2015年福建高考文科数学真题及答案.doc-资料库

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2015 年福建省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分． 1．（5 分）（2015•福建）若（1+i）+（2﹣3i）=a+bi（a，b∈R，i 是虚数单位），则 a，b 的值分别等于（） A．3，﹣2 B．3，2 C．3，﹣3 D．﹣1，4 考点：复数相等的充要条件．菁优网版权所有专题：数系的扩充和复数．分析：由复数的加法运算化简等式左边，然后由实部等于实部，虚部等于虚部求得 a，b 的值．解答：解：由（1+i）+（2﹣3i）=3﹣2i=a+bi，得 a=3，b=﹣2．故选：A．点评：本题考查复数的加法运算及复数相等的条件，是基础题． 2．（5 分）（2015•福建）若集合 M={x|﹣2≤x＜2}，N={0，1，2}，则 M∩N=（） A．{0} B．{1} C．{0，1，2} D．{0，1} 考点：交集及其运算．菁优网版权所有专题：集合．分析：直接利用交集及其运算得答案．解答：解：由 M={x|﹣2≤x＜2}，N={0，1，2}，得 M∩N={x|﹣2≤x＜2}∩{0，1，2}={0，1}．故选：D．点评：本题考查了交集及其运算，是基础题． 3．（5 分）（2015•福建）下列函数为奇函数的是（） A．y= B．y=ex C．y=cosx D．y=ex﹣e﹣x 考点：函数奇偶性的判断；余弦函数的奇偶性．菁优网版权所有专题：函数的性质及应用．分析：根据函数奇偶性的定义进行判断即可．解答：解：A．函数的定义域为[0，+∞），定义域关于原点不对称，故 A 为非奇非偶函数． B．函数 y=ex 单调递增，为非奇非偶函数． C．y=cosx 为偶函数． D．f（﹣x）=e﹣x﹣ex=﹣（ex﹣e﹣x）=﹣f（x），则 f（x）为奇函数，故选：D 点评：本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性定义是解决本题的关键． 1

4．（5 分）（2015•福建）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入 x 的值为 1，则输出 y 的值为（） A．2 B．7 C．8 D．128 考点：程序框图．菁优网版权所有专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是求 y= 的值，从而得解．解答：解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是求 y= 的值，若 x=1 不满足条件 x≥2，y=8 输出 y 的值为 8．故选：C．点评：本题主要考查了程序框图和算法，正确得到程序框图的功能是解题的关键，属于基础题． 5．（5 分）（2015•福建）若直线 =1（a＞0，b＞0）过点（1，1），则 a+b 的最小值等于）（ A．2 B．3 C．4 D．5 考点：基本不等式在最值问题中的应用．菁优网版权所有专题：不等式．分析：将（1，1）代入直线得： + =1，从而 a+b=（ + ）（a+b），利用基本不等式求出即可．解答：解：∵直线 =1（a＞0，b＞0）过点（1，1）， ∴ + =1（a＞0，b＞0）， 2

所以 a+b=（ + ）（a+b）=2+ + ≥2+2 =4，当且仅当 = 即 a=b=2 时取等号， ∴a+b 最小值是 4，故选：C．点评：本题考察了基本不等式的性质，求出 + =1，得到 a+b=（ + ）（a+b）是解题的关键． 6．（5 分）（2015•福建）若 sinα=﹣ ，则α为第四象限角，则 tanα的值等于（） A． B． ﹣ C． D． ﹣ 考点：同角三角函数基本关系的运用．菁优网版权所有专题：三角函数的求值．分析：利用同角三角函数的基本关系式求出 cosα，然后求解即可．解答：解：sinα=﹣ ，则α为第四象限角，cosα= = ， tanα= =﹣ ．故选：D．点评：本题考查三角函数的化简求值，同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力． 7．（5 分）（2015•福建）设 =（1，2）， =（1，1）， = +k ，若，则实数 k 的值等）于（ A． ﹣ B． ﹣ C． D．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．菁优网版权所有专题：平面向量及应用．分析：由题意可得的坐标，进而由垂直关系可得 k 的方程，解方程可得．解答：解：∵ =（1，2）， =（1，1）， ∴ = +k =（1+k，2+k） ∵ ，∴ • =0， ∴1+k+2+k=0，解得 k=﹣ 故选：A 点评：本题考查数量积和向量的垂直关系，属基础题． 3

8．（5 分）（2015•福建）如图，矩形 ABCD 中，点 A 在 x 轴上，点 B 的坐标为（1，0），且点 C 与点 D 在函数 f（x）= 的图象上，若在矩形 ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于（） A． B． C． D．考点：几何概型．菁优网版权所有专题：概率与统计．分析：由题意易得矩形和三角形顶点的坐标，进而可得面积，由几何概型可得．解答：解：由题意可得 B（1，0），把 x=1 代入 y=x+1 可得 y=2，即 C（1，2），把 x=0 代入 y=x+1 可得 y=1，即图中阴影三角形的第 3 个定点为（0，1），令 =2 可解得 x=﹣2，即 D（﹣2，2）， ∴矩形的面积 S=3×2=6，阴影三角形的面积 S′= ×3×1= ， ∴所求概率 P= = 故选：B 点评：本题考查几何概型，涉及面积公式和分段函数，属基础题． 9．（5 分）（2015•福建）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（） A．8+2 B．11+2 C．14+2 D．15 考点：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有专题：空间位置关系与距离．分析：判断出该几何体是底面为直角梯形，高为 2 的直三棱柱，底面的梯形上底 1，下底 2， 4

高为 1，运用梯形，矩形的面积公式求解即可．解答：解：根据三视图可判断该几何体是底面为直角梯形，高为 2 的直三棱柱，底面的梯形上底 1，下底 2，高为 1， ∴侧面为（4 ）×2=8 ，底面为（2+1）×1= ，故几何体的表面积为 8 =11 ，故选：B．点评：本题考查了空间几何体的三视图的运用，空间想象能力，关键是能够恢复判断几何体的形状． 10．（5 分）（2015•福建）变量 x，y 满足约束条件，若 z=2x﹣y 的最大值为 2，则实数 m 等于（） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 考点：简单线性规划．菁优网版权所有专题：不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数求得 m 的值．解答：解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得 A（），化目标函数 z=2x﹣y 为 y=2x﹣z，由图可知，当直线过 A 时，直线在 y 轴上的截距最小，z 有最大值为， 5

解得：m=1．故选：C．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． 11．（5 分）（2015•福建）已知椭圆 E： + =1（a＞b＞0）的右焦点为 F，短轴的一个端点为 M，直线 l：3x﹣4y=0 交椭圆 E 于 A，B 两点，若|AF|+|BF|=4，点 M 到直线 l 的距离不小于，则椭圆 E 的离心率的取值范围是（） A．（0， ] B．（0， ] C． [ ，1） D． [ ，1）考点：直线与圆锥曲线的关系．菁优网版权所有专题：开放型；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：如图所示，设 F′为椭圆的左焦点，连接 AF′，BF′，则四边形 AFBF′是平行四边形，可得 4=|AF|+|BF|=|AF′|+|BF|=2a．取 M（0，b），由点 M 到直线 l 的距离不小于，可得，解得 b≥1．再利用离心率计算公式 e= = 即可得出．解答：解：如图所示，设 F′为椭圆的左焦点，连接 AF′，BF′，则四边形 AFBF′是平行四边形， ∴4=|AF|+|BF|=|AF′|+|AF|=2a，∴a=2．取 M（0，b），∵点 M 到直线 l 的距离不小于，∴ ，解得 b≥1． ∴e= = ≤ = ． ∴椭圆 E 的离心率的取值范围是．故选：A．点评：本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、点到直线的距离公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 6

12．（5 分）（2015•福建）“对任意 x ，ksinxcosx＜x”是“k＜1”的（） A．充分而不必要条件 C．充分必要条件 B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件考点：充要条件．菁优网版权所有专题：简易逻辑．分析：利用二倍角公式化简不等式，利用三角函数线判断充要条件即可．解答：解：对任意 x 2x，，ksinxcosx＜x，即对任意 x ，ksin2x＜当 k＜1 时，ksin2x＜2x 恒成立，但是对任意 x ，ksinxcosx＜x”，可得 k=1 也成立，所以“对任意 x ，ksinxcosx＜x”是“k＜1”的必要而不充分条件．故选：B．点评：本题考查充要条件的判断与应用，三角函数线的应用，考查逻辑推理能力．二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分． 13．（4 分）（2015•福建）某校高一年级有 900 名学生，其中女生 400 名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为 45 的样本，则应抽取的男生人数为 25 ．考点：分层抽样方法．菁优网版权所有专题：计算题；概率与统计．分析：根据分层抽样的定义求出在各层中的抽样比，即样本容量比上总体容量，按此比例求出应抽取的男生人数．解答：解：根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为 = ，则应抽取的男生人数是 500× =25 人，故答案为：25．点评：本题的考点是分层抽样方法，根据样本结构和总体结构保持一致，求出抽样比，再求出在各层中抽取的个体数目． 14．（4 分）（2015•福建）在△ABC 中，AC= ，∠A=45°，∠C=75°，则 BC 的长度是．考点：正弦定理．菁优网版权所有专题：计算题．分析：根据∠A 和∠C 求得∠B，进而根据正弦定理求得求得 BC．解答：解：∠B=180°﹣45°﹣75°=60° 由正弦定理可知 CsinB=BCsinA 7

∴BC= = 故答案为点评：本题主要考查了正弦定理的应用．属基础题． 15．（4 分）（2015•福建）若函数 f（x）=2|x﹣a|（a∈R）满足 f（1+x）=f（1﹣x），且 f（x）在[m，+∞）上单调递增，则实数 m 的最小值等于 1 ．考点：指数函数单调性的应用．菁优网版权所有专题：开放型；函数的性质及应用．分析：根据式子 f（1+x）=f（1﹣x），对称 f（x）关于 x=1 对称，利用指数函数的性质得出：函数 f（x）=2|x﹣a|（a∈R），x=a 为对称轴，在[1，+∞）上单调递增，即可判断 m 的最小值．解答：解：∵f（1+x）=f（1﹣x）， ∴f（x）关于 x=1 对称， ∵函数 f（x）=2|x﹣a|（a∈R） x=a 为对称轴， ∴a=1， ∴f（x）在[1，+∞）上单调递增， ∵f（x）在[m，+∞）上单调递增， ∴m 的最小值为 1．故答案为：1．点评：本题考查了指数型函数的单调性，对称性，根据函数式子对称函数的性质是本题解决的关键，难度不大，属于中档题． 16．（4 分）（2015•福建）若 a，b 是函数 f（x）=x2﹣px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，且 a，b，﹣2 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 p+q 的值等于 9 ．考点：等比数列的性质；等差数列的性质．菁优网版权所有分析：由一元二次方程根与系数的关系得到 a+b=p，ab=q，再由 a，b，﹣2 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于 a，b 的方程组，求得 a，b 后得答案．解答：解：由题意可得：a+b=p，ab=q， ∵p＞0，q＞0，可得 a＞0，b＞0，又 a，b，﹣2 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，可得 ①或 ②．解①得：；解②得：． ∴p=a+b=5，q=1×4=4，则 p+q=9．故选：D． 8

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