2017年2月Feb.,2017doi:10.3969/j.issn.1672-9943.2017.01.055基于时域有限差分法的二维电磁波数值模拟尹忆寒，孙国栋，易江（重庆市地震局，重庆401147）［摘要］时域有限差分法（FDTD）是一种数值模拟方法，已经被广泛应用到各种电磁问题的分析之中。介绍了有限差分法的基本原理，包括Maxwell方程和Yee氏网格、二维场中的FDTD、数值稳定条件、边界条件等；采用FDTD对二维电磁波在空间的传播进行数值模拟。从模拟结果可以看出，FDTD能够很直观地模拟电磁波在二维空间中的传播规律。［关键词］FDTD；时域有限差分法；电磁波；数值模拟［中图分类号］0451［文献标识码］B［文章编号］1672-9943（2017）01-0155-020引言时域有限差分法（FDTD）是近些年发展起来的一种数值模拟方法。1966年K.S.Yee第一次提出FDTD，经过几十年的发展，FDTD逐渐成熟，可以灵活、方便、精确地模拟实际工程中的大量复杂的电磁问题，已经成为大部分实际电磁问题首选的研究方法［1］。FDTD是通过有限差分的方式来替代麦克斯韦时域场旋度方程中的微分式，并求得关于不同方向上电场和磁场分量的有限差分式，然后利用空间网格去模拟目标数据体，在模拟时优选网格大小、激励源、边界条件等相关参数，从而分析和研究电磁波的传播规律［2］。1基本原理1.1Maxwell方程和Yee氏网格根据Maxwell方程组的微分形式，在自由空间中介质具有各向同性、线性和均匀的特点，即介质的物理参数不是随时间变化而变化，而是各向同性的，于是可得到Maxwell旋度方程的表达式［3］：Δ×H=ε鄣E鄣t+σEΔ×H=μ鄣E鄣tσm鄣鄣鄣鄣鄣鄣鄣鄣鄣鄣鄣鄣鄣H（1）式中：E为电场强度；H为磁场强度；t为传播时间；ε为介质介电系数；μ为磁导系数；σ为介质电导率；σm为导磁率。1966年K.S.Yee首次建立了著名的Yee氏元胞网格［4］，Yee氏网格可以用来表示空间网格上电场和磁场各分量的分布，如图1所示。图1Yee氏元胞网格及电磁场分量的分布从图1中可以看出，电场和磁场呈交叉形式叠置，磁场分量在元胞网格每个平面的中心点，电场的分量在元胞网格每条边的中点，每个电场或者磁场分量都有4个方向上的磁场或电场分量环绕。因此，Yee氏元胞网格可以使介质分界面上的切向电场或磁场分量满足连续性的条件，而且还可以使用中心差分的方法在空间上对旋度方程进行计算，同时也满足各种物理定律，从而可以更真实地模拟电磁波在实际介质中的传播规律。1.2二维场中的FDTD在二维场中，所有物理量与z坐标无关，即鄣/鄣z=0，将自由空间中Maxwell的2个旋度方程进行分解，即可得到TE波和TM波的表达式［2－3］：TE波（Ez=0）鄣Hz鄣y=ε鄣Ex鄣t+γEx-鄣Hz鄣x=ε鄣Ey鄣t+γEy鄣Ey鄣x-鄣Ex鄣y=-μ鄣Hz鄣t-γmHz鄣鄣鄣鄣鄣鄣鄣鄣鄣鄣鄣鄣鄣鄣鄣鄣鄣鄣鄣（2）TM波（Hz=0）鄣Hz鄣y=-μ鄣Ex鄣t-γmHx-鄣Ez鄣x=-μ鄣Hy鄣t-γmHy鄣Hy鄣x-鄣Ex鄣y=ε鄣Ez鄣t+γEz鄣鄣鄣鄣鄣鄣鄣鄣鄣鄣鄣鄣鄣鄣鄣鄣鄣鄣鄣（3）能源技术与管理EnergyTechnologyandManagement2017年第42卷第1期Vol.42No.1ExEzEyEyEyEzEzHzHyHxExExzxy155中国煤炭期刊网 www.chinacaj.net

2017年2月Feb.,2017TE波和TM波的Yee元胞如图2所示。从图2中可以看出，FDTD是利用空间和时间上的半个网格，通过跳跃式的方式向前推进，用时刻的电场或磁场值得到t时刻的电场或磁场值，先利用上述过程在一个时间步长内计算所有空域网格，然后再计算下一个时间步长，以此类推，从而可以得到所有空域网格内的电磁场值。（a）TM波的Yee元胞（b）TE波的Yee元胞图2二维Yee元胞2数值稳定条件FDTD有限差分方程是一种显式差分格式，在计算时会存在算法稳定性问题，即数值色散［5］。在数值模拟过程中，当计算时间步数增加到一定程度时，随着计算时间步数的增加，计算结果也会无限制地增加，所以在计算时应该选择适当的时间和空间离散间隔。为了减小数值色散，空间网格应该满足下列条件［3-4］：λmin≥10Δ，Δ=min（Δx，Δy，Δz）（4）式中：Δx、Δy、Δz分别为x，y，z3个方向上的空间步长；λmin为最小波长。为了提高数值模拟的稳定性，时间步长应该满足下列条件：cΔt≤1Δx2+1Δy2+1Δz212（5）Δt=Δ2c（6）式中c=1/εμ姨为真空中的光速。3吸收边界条件FDTD是在有限空间中解决无限大空间中模拟的问题，在数值模拟过程中，应该加入吸收边界条件。完全匹配层（PML）是由Berengert在1994年提出来的，是目前最常用的吸收边界条件。PML是通过在介质边界设置一种吸收介质，使电磁波的电场或磁场分量在吸收边界处产生分裂，并能使各个分裂的电场或磁场迅速衰减。4正演模拟将正方形区域划分为100×100个网格，空间步长Δx=Δy=Δz=3.0e-3，时间步长Δt=Δx/2c，相对介电常数为2，吸收边界条件为PML，层数为8，设置激励震源，记录时间为300ms。FDTD模拟的电磁波传播二维平面如图3所示。从图3中可以看出，PML对边界处的电磁波有很好的吸收效果，FDTD可以很好地模拟电磁波在正方形区域内的传播情况，很直观地反映电磁波的传播规律。（a）t=56ms（b）t=76ms（c）t=132ms（d）t=220ms图3电磁波传播二维平面5结论通过对上面正演模拟结果进行分析，可以得到如下结论：①FDTD能够很好地模拟电磁波在二维空间中的传播规律，非常灵活、直观、方便。借助FDTD，研究人员可以准确分析和解决各种电磁问题，实时观测电磁场的分布情况。②FDTD具有理论清晰、方法成熟、程序编制简单等优点，利用FDTD可以进行非常复杂的电磁场计算。随着计算机技术的不断发展，FDTD在实际工程应用方面将有着广阔的前景。［参考文献］［1］葛德彪，闫玉波.电磁波时域有限差分方法［M］.西安：西安电子科技大学出版社，2002.［2］张秋菊.时域有限差分电磁仿真软件的三维网格剖分及其设计［D］.成都：电子科技大学，2005.［3］张亮，寇晓艳.FDTD算法的Matllab语言实现［J］.延安大学学报（自然科学版），2009，28（2）：57-59.［4］李伟，赵春晖，徐娜.基于MATLAB的时域有限差分法（FDTD）的研究［J］.牡丹江大学学报，2007，16（7）：91-92.［作者简介］尹忆寒（1989-），男，助理工程师，毕业于西南大学计算机科学与技术专业，主要从事地震监测相关研究工作。［收稿日期：2016-12-14］尹忆寒，等基于时域有限差分法的二维电磁波数值模拟ExEyHzEzHxHy（i+1/2，j+1/2）（i，j+1/2）（i，j+1/2）（i+1/2，j）（i，j）y/my/my/my/m振幅振幅x/mx/mx/mx/m振幅20406080100204060801002040608010020406080100振幅204060801002040608010020406080100204060801000.20.10-0.1-0.20.20.10-0.1-0.20.20.10-0.1-0.20.20.10-0.1-0.2156中国煤炭期刊网 www.chinacaj.net