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数值分析课程设计.docx
摘 要
实验一 .线性方程组求解的数值方法
1.列主元Gauss消去法
1.1 实验目的
1.2 基本原理
1.3 实验内容
1.3.1 程序来源
1.3.2 实例分析
1.4 实验结论
2.Jacobi迭代法
2.1 实验目的
2.2 基本原理
2.3 实验内容
2.3.1 程序来源
2.3.2 实例分析
2.4 实验结论
实验二 .函数的数值逼近
1.Lagrange插值多项式
1.1 实验目的
1.2 基本原理
1.3 实验内容
1.3.1 程序来源
1.3.2 实例分析
1.4 实验结论
2.Newton插值
2.1 实验目的
2.2 基本原理
2.3 实验内容
2.3.1 程序来源
2.3.2 实例分析
2.4 实验结论
实验三 数值积分
1.复化Simpson求积公式
1.1 实验目的
1.2 基本原理
复化Simpson公式是一种比较实用的积分方法，可以给出误差估计。首先将区间[a,b] N等分，子区
在每个子区间上采用Simpson公式，在用Simpson公式时，还要将子区间再二等分，因此有2N+1
经推导得到，
称为为复化Simpson值，称（3.3）式为复化Simp
1.3 实验内容
1.3.1 程序来源
1.3.2 实例分析
1.4 实验结论
2.复化梯形公式
2.1 实验目的
2.2 基本原理
2.3 实验内容
2.3.1 程序来源
2.3.2 实例分析
2.4 实验结论
实验四 常微分方程数值解
1.Euler方法
1.1 实验目的
1.2 基本原理
1.3 实验内容
1.3.1 程序来源
1.3.2 实例分析
1.4 实验结论
2.改进的Euler方法
2.1 实验目的
2.2 基本原理
2.3 实验内容
1.3.1 程序来源
1.3.2 实例分析
2.4 实验结论
实验五 矩阵特征值计算
1.1 实验目的
1.2 基本原理
1.3 实验内容
1.3.1 程序来源
1.3.2 实例分析
1.4 实验结论
参考文献
数 学 与 计 算 机 学 院
数值分析课程设计
学号:
设计时间:
指导教师:
姓名:
至
评阅成绩:
评阅教师:
I
I
摘 要
实验方法与理论方法是推动科学技术发展的两大基本方法，但有局限性。许
多研究对象，由于空间或时间的限制，既不可能用理论精确描述，也不能用实验
手段实现。
数值模拟或称为科学计算突破了实验和理论科学的局限，在科技发展中起到
越来越重要的作用。可以认为，科学计算已于实验、理论一起成为科学方法上不
可或缺的三个主要手段。
计算数学的研究是科学计算的主要组成部分，而数值分析则是计算数学的核
心。数值计算是研究使用计算机来解决各种数学问题的近似计算方法与理论，其
任务是提供在计算机上可解的、理论可靠的、计算复杂性低的各种常用算法。
数值分析的主要内容：
（1）、数值代数：求解线性和非线性方程组的解，分直接方法和间接方法两大
类；
（2）、插值、曲线拟合和数值逼近；
（3）、数值微分和数值积分；
（4）、常微分和偏微分方程数值解法。
本文主要通过 Matlab 软件，对数值分析中的一些问题进行求解，如列主元
Gauss 消去法，Jacobi 迭代法，Lagrange 插值多项式，Newton 插值多项式，复
化梯形公式，复化 Simpson 公式，Euler 方法，改进的 Euler 方法，矩阵特征值计
算以及数值分析在实际问题中的应用，并在求解的过程中更加熟识这门课程的主
要内容，以及加强对课程知识的掌握。在学习与设计计算方法时，从数学理论角
度，学会分析方法的误差、收敛性和稳定性，保证计算方法的准确性；从实际应
用的角度出发，掌握计算方法的结构与流程，能够把计算方法转换为可在计算机
上直接处理的程序，保证算法的可用性。
关键词：列主元 Gauss 消去法 Lagrange 插值 复化 Simpson 公式 Euler 方法
II
III
目 录
摘 要.............................................................................................................................II
实验一 .线性方程组求解的数值方法....................................................................... 1
1.列主元 Gauss 消去法............................................................................................... 1
1.1 实验目的....................................................................................................... 1
1.2 基本原理....................................................................................................... 1
1.3 实验内容....................................................................................................... 2
1.4 实验结论....................................................................................................... 3
2.Jacobi 迭代法.......................................................................................................... 4
2.1 实验目的....................................................................................................... 4
2.2 基本原理....................................................................................................... 4
2.3 实验内容....................................................................................................... 4
2.4 实验结论....................................................................................................... 6
实验二 .函数的数值逼近........................................................................................... 7
1.Lagrange 插值多项式.............................................................................................. 7
1.1 实验目的....................................................................................................... 7
1.2 基本原理....................................................................................................... 7
1.3 实验内容....................................................................................................... 8
1.4 实验结论......................................................................................................11
2.Newton 插值............................................................................................................ 12
2.1 实验目的..................................................................................................... 12
2.2 基本原理..................................................................................................... 12
2.3 实验内容..................................................................................................... 13
2.4 实验结论..................................................................................................... 15
实验三 数值积分....................................................................................................... 15
1.复化 Simpson 求积公式......................................................................................... 15
1.1 实验目的..................................................................................................... 15
1.2 基本原理..................................................................................................... 15
1.3 实验内容..................................................................................................... 16
IV
1.4 实验结论..................................................................................................... 17
2.复化梯形公式......................................................................................................... 18
2.1 实验目的..................................................................................................... 18
2.2 基本原理..................................................................................................... 18
2.3 实验内容..................................................................................................... 18
2.4 实验结论..................................................................................................... 19
实验四 常微分方程数值解....................................................................................... 20
1.Euler 方法.............................................................................................................. 20
1.1 实验目的..................................................................................................... 20
1.2 基本原理..................................................................................................... 20
1.3 实验内容..................................................................................................... 21
1.4 实验结论..................................................................................................... 22
2.改进的 Euler 方法................................................................................................. 23
2.1 实验目的..................................................................................................... 23
2.2 基本原理..................................................................................................... 23
2.3 实验内容..................................................................................................... 23
2.4 实验结论..................................................................................................... 26
实验五 矩阵特征值计算........................................................................................... 26
1.1 实验目的..................................................................................................... 26
1.2 基本原理..................................................................................................... 27
1.3 实验内容..................................................................................................... 28
1.4 实验结论..................................................................................................... 31
参考文献..................................................................................................................... 31
V
实验一 .线性方程组求解的数值方法
1.列主元 Gauss 消去法
1.1 实验目的
（1）理解列主元消去法的原理；
（2）熟悉列主元消去法的计算步骤，能用代码编写；
（3）解决实际问题。
1.2 基本原理
在顺序 Gauss 消去法中，必须要求
a (k)
kk
(0
k
,2,1
),
n
；否则无法进行计算。
即使，但
( k
)
kka
0
(k
其绝对值 )
kka 很小，由于舍入误差的影响，也可能会引起很大
的误差，从而使上述方法失效。为了使消元过程中减少舍入误差和不至于中断，
可以按照不同的自然顺序进行消元。在第 k 步消元时，增广矩阵为
(
BA
k
)
)1(
a
11
)1(
a
12
)2(
a
22
)1(
a
1
1
k
)2(
a
1
2
k
)1
(
k
1
1
k
k
a
(
k
)
)1(
a
1
k
)2(
a
2
k
)1
k
1
k
(
)
k
kk
(
k
nk
a
)
(
a
k
a
)1(
a
1
n
)2(
a
2
n
)1
k
1
n
(
)
k
kn
(
k
nn
a
)
(
a
k
a
)1(
b
1
)2(
b
2
)1
(
k
b
1
k
(
k
b
k
(
k
b
n
)
)
（1.1）
( k
不一定选取 )1
kka 作为主元，而从同列
)1
a
(
k
kk
,
a
(
k
)1
k
,1
k
,
,
a
(
k
nk
)1
中选取绝对值最大
的作为主元素，即
a
(
k
r
k
)1
max
nik
)1
a
(
k
ik
1
（1.2）
若
( k
)
rka
0
，此时矩阵不可逆，方程的解不确定，则停止计算；否则，当 r>k
时，则其增广矩阵中交换第 k 行和第 r 行，即
)
a
(
k
kj
)
(
a k
rj
j
,
kk
,1
,
n
)(
k
b
k
)(
k
b
r
（1.3）
(k
使 )
rka 成为主元。然后再按 Gauss 消去法进行消元运算。于是就得到列主元 Gauss
消去法。
1.3 实验内容
1.3.1 程序来源
首先建立一个 gaussMethod.m 的文件，用来实现列主元的消去方法。文件内
容如下：
function x=gaussMethod(A,b)
%高斯列主元消去法，要求系数矩阵非奇异的
n = size(A,1);
if abs(det(A))<= 1e-8
error('系数矩阵是奇异的'); return;
end
for k=1:n
ak = max(abs(A(k:n,k)));
index = find(A(:,k)==ak);
if length(index) == 0
index = find(A(:,k)==-ak);
end
%交换列主元
temp = A(index,:);
A(index,:) = A(k,:);
A(k,:) = temp;
temp = b(index);b(index) = b(k); b(k) = temp; %消元过程
for i=k+1:n
m=A(i,k)/A(k,k); %消除列元素
A(i,k+1:n)=A(i,k+1:n)-m*A(k,k+1:n);
b(i)=b(i)-m*b(k);
end
end %回代过程
x(n)=b(n)/A(n,n);
for k=n-1:-1:1;
2
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