科学减肥的数学模型 姓名：刘世武 学号：20110102176 班级：2011 数控技术 1 班 1 引言 以前减肥是女性常挂在嘴边的一句话，现如今减肥确实全球普遍关注的一个问题。肥胖 已成为公众日益关注的卫生健康问题。肥胖是与目前严重危害人类健康疾病，如糖尿病、高 血压、冠心病、血脂异常、胆囊疾病、痛风、骨关节病、阻塞性睡眠呼吸暂停、某些癌症等 的发病有明显相关的危险因素之一。肥胖也是身体健康的晴雨表，反映着体内多方面的变化。 很多人在心理上害怕自己变得肥胖，追求苗条，因而减肥不仅是人们经常听到的话题，更有 人花很多的时间和金钱去付诸实践的活动，从而也就造成了各种减肥药、器械和治疗方法的 巨大的市场。各种假药或对身体有害的药品和治疗方法、夸大疗效的虚假广告等等就应运而 生了，对老百姓造成了不必要的伤害。情况的严重使得国家广电总局、新闻出版总署等不得 不发出通知，命令所有电视台自 2006 年 8 月 1 日起停止播出丰胸、减肥等产品的电视购物节 目。但是实际情况确是违禁广告屡禁不止。之所以造成这种情况的原因很多，最重要的一个 原因就是老百姓科学素质低，不知道应该从生理机理，特别是从数学模型的角度来考虑和认 识问题。 本文先收集相应数据对此减肥问题建立一个减肥模型的数学建模，然后利用建立的数学 模型论述是如何达到减肥的，而不会对身体造成伤害。 2 减肥模型的提出 2.1 背景知识 根据中国生理科学会修订并建议的我国人民的每日膳食指南可知： （1） 每日膳食中，营养素的供给量是作为保证正常人身体健康而提出的膳食质量标准。 如果人们在饮食中摄入营养素的数量低于这个数量，将对身体产生不利的影响。 1 

（2）人体的体重是评定膳食能量摄入适当与否的重要标志。 （3）人们热能需要量的多少，主要决定于三个方面：维持人体基本代谢所需的能量、 从事劳动和其它活动所消耗的能量以及食物的特殊动力作用（将食物转化为人体所需的能量） 所消耗的能量。 （4）一般情况下，成年男子每一千克体重每小时平均消耗热量为 4200 焦耳。 （5） 一般情况下，食用普通的混合膳食，食物的特殊动力作用所需要的额外的能量消 耗相当于基础代谢的 10%。 2.2 问题的提出 由于饮食营养摄入量的不断改善和提高，“肥胖”已经成为全社会关注的一个重要问题。 无论从健康角度还是从审美角度， 人们越来越重视自己形体的健美，从而就导致目前社会上 出现了各种各样的减肥食品（或营养素）、减肥饮料、减肥服装、减肥药和名目繁多的健美中 心 ，让人目不暇接，上当受骗者也不在少数，以至各种媒体经常提醒人们减肥一定要慎重， 如何对待减肥是我们一定要正确对待的问题。 2.3 模型假设 （1）人体的脂肪是存储和提供能量的主要方式，而且也是减肥的主要目标。对于一个 成年人来说体重主要有三部分组成：骨骼、水和脂肪。骨骼和水大体上可以认为是不变的， 我们不妨以人体脂肪的重量作为体重的标志。已知脂肪的能量转换率为 100%，每千克 11.5 脂肪可以转换为 42 10 7 J 的能量。记 D= 42 10 7 J/kg，成为脂肪的能量转换系数。 （2）人的体重仅仅看成是时间 t 的函数 w(t)，而与其它因素无关，这意味着在研究减 肥过程中，我们忽略了个体的差异(年龄、性别、健康状况等)对减肥的影响。 （3）体重随时间是连续变化的，即 w(t)是连续函数且充分光滑，因此可以认为能量 的摄取和消耗是随时发生的。 （4）不同的活动对能量的消耗是不同的，例如：踢足球和打羽毛球；而且能量的消 耗与体重有关，例如：体重分别为 50 kg 和 100kg 的人都跑 1000m，所耗的能量显然不同。 可见，活动对能量的消耗也不是一个简单的问题，但考虑到减肥的人会为自己制定一个合 理且相对稳定的减肥计划，我们可以假设在单位时间(1 日)内人体活动所消耗的能量与其 体重成正比，记 B 为每 1kg 体重每天因活动所消耗的能量。 （5）单位时间内人体用于基础代谢和食物特殊动力作用所消耗的能量成正比于人的 体重。记 C 为 1kg 体重每天消耗的能量。 2 

（6）减肥者一般对自己的饮食有相对严格的控制，在本问题中，为简单计，我们可 以假设人体每天摄入的能量是一定的，记为 A。 3 模型的建立和分析 3.1 模型制定 通常，当体内能量守恒被破坏时就会引起体重的变化。人们通过饮食吸收热量，转化为 脂肪等，导致体重增加；又由于个人代谢与运动消耗热量，引起体重减少。只要做适当的简 化假设就可以得到体重变化的关系。 减肥计划应以不伤害身体为前提，这可以用吸收热量不要过少、减少减少体重不要过快 来表达。当然，增加运动量是加速减肥的有效手段，也要在模型中加以考虑。 通常，制定减肥计划以天为时间单位比较方便，所以，这里用离散时间模型—差分方程 模型来讨论。 3.2 模型的建立和分析 建模过程中，我们以“天”为时间单位。根据假设 3，我们可以在任何一个时间段内考 虑能量的摄入和消耗所引起的体重的变化。 根据能量的平衡原理，任何时间段内由于体重的改变所引起的人体内能量的变化应该等 于这段时间内摄入的能量与消耗的能量的差。 考虑时间区间  t   t  内能量的改变,根据能量平衡原理,有 [ ( D w t ) ( )] t w t   由中值定理有    ( ) A t B w s ds C w s ( )  t t   t t t   t ) ( ) t w t   ( , / a A D b   ( a t bw t    ) / B C D  , t     ), (0,1) ( w t 其中 于是 3 

  ( a bw t t      ), (0,1), t  0, ( w t    ) ( ) t w t t  t  0 令 ( ) dw t dt 取极限得   ( ), a bw t t  0 * 这就是在一定化简层次上的减肥数学模型.我们知道模型的某些假设不十分合理,但我们希望 求解模型 * , 看看能否说明一些问题. 3.3 模型的求解 设 为 t  (0)w 0 w 0 为模型的初始时刻,这时人的体重 .模型 * 的求解方法很多,下面用积分 因子法求解.在 * 的两边同时乘以 bte 得 bt e ( ) dw t dt  ( ) bw t e bt  bt ae 即 d d t ( b t ( e w t ) )  b t a e 从 0 到 t 积分，并利用初值 a b ( ) w t w e 0    bt (0)w w 0 得 (1  e  bt )   a b ( w 0  a b  bt ) e 4 

4 模型的运用及检验 4.1 减肥计划的提出 某女身高 1.58m, 体重 52kg. 。人体每天摄入的能量 A=2500kcal。每 1kg 体重每天 因活动所消耗的能量 B=28.5kcal. 1kg 体重每天消耗的能量 C=28.8kcal. 每千克脂肪可 以转换的能量 D= 510 kcal. 试为她制定减肥计划，使其体重减至 45kg 并维持下去。可以 通过摄入量及运动量的增加使其达到减肥的目的。 4.2 利用模型求解 摄入量 A 减至每天 2000kcal,每天各进行 1 个小时的跳绳和散步，则 B=38.52 kcal 体 重 每 天 消 耗 的 能 量 C=28.8kcal ， D= 510 kcal ， 则 a=A/D=2000/ ( )w t =45, 510 ,b=(B+C)/D=(38.52+28.8)/ 0w =52. 510 . ( )w t =a/b+（ 0w -a/b） bte 45=2.97+(52-2.97) bte bte 则 =0.8572 两边去对数得 -bt=ln0.8572 t=-ln0.8572/0.006732=23 (天) 用模型求解可知，每天保持一定的摄入量及每天运动两个小时，体重可以减至 45kg. 由求解的结果可知，体重由 52kg 减至 45kg 需要 23 天是比较科学合理的。 5