机过程的相关函数。解：根据定义 7 ttX),(xxtXxtXtY)(0)(,1)()(tY)(tX)(tX),(1txf),;,(21212ttxxfxxYdttxftydxtxftydxtxftytYEtE),()(),()(),()()()(111),(),(11txFdttxfx2121222212121),;,())()((),(dxdxttxxfyytYtYEttRY12),,,(),;,(21212121212xxttxxFdxdxttxxf)(,tYTt0)(01)(1)()(tYPtYPtYEtEY),()(1txFxtXP1)(,1)(11)()(),(212121tYtYPtYtYEttRY0)(,1)(0121tYtYP1)(,0)(0121tYtYP0)(,0)(0021tYtYP),;,()(,)(212122211ttxxFxtXxtXP)(tX)(tX)()()(tXatXtY)()()()()()(),(22112121tXatXtXatXEtYtYEttRY)()()()()()()()(21212121tXtXatXtXtXatXatXatXE

11．设随机过程，其中是正常数，A 和Ф 是相互独立的随机变量，且 A 服从在区间[0，1]上的均匀分布，而服从在区间[0，2π ]上的均匀分布，试求的数字期望和相关函数。解： 12．设随机过程，其中在区间中均匀分布的随机变量。试求的数字期望和协方差函数。解：∵ 是区间上均匀分布的随机变量，于是的概率密度为因此的数字期望为：当时 8 ),(),(),(),(21212121ttRattRtatRatatRXXXXttAtX),cos()(00)(tXdadtatEXtmX1 0 2 0 0211)cos( )()(0)sin(2121)cos( 21201 0 2 0 00tdtada)cos()cos()()(),(201022121ttAEtXtXEttRX1 0 2 0 20102211)cos()cos(dadtta1 0 2 0 2010221)cos()cos(dttdaa2 0 21021021)(cos2)(cos61dtttt)(cos6121)(cos 0612102 0210ttdtttttX, cos)(21,2100)(tX21,2100 021,211)(00其它xxf)(tX21 21 00cos1][cos)()(tdtEtEXtmX0ttxtttttmX)2sin()21sin(12121sin11)(0000

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