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天津大学概率论与数理统计习题解答.pdf

发布时间：2022-06-13 发布人：admin 分类：说明书 资料大小：0.39M 资料格式：pdf 举报 版权申诉
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    习习习题题题1 1.1 将下列事件用事件A, B, C表示: (1) 只有事件A 发生; (2) 3个事件中至少有2个发生; (3) 3个事件中恰有2个事件发 生; (4) 3个事件中不多于1个事件发生. 解：(1) AB C; (2)ABC ∪ ABC ∪ ABC ∪ ABC = AB ∪ AC ∪ BC; (3)ABC ∪ ABC ∪ ABC; (4)A B C ∪ AB C ∪ ABC ∪ A BC = A B ∪ B C ∪ A C. 1.2 已知P (A) = 1 2 , (1)若A, B互不相容, 求P (AB), 1 8 , 求P (AB). (2)若P (AB) = 解：(1)P (AB) = P (A) − P (AB) = P (A) = (2)P (AB) = P (A) − P (AB) = 3 8 − 1 8 1 2 = . 1 2 . 1.3 抛一枚质地均匀的硬币 5 次,求即出现正面又出现反面的概率. ) ( 解：设A ={即出现正面又出现反面},则 1 2 P (A) = C1 5 + C3 5 + C2 5 + C4 5 ( ) ) 15 16 . ) 5 5 1 2 5 1 2 ( 1 2 ( 5 = 1.4 设A, B是两个事件, (1) 已知A B = A B, 验证A = B. (2) 验证事件A和事件B恰有一个发生的概率为P (A) + P (B) − 2P (AB). 解：(1) 因为A B = A B 所以A B ∪ AB = A B ∪ AB,即A = B. (2)“事件A和事件B恰有一个发生”可以用事件AB ∪ AB来表示。而 P (AB ∪ AB) 1
    = P (AB) + P (AB) = P (A) − P (AB) + P (B) − P (AB) = P (A) + P (B) − 2P (AB). 1.5 试分析互不相容事件是对立事件吗?如果是,请给出理由;如果不是,请举例说明. 解：互不相容事件未必是对立事件。例如：抛掷一枚均匀的骰子，设事件A ={掷 出的点数恰好是奇数}，B ={掷出的点数恰好是2},则事件A与B互不相容，但A与B不 是对立事件。 1.6 试举例说明概率为零的事件未必是不可能事件; 概率为1的事件未必是必然事 件. 解：在单位园内等可能的掷点，假设点落在任意子区域内的概率仅与该区域的面 积成正比，而与它的位置和形状无关，设A = {点恰好落在圆心}，则事件A不是不可 能事件，但概率为0；而Ω − A不是必然事件，但概率为1. 1.7 已 知P (A) = P (B) = P (C) = 1 4 , P (AB) = 0,P (AC) = P (BC) = 1 16 . 求(1)A, B, C中至少有一个发生的概率; (2) A, B, C都不发生的概率. 解：(1)“A, B, C中至少有一个发生”表示为A ∪ B ∪ C, 因为ABC ⊆ AB,由概率 的不等式0 ≤ P (ABC) ≤ P (AB) = 0得：P (ABC) = 0. P (A ∪ B ∪ C) = P (A) + P (B) + P (C) − P (AB) − P (BC) − P (AC) + P (ABC) 1 4 1 4 1 4 − 1 16 − 1 16 + + = (2)P (A B C) = 1 − P (A ∪ B ∪ C) = = 5 8 . 3 8 . 1.8 从5双不同的鞋子中任取4只,求这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率. 解：设A = {4只鞋子中至少有两只配成一双},由于样本空间所含的样本点总数 为C4 10,不利于事件A的样本点总数为C4 P (A) = 1 − P (A) = 1 − C4 5 24 C4 10 5 24,故 13 21 = . 1.9 50只铆钉随机地取来用在10个部件上, 其中有三只铆钉强度太弱. 每个部件 2
    用3只铆钉. 若3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上, 则这个部件强度就太弱. 问发生 一个部件强度太弱的概率是多少? 解：设A = {有一个部件强度太弱}，则A所含的样本点数为C1 10C3 3 C3 47C3 44 ··· C3 23, 50C3 所含样本点总数为C3 3 C3 10C3 47C3 44 47C3 50C3 C3 44 P (A) = C1 47C3 44 ··· C3 ··· C3 23 23 ··· C3 23, 所以 = 1 1960 . 1.10 盒子中有3只白球、5只黑球和4只红球. 现从盒子中一个接一个地取出所有球, 试求红球比白球出现早的概率. 解：设B = {红球比白球出现早}，Ai = {前i − 1次抽到的都是黑球，而第i次首次 P (A1) = P (Ai) = 1, 抽到的不是黑球}, i = 1,··· , 6.则 · 7 11 C5 5 C5 12 P (Ai)P (B|Ai) = , P (A2) = · 7 8 7 12 C4 5 C4 12 , P (A6) = P (AiB) = 故P (B) = P (A5) = 6∑ 6∑ 5 12 i=1 i=1 4 7 . 6∑ i=1 C2 5 C2 12 · 7 C3 5 , P (A3) = , P (A4) = C3 10 12 , i = 1,··· , 6. · 1, P (B|Ai) = 4 7 · 7 9 , 1.11 假设新购进了一批仪器,共有100件, 其中5件有质量问题. 抽样验收时从中任 取5件, 假如均无质量问题, 则接收这批仪器, 否则拒收. 求这批仪器被拒收的概率. 解：设A = {这批仪器被拒收}，样本空间包含的样本点总数为C5 100, A中所包含的 样本点总数为C5 95, 故 P (A) = 1 − P (A) = 1 − C5 95 C5 100 = 0.2304. 这批仪器被拒收的概率为0.2304. 1.12 在一张打上方格的纸上投一枚直径为1的硬币, 方格的边长为多少才能使硬币 与格线不相交的概率小于0.01. 解：设方格的边长为a,A = {硬币与格线不想交} . 考虑硬币的中心，它可以落在 方格纸内任一个位置，要使得硬币与格线不想交，当且仅当硬币的中心与格线最短边 3
    的距离大于1/2，故 (a − 1)2 P (A) = a2 , 由此知，要使P (A) < 0.01,只要0 < a < 10 9 . 1.13 设 有 任 意 两 数x, y, 满 足0 < x < 1, 0 < y < 1, 在 此 条 件 下, 试 求 满 足 条 件0 < xy < 的概率. 1 3 解：设A = {(x, y) : 0 < xy < },则P (A) = 1 3 1 3 + 1∫ 1 3 1 x dx = 1 + ln 3 3 . 1.14 设10片药片中有5片是安慰剂. (1) 从中任意抽取5片, 求其中至少有2片安慰剂的概率; (2) 从中每次取一片,做不放回抽样,求前3次都取到安慰剂的概率. 解：设A ={至少有2片安慰剂},Ai ={恰有i片安慰剂}i = 0, 1,··· , 5,B ={前3次都 取到安慰剂},则 (1) P (A) = P (A2∪A3∪A4∪A5) = 1−P (A0)−P (A1) = 1− C0 5 C5 5 C5 10 − C1 5 C4 5 C5 10 = 113 126 . 5 10 · 4 9 · 3 8 1 12 (2)P (B) = 1.15 (1) 已知P (A) = 0.3, P (B) = 0.4, P (A B) = 0.5, 求条件概率P (B|A ∪ B). = . 1 2 1 4 1 3 , P (B|A) = , P (A|B) = , 求P (A ∪ B). (2) 已知P (A) = 解：(1)因为P (A) = 0.3, P (A B) = 0.5, P (A B) = P (A) − P (AB) , 所以,P (AB) = P (A) − P (A B) = 1 − P (A) − P (A B) = 0.2, P (B|A ∪ B) = P (B ∩ (A ∪ B)) P (AB) = 0.25. P (AB) + P (B) 1 4 P (A ∪ B) , P (B|A) = 1 (2) 因为P (A) = 3 , P (A|B) = 而P (B|A) = 所以，P (AB) = P (A)P (B|A) = , P (B) = 故P (B|A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (AB) = = , P (A|B) = P (AB) P (B) 1 12 P (AB) P (A) , 1 2 , = 1 6 , P (AB) P (A|B) . 1 3 1.16 设甲袋中有3只白球,2只黑球; 乙袋中有4只白球,5只黑球;先从甲袋中任取2只 4
    球放入乙袋中, 再从乙袋中任取一只球, 求该球是白球的概率. 解：设Ai ={从甲袋中取出的2只球中恰有i只白球}，i = 0, 1, 2.B ={从乙袋中取出 的一只球是白球}，根据已知条件得P (Ai) = 概率公式得： 2∑ i=0 P (B) = (P (Ai) · P (B|Ai)) = 26 55 . 3C2−i Ci 2 C2 5 , P (B|Ai) = C1 4+i C1 11 = 4 + i 11 . 由全 1.17 有两箱同种类的零件,第一箱装50只,其中有10只一等品;第二箱装30只,其中 有18只一等品, 今从两箱中任意挑出一箱,然后从该箱中依次取两只零件.试求 (1)第一次取到的零件是一等品的概率; (2)在第一次取到一等品的条件下,第二次取到的零件也是一等品的概率. 解：设Ai ={第i次取到的零件是一等品},i = 1, 2.B ={零件取自第一箱}，根据已 = 18 30 . 1 2 10 50 9 245 , P (A1|B) = P 2 10 P 2 50 , P (A1|B) = 知条件得P (B) = , P (A1A2|B) = P (A1A2|B) = p2 18 P 2 30 (1)P (A1) = P (B)P (A1|B) + P (B)P (A1|B) = (2)P (A1A2) = P (B)P (A1A2|B) + P (B)P (A1A2|B) = P (A2|A1) = P (A1A2) = 0.4856. 102 290 2 5 , = . 则 = 690 1421 P (A1) 276 1421 . 1.18 假设一批100台液晶显示器中有80台优质品. 现在接连任取3台, 求 (1)第一台不是优质品而第二台是优质品的概率; (2)最后才抽到一台优质品的概率. 解：设Ai ={第i次取到的显示器是优质品},i = 1, 2, 3. (1)P (A1A2) = P (A1)P (A2|A1) = (2)P (A1 A2A3) = P (A1)P (A2|A1)P (A3|A1 A2) = · 80 99 20 100 16 99 = . 20 100 · 19 99 · 80 98 = 152 4851 . 1.19 假设在某条公路上载重汽车与其他汽车的数量之比为3 : 2, 前者中途停车修理 的概率为0.02, 后者中途停车修理的概率为0.01. 现有一辆汽车中途停车修理, 求这辆汽 5
    车是载重汽车的概率. 解：设A ={汽车是载重汽车}，B ={汽车中途停车修理}，则 3 P (A) = 5 P (A|B) = , P (B|A) = 0.02, P (B|A) = 0.01, P (A) = P (AB) P (B) P (A)P (B|A) + P (A)P (B|A) P (A)P (B|A) = 2 5 . = 3 4 . 1.20 无线电通信中需要不断发出信号0和1, 大量统计资料表明, 发出信号0的概率 为0.6, 而发出信号1的概率为0.4. 由于随机干扰, 当发出信号0时,分别以概率0.7和0.1收 到0和1, 以0.2的 概 率 收 到 模 糊 信 号 “x”; 发 出 信 号1 时,分 别 以 概 率0.05和0.85收 到0和1, 以0.1的概率收到模糊信号“x”. 问收到模糊信号“x”时,应翻译成哪个信号 为好, 为什么? 解：设Ai ={发出的信号为i},i = 0, 1, Bj ={收到的信号为j},j = 0, 1, x. 则 P (A0) = 0.6, P (A1) = 0.4, P (B0|A0) = 0.7, P (B1|A0) = 0.1, P (Bx|A0) = 0.2, P (B0|A1) = 0.05, P (B1|A1) = 0.85, P (Bx|A1) = 0.1, 由全概率公式得：P (Bx) = P (A0)P (Bx|A0) + P (A1)P (Bx|A0) = 0.16, 由贝叶斯公式得：P (A0|Bx) = 因为P (A0|Bx) > 0.5, 所以,该信号应翻译成信号”0”. P (A0)P (Bx|A0) P (A0Bx) P (Bx) P (Bx) 3 4 = = . 1.21 普通人群中男女比例为51:49, 已知男性中有2%是色盲患者, 女性中有0.25%是 色盲患者, 今从人群中随机挑选一人, 发现是色盲, 问此人是男性的概率是多少? 解：设A ={此人是男性}，B ={此人是色盲}，则 P (A) = 0.51, P (B|A) = 2%, P (B|A) = 0.25%, P (A|B) = P (A)P (B|A) P (A)P (B|A) + P (A)P (B|A) P (AB) P (B) = = 0.893, 故此人是色盲的概率是0.893. 1.22 假定一架失事飞机在三个地区坠毁是等可能的. 用1 − βi表示该飞机在第i个 地区发现的概率, 其中i = 1, 2, 3(常数βi称为未发现概率, 表示没有注意到坠机的概率, 6
    通常可归因于该地区的地理和环境条件所致). 问在第1个地区未找到飞机,而飞机在 第i(i = 1, 2, 3)个地区坠毁的条件概率是多少? 解：设Ai ={飞机在第i(i = 1, 2, 3)个地区坠毁},B ={在第1个地区未找到飞机},则 i=1 β1 + 2 P (B) = P (Ai) = 1 3∑ 3 , i = 1, 2, 3. P (B|A1) = β1, P (B|Ai) = 1, i = 2, 3, P (Ai)P (B|Ai) = P (A1)P (B|A1) P (A1|B) = P (A2)P (B|A2) P (A2|B) = P (A3)P (B|A3) P (A3|B) = β1 + 2 β1 + 2 3 β1 P (B) P (B) 1 1 = = = , , , . P (B) β1 + 2 故在第1个地区未找到飞机,而飞机在第i(i = 1, 2, 3)个地区坠毁的条件概率分别 是 β1 β1 + 2 , 1 β1 + 2 , 1 β1 + 2 . 1.23 某口袋中装有一球, 此球可能是白球, 也可能是黑球. 现在放一白球到袋中去, 然后再从袋中任取一球. 若已知取出的球是白球, 求剩下的球也是白球的概率. 解：设A ={取出的球是白球}，B ={口袋中的球是白球}，则 P (B) = 0.5, P (A|B) = 1, P (A|B) = 0.5. P (B|A) = P (B)P (A|B) P (B)P (A|B) + P (B)P (A|B) 2 3 = . 1.24 根据报道,美国人血型的分布近似地为:A型占37%, O型占44%,B型占13%,AB型 占6%. 夫妻拥有的血型相互独立. (1)B型的人只有输入B、O两种血型才安全. 若妻为B型, 夫为何种血型未知, 求夫 是妻的安全输血者的概率; (2)随机取一对夫妻, 求妻为B型,夫为A型的概率; (3)随机取一对夫妻, 求其中一人为A型, 另一人为B型的概率; (4)随机取一对夫妻, 求其中至少有一人为O型的概率. 解：设Ci ={妻子的血型是i型},i = A, O, B, AB, 7
    Di ={丈夫的血型是j型}，j = A, O, B, AB, (1)P (DB ∪ DO) = P (DB) + P (DO) = 0.13 + 0.44 = 0.57. (2)P (CBDA) = P (CB)P (DA) = 0.13 · 0.37 = 0.0481. (3)P (CADB ∪ CBDA) = P (CA)P (DB) + p(CB)P (DA) = 0.37 · 0.13 · 2 = 0.0962. (4)P (CO ∪ DO) = P (CO) + P (DO) − P (CO)P (DO) = 0.44 · 2 − 0.442 = 0.6864. 1.25 若干人独立地向一游动目标射击, 每人击中目标的概率都是0.6, 问至少需要多 少人才能以0.99以上的概率击中目标? 解 ： 设 需 要n个 人 才 能 以0.99以 上 的 概 率 击 中 目 标 ，Ai ={第i个 人 击 中 目 标}，i = 1,··· , n. i=1Ai) = 1 − n∏ 则至少有1个人击中目标的概率为 P (∪n P (Ai) = 1 − 0.4n ≥ 0.99,解之得：n ≥ 5.03. i=1 所以至少需要6个人才能以0.99以上的概率击中目标。 1.26 三个人独立地去破译一份密码, 已知3个人能破译出的概率分别为1/5, 1/3, 1/4. 问三人中至少有一人能将此密码破译出的概率是多少? 解：设Ai ={第i能破译出密码},i = 1, 2, 3. B ={至少有一人能破译出密码}，则 P (A1) = 1/5, P (A2) = 1/3, P (A3) = 1/4. P (B) = P (A1 ∪ A2 ∪ A3) = P (A1)+P (A2)+P (A3)−P (A1)P (A2)−P (A1)P (A3)−P (A2)P (A3)+P (A1)P (A2)P (A3) = 0.6. 1.27 设事件A, B满足P (A) > 0, P (B) > 0, 证明事件A, B相互独立与事件A, B互不 相容不能同时成立. 证明：如果事件A, B相互独立，则P (AB) = P (A)P (B), 又因为P (A) > 0, P (B) > 0,所以P (AB) > 0, 从而A, B不是互不相容事件。 8
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