Laplace 方程五点差分格式的结构二次幂零矩 http://www.paper.edu.cn 阵迭代法 张承平 海南热带海洋学院海洋通信工程学院，三亚　邮编 572022 摘要：本文针对 Laplace 方程五点差分格式形成的线性方程组，构造结构二次幂零矩阵迭代 法，通过与雅克比迭代法比较，数值试验说明其方法比雅克比迭代效果更好. 关键词：数值代数; 线性方程组; 结构二次零矩阵; 并行迭代法;Laplace 方程; 五点差分格式 中图分类号： O24 Iterative Methods on Structure Quadratic-nilpotent Matrices about the Five Points Difference Scheme of the Laplace Equation ZHANG Cheng-Ping Ocean Communication Engineering College, Hainan Tropical Ocean College , Sanya 572022 Abstract: According to the linear equations of the five point difference scheme on the Laplace equation, structure two-nilpotent matrices ares structured in order to set up an iterative method method. By comparing with the Jacobi iterative method, numerical experiments show that the method is better than the Jacobi iterative method. Key words: numerical algebra;linear equations ;structure quadratic-nilpotent matrice; parallel iterative method;the Laplace equation;five points difference scheme 0 引言 文献 [1][2][3] 给出结构二次幂零矩阵迭代方法，收敛效果很好，而且具有良好的并行性， 本文对 Laplace 方程的五点差分格式形成的线性方程组，构造其较好的对应的结构二次幂零矩 阵[3]，通过数值试验，将其迭代法与雅克比迭代法比较，显示其良好的收敛效果. 作者简介： 张承平（1976-），男，副教授，主要研究方向：数值数学与应用数学,Email:godloved@126.com。 - 1 - 

http://www.paper.edu.cn 图 1: 五点差分格式图 1 问题 Laplace 方程[4] 在 区 域 Ω(x; y)j0 x; y 1 内 的 近 似 解，边 界 条 件 u(x; 0) = 20; u(x; 1) = 180; u(0; y) = 80; u(1; y) = 0. x 和 y 轴都插入奇数个点（3 个点）的方法进行五点差分，如图 1. @2u @x2 + @2u @y2 = 0 写成矩阵的形式为： 4 1 1 0 1 1 0 1 0 0BBBBBBBBBBBBBBBBB@ 4 1 0 1 4 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 4 1 0 1 4 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 4 1 0 1 0 0 1 4 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 4 1 4 0 0 0 0 0 x = 1CCCCCCCCCCCCCCCCCA 1CCCCCCCCCCCCCCCCCA 0BBBBBBBBBBBBBBBBB@ 100 20 20 80 0 0 260 180 180 - 2 - 

0BBBBBBBBBBBBBBBBB@ 1 0:25 0 0:25 0 0 0 0 0 0:25 1 0:25 0 0:25 0 0 0 0 0 0:25 1 0:25 0 0:25 0 0 0:25 0 0:25 1 0:25 0 0:25 0 0 0 0:25 0 0:25 1 0:25 0 0:25 0 0 0 0:25 0 0:25 1 0:25 0 0:25 0 0 0 0:25 0 0:25 1 0:25 0 0 0 0 0 0:25 0 0:25 1 0:25 0 0 0 0 0 0:25 0 0:25 1 结构二次幂零矩阵的结构构造可采用参开文献 [2] 中的第 4 种构造格式构造 S： 1CCCCCCCCCCCCCCCCCA x = 0BBBBBBBBBBBBBBBBB@ 1CCCCCCCCCCCCCCCCCA 25 5 5 20 0 0 65 45 45 0 0BBBBBBBBBBBBBBBBB@ S = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0:25 0 0:25 0 0 0 0 0 0:25 0 0:25 0 0:25 0 0 0 0 0 0:25 0 0:25 0 0:25 0 0:25 0 0 0 0 0 0:25 0 0:25 0 0:25 0 0 0 0 0 0:25 0 0:25 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1CCCCCCCCCCCCCCCCCA 2 迭代法的构造 将线性方程组进行标准化处理, 每个等数两边除以 4 得到参考文献 [1] 的标准方程 Ax = b： http://www.paper.edu.cn 显然 S 是结构二次幂零矩阵，(E + S) 0 0 1 = E S, 而方程中 A = E + S + ST , 由参考文 献 [2] 可知迭代法收敛，迭代格式为: 1(ST x + b) (E + S)x = ST x + b x = (E + S) x = (E S)(ST x + b) x = (E S)ST x + (E S)b ￿x = x (E S)Ax + (E S)b 其中 E 为 A 的同阶单位矩阵，S 为 A 同阶的结构二次幂零矩阵. 因此构造迭代法为: 其中 G = E (E S)A，或者 G = (E S)ST 且 f = (E S)b . xK+1 = GxK + f - 3 - (1) (2) (3) (4) (5) (6) 

http://www.paper.edu.cn 表 1: Laplace 方程五点差分格式 插入点数 雅克比迭代普半径 雅克比迭代次数 本文迭代普半径 本文迭代次数 46 3 112 5 203 7 9 317 453 11 612 13 15 793 997 17 1222 19 25 2025 3392 33 3392 45 55 8837 13556 69 16682 77 89 21949 26862 99 101 27902 0.8185 0.9257 0.9595 0.9745 0.9824 0.9872 0.9902 0.9923 0.9938 0.9963 0.9979 0.9979 0.9992 0.9995 0.9996 0.9997 0.9998 0.9998 88 216 389 606 868 1171 1517 1905 2333 3863 6462 6462 16796 25740 31660 41627 50920 52885 0.6700 0.8570 0.9207 0.9496 0.9652 0.9745 0.9805 0.9846 0.9876 0.9927 0.9957 0.9957 0.9984 0.9990 0.9992 0.9994 0.9995 0.9995 3 数值实验 数值实验采用 MATLAB 软件[5] 进行迭代计算，迭代初始值向量为全零向量，相邻两次迭 代向量的差的绝对值的最大值（即向量差的 1-范数）不超过误差 10 6.x 和 y 轴都插入 3 个 点时，雅可比迭代法的谱半径[6] = 0:8185，迭代次数为 88 次. 结构二次幂零矩阵迭代法的谱 半径 = 0:6700 ，比雅可比迭代法的谱半径小，迭代次数为 46 次. 对 x,y 插入各种的奇数点 进行实验，选择类似的结构二次幂零矩阵进行迭代（即本文迭代法）比较，经过计算，其结果 如表 1. 4 结论 从数值实验的结果来看，Laplace 方程的 x 和 y 轴都插入相同的奇数个点（因为 u 是按照 行排列，因此建议 x 轴插入奇数个点，奇数个点比偶数个点效果会好一些，y 轴插入点个数奇 偶数影响不大）的五点差分格式，结构二次幂零矩阵迭代法比雅克比迭代法（结构二次幂零矩 阵取全零矩阵时就是雅克比迭代法）快，迭代次数接近雅克比迭代法的一半，因为其迭代过程 中采用的是矩阵与向量的相乘，所以同雅克比迭代法一样具有良好的并行性，非常适合并行编 - 4 - 

http://www.paper.edu.cn 程计算，选取适当的结构二次幂零矩阵，可以适当加快迭代速度. 采取本文这种选取结构二次 幂零矩阵方法的迭代法除了适合 Laplace 方程之外，也适合椭圆形的偏微分方程的奇数点插入 的五点差分格式，其速度与高斯赛德尔迭代法速度相当，但是比其更适合并行编程. 参考文献（References） [1] 张承平. 一类并行求解线性方程组的迭代方法 [EB/OL]. 北京：中国科技论文在线 [2015-10- 13].http://www.paper.edu.cn/releasepaper/content/201510-66. [2] 张承平. 关于一类并行求解线性方程组的迭代方法的补充 [EB/OL]. 北京：中国科技论文在 线 [2015-10-26].http://www.paper.edu.cn/releasepaper/content/201510-214. [3] 张承平. 基于结构二次幂零矩阵的迭代法构造 [EB/OL]. 北京：中国科技论文在线 [2017-02- 02].http://www.paper.edu.cn/releasepaper/content/201702-10. [4] 刘春凤, 彭亚绵. 偏微分方程并行算法及反问题数值解法 [M]. 北京：清华出版社,2015 年. [2015-10-26].http://www.paper.edu.cn/releasepaper/content/201510-214. [5] 张承平, 马新文, 林越, 等. 数学实验与建模 [M]. 昆明：云南科技出版社,2013 年. [6] 胡家赣. 线性方程组的迭代解法 [M]. 北京：科学出版社,1999 年. - 5 -