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《微积分讲稿 一元微积分》(复旦)谢锡麟拆组后.pdf

发布时间：2022-06-13 发布人：admin 分类：说明书 资料大小：2.54M 资料格式：pdf 举报 版权申诉
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    符号表8任意9存在9!唯一存在=:表示右边的表达式是左边的对象的表达形式,符号:=同理,表示右边的表达式是左边对象的定义用在证明的结尾表示证明的结束x;向量R实数系/实数轴R+;R正实数集合/实数轴右半轴;负实数集合/实数轴左半轴R扩充的实数系C复数集Rmm维Euclid空间(a;b)不含端点a与b的开区间[a;b]含有端点a与b的闭区间]a;b[不特别指定是否含有端点a或b的区间B(x0)以x02R为中心,以2R+为半径的邻域(x0;x0+)◦B(x0)以x02R为中心,以2R+为半径的去心邻域(x0;x0)∪(x0;x0+)B+(x0)(x0;x0+)B(x0)(x0;x0)B(+1)(;+1)B(1)(1;)B(1)(1;)∪(;+1)supE集合ER的上确界
    ii微积分讲稿——一元微积分infE集合ER的下确界limn!+1xn数列fxngn2N的极限limx!x02Rf(x)当x!x02R时,f(x)的极限dfdx(x);f′(x);_f(x)f(x)在x点的一阶导数d2fdx2(x);f′′(x);f(x)f(x)在x点的二阶导数f′(x);f′+(x)f(x)在x点左导数与右导数a!b利用有限增量公式时,以a点的信息估计b点的值b!a利用有限增量公式时,以b点的信息估计a点的值∫f(x)dxf(x)的不定积分∫baf(x)dxf(x)在区间[a;b]上的定积分C[a;b]闭区间[a;b]上连续函数的全体/集合R[a;b]闭区间[a;b]上Riemann可积函数的全体/集合
    1 微积分讲义（上—一元微积分） 【内容简介】本讲义自2003年形成初稿使用以来，历经多次修改；其间也汲取了来自学生与教师同仁的建议与意见。讲义内容涵盖一元微积分、多元微积分以及常微分方程理论，其他相关内容会在以后的修改中加以增补。本讲义疏漏之处还望读者不吝赐教，联系方式为zijunyxq@163.com。 第一章 函数与极限 §1 微积分的发展简史及基本思想 客观世界的万事万物，无一不在运动、发展和变化着，在这样的过程中都存在着一定的数量关系；数学就是研究现实中的数量关系与空间形式的科学，即研究数与形的科学。所谓数学，究其本质是研究各种可表述为数学概念的事物组成的集合，研究同一集合中和不同集合间元素之间相应的数量关系（变换或运算）和相应的数学结构（代数结构，序结构，拓扑结构）。 【注1】常称具有一定数学结构的集合为空间。 17世纪以前，数学研究的“数”是常数或常量，这期间形成了初等代数与初等几何，统称为初等数学；这一阶段常称为初等数学阶段。1637年，法国的笛卡尔建立了解析几何，数学从此进入了高等数学阶段；在这一阶段值得一提的是英国的牛顿（Newton）和法国的莱布尼茨（Leibniz）分别从物理学和几何学的角度独立创立了“微积分学”。微积分是近代数学的第一个伟大成就，不仅对于数学本身的发展，而且对几乎所有的科学（自然，社会和人文）都是强有力的工具；它诞生于17世纪，但是其思想却可追溯至2500年前。 微积分的研究对象是函数（连续或基本连续），其研究函数变化的局部性质（微分学）和整体性质（积分学）；微积分的基本运算是极限运算；其基本方法是极限方法和局部线性化方法（俗称“以直代曲”）；它的基本内容是微分学和积分学以及级数理论；微积分的基本思想是极限思想。所谓“极限思想”即指用极限的概念分析问题和解决问题的一种数学思想－有时确定一个量，先确定的不是这个量的精确值
    2 而是近似值，并且近似值不是一个而是一个近似值序列；然后通过考察这个序列的变化趋势，来确定这个量的精确值！ 历史上，积分学的产生要早于微分学；积分学主要源于对以下问题的研究：求变速直线运动的质点的位移，曲边图形的面积等等；微分学主要源于求变速直线运动的质点的瞬时速率和曲线上过某点的切线斜率等问题。微分学和积分学是微积分的两个重要组成部分；“微”即“微小”，“积”即“累加”；前者讨论函数局部意义下的性质，后者则讨论函数整体意义下的性质！牛顿在其发表的著作“自然哲学的数学原理”中首次将其创立的微积分称之为“流数术”，现在已不再使用；而莱布尼茨创立的微积分学的符号则沿用至今！值得一提的是：微积分这座大厦是由上而下建立的，一开始它就形同空中楼阁；直到18世纪后，才由欧拉（Euler）、波尔查诺（Bolzano）、柯西（Cauchy）、魏尔斯特拉斯 （Weierstrass）、伯（贝）努利（Bernoulli）、拉格朗日 （Lagrange）、戴德金（Dedekind）等逐渐完善其理论基础！ 【引例】设yfx是定义于,ab上的一个函数，试求： 1.该段曲线上过000,(,)xfxxab点处的切线斜率； 2.该段曲线与直线,xaxb以及x轴所围曲边梯形的面积。 问题1之于微分学： 一个自然想法即“以直代曲”：设想在点00,xfx附近用直线段近似该段曲线弧（曲线段），相应地用过该点的割线的斜率近似过该点切线的斜率；直观上可以想象，随着曲线弧段越来越短，近似程度将越来越好；可是，直和曲终归是一对矛盾－只要曲线弧长不为零，直线永远代替不了曲线。究竟能否得到准确值，正是微分学的重要内容；这是涉及局部性质的问题。 问题2之于积分学： 曲边梯形是不规则的几何图形，再次运用“以直代曲”的思想，但不是在一个点的附近，而是整体地用一组直线段来代替这段曲线。考虑在,ab上插入1n个分点121,,,nxxx，使得 0121nnaxxxxxb，过这些分点分别作垂直于x轴的直
    3 线将原曲边梯形分割成n个小曲边梯形；以1,,iiiiifxxxxx (1,2,,)in分别替代相应的小曲边梯形的面积，从而可以得到原曲边梯形的近似面积1niiifxx；并且原区间,ab分割得越细该近似值精确度就越高，最终通过一个极限过程过渡为精确值。这也正是积分学可以解决的问题！ §2 映射与函数 映射是现代数学的一个基本概念，而函数是微积分的基本研究对象。 【映射】设,AB是两个非空集合，若对于每个xA，按照某种确定的法则f，有惟一的yB与之对应，则称f为从A到B的一个映射，记作：:fAB或:,fxyfxxA；其中，y称为x在映射f下的像。称x为在y映射f下的原（逆）像；A称为f的定义域（domain），记作：DfA；另记： :,fAyyfxxA，称之为A在f下的像即f的值域 （range），记作：Rf；记1:fBxfxB，称之为B在f下的原像，易见1fBA。 例如：设有映射1234123:,,,,,,,,fABAxxxxByyy且有， 123142,,fxfxfxyfxy则易见，11123,,,fyxxx 11242112,,,fyxfAB。 【注1】 构成映射必须具备以下三个要素：1.定义域，即自 变量的取值范围；2.值域，即定义域的像；3.对应法则。需要强调地是：映射要求元素的像必须是惟一的，但并不要求原像也具惟一性；以后为叙述方便，习惯用符号“”表示“对于任意”，用符号“”表示“存在”，从而映射的定义可简述为：,!,xAyByfx使得。 【映射相等（等价）】若,fg均是A到B的映射，且 ,xAfxgx，则称映射,fg相等，记作：fg。 【注2】 映射又称“算子”，在上述定义中，若： 1. B是实数集，称映射:fAB为泛函； 2. ,AB均是实数集，称映射:fAB为（一元）函数； 3. AB，称映射:fAB为A上的一个变换；特别地，若映射
    4 还满足：,xAfxx，则称之为恒等（单位）变换。在现代数学里，常常又将函数与映射不加以区别！ 若将原像视作运算，则可以得到：原像保持（保留）集合运算的所有性质！设:fAB，则12,BBB， 1. 1111212fBBfBfB；2. 1111212fBBfBfB； 3. 1111212fBBfBfB； 4. 11111111fBfBBAfBfB。（课堂选证－了解原像及其性质，对于以后学习随机变量是极其有益的！） 【注3】事实上，上述性质1.、2.可以推广到可列甚至不可 列的情形：1111,iiiiiIiIiIiIfBfBfBfBiBB；这里指标集I可以是可列集或不可列集！而像则没有这些性质，也可验证：,,iiiiiiIiIiIiIfAfAfAfAAA 。 【复合映射】设有如下两映射：:,fABxyfx和 :,gCDyzgy，如果RfCDg，则可构造出一个新的“对应关系”：:,gfADxzgfx，这还是一个映射，称之为g和f的复合映射，记之为：gf。（作图以说明） 【注4】 复合映射gf的构成，实质上是引入了中间变量 y，因此关键在于RfCDg是否成立；另外，gf有意义，也并不意味着fg也有意义；即使其也有意义，二者也不尽相同。 可以验证：对于上述的g和f以及 111111,DDgfDfgD 。 以下讨论函数。一般地，函数对应法则的形式没有加以限制： 1. 若函数对应法则的形式是解析表达式，且它可表示为yfx，则称此函数为显示表示，亦称显函数； 2. 若函数对应法则是由方程,0Fxy所确定，则称y是x的隐函数；（有的隐函数可以显示化，有的却不能或很难显示化；举例说明） 3. 若函数对应法则是由表格或图形表示出来，则称这种表示为函数的表格表示法或图形表示法；
    5 4. 若函数对应法则是由几个解析表达式表示的，则称这种函数为分段函数； 一般地，显函数可分为两类：初等函数与非初等函数 ；其中初等函数是由基本初等函数经过有限次四则运算或有限次复合运算得到的；而基本初等函数通常分为如下六类：1.常数函数；2.幂函数；3.指数函数；4.对数函数；5.三角函数；6.反三角函数；（这里不再累述有关性质，详见教材！） 非初等函数常见有如下形式： 1） 分段函数；如：220,11,0fxxIxxIx； 2） 阶梯函数；如：1,1iinixxifxcIx； 3） 超越函数；如：20xtedt； 【例1.2.1】符号函数sgnx和取整函数x； 【例1.2.2】用分段函数表示22yx；（两种作法） 【例1.2.3】若21xfxx，试求fffx；（1n次复合） 【例1.2.4】若21,12,22,22xxfxIxgxxIxIx，试求 ,fgxgfx； 以下讨论函数的性质； 【有界性】设函数:fAR，若,0xAM，有fxM，则称yfx为有界函数；若00,MxA，使得fxM，则称yfx为无界函数； 通常，平面点集,:,xyyfxxA称为函数的图形（图像）；从几何上看，有界函数的图形总囿于yM内。 【例1.2.5】判断函数2,11xxyxx是否有界？ 【例1.2.6】判断函数2cos,cosfxxxx是否为无界函数（有界振荡，无界振荡）？ 【奇偶性】设函数:fAR，定义域关于原点对称；若 ,xAfxfx，称fx为奇函数；若,xAfxfx，称 fx为偶函数。 【例1.2.7】判断函数2ln1yxx的奇偶性；
    6 【例1.2.8】若yfx是R上的任意函数，则其必可表示为一个奇函数与一个偶函数的和； 【单调性】设函数:fAR，若121212,,,xxAxxfxfx，则称fx为A上的单调递增（不减）函数； 若 121212,,,xxAxxfxfx，则称fx为A上的单调递减（不增）函数； 【例1.2.9】试求函数 22001122121xxxxfxxIxIxxIx的反函数； 【周期性】设函数:fAR，,AR，若TR，使得 ,xRfxTfx，则称fx为周期函数，T为fx的周期； 【例1.2.10】求函数34sintan57yxx的最小正周期； 【例1.2.11】关于Dirichlet（狄里克莱）函数/RQDxIx； 【注5】 可以验证：任意有理数均是Dirichlet函数的周期， 且其无最小正周期！ §3数列，函数的极限 微积分的基本内容就是用极限的思想和观点去观察函数的变化特征，计算某些重要的量。数列的极限是各种极限中较为简单的一种。 极限思想的完善与微积分的严格化有着密切联系！ 【定义1（数列的极限）】设为,1nxn一个数列，a为一个给定的实数；若10,NN，使得当1nN时，就有nxa，则称,1nxn以为a极限，或,1nxn收敛于a；记作：limnnxa或()nxan。 【注1】 1.历史上，为了排除极限概念中的直观痕迹，维尔 斯特拉斯提出了上述极限的静态定义，为微积分提供了严格的理论基础。这个定义借助不等式，通过与1N之间的关系，定量具体地刻划了两个“无限过程”之间的联系；定义中涉及到的仅仅是数及其大小关系；此外，定义中只有“给定”、“存在”、“任取”等词，已经摆脱了“趋近”一词，不再求助于运动的直观。可以说，维尔斯特拉斯建立的N语言用静态的定义刻划了变量的变化趋势!
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