2007年江西高考理科数学真题及答案.doc-资料库

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2007 年江西高考理科数学真题及答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷 l 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 4 页，共 150 分．考生注意：第Ⅰ卷 1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效． 3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回．参考公式：如果事件 A、B 互斥，那么 P（A＋B）＝P（A）＋P（B）如果事件 A、B 相互独立，那么 P（A·B）＝P（A）·P（B）如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P，那么球的表面积公式 S＝4πR2 其中 R 表示球的半径球的体积公式 V＝ 4 πR3 3 n次独立重复试验中恰好发生 k次的概率其中 R 表示球的半径 Pn(k)＝Ck n Pk (1 一 P) kn 一．选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．化简  的结果是 42 i 2) 1( i  2． 2 A．2＋i 3 x x lim 1  x 1 x A．等于 0   B．－2＋i C．2－i D．－2－i B．等于 l C．等于 3 D．不存在 3．若 tan(  4 )   3 ，则 cot α等于 A．－2 4．已知( x ＋ 3 x 3 B． 1 2 C． 1 2 D．2 )n展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为 64，则 n 等于 A．4 B．5 C．6 D．7 5．若 0＜x＜ ，则下列命题中正确的是 2

3 A．sin x＜ x  3 B．sin x＞ x  C．sin x＜ 6．若集合 M  },2,1,0{ N  ,{( yx |) x  2 y 01  且 x  4 x 2  2 y 2 D．sin x＞ 4 x 2  2 ,01  , Myx  }，则 N中元素的个数为 A．9 B．6 C．4 D．2 7．如图，正方体 AC1 的棱长为 1，过点 A作平面 A1BD的垂线，垂足为点 H．则以下命题中，错误．．的命题是 A．点 H是△A1BD的垂心 B．AH垂直平面 CB1D1 C．AH的延长线经过点 C1 D．直线 AH和 BB1 所成角为 45° 8．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯,如图所示．盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为 h1，h2，h3，h4，则它们的大小关系正确的是 A．h2＞h1＞h4 B．h1＞h2＞h3 C．h3＞h2＞h4 D．h2＞h4＞h1 9．设椭圆 2 2 x a  2 2 y b  (1 a ＞＞b )0 的离心率为 e＝ 1 2 ,右焦点为 F(c,0)，方程 ax2＋bx－c＝ 0 的两个实根分别为 x1 和 x2，则点 P(x1,x2) A．必在圆 x2＋y2＝2 内 B．必在圆 x2＋y2＝2 上 C．必在圆 x2＋y2＝2 外 D．以上三种情形都有可能 10．将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为 A． 1 9 B． 1 12 C． 1 15 D． 1 18 11．设函数 f(x)是 R 上以 5 为周期的可导偶函数，则曲线 y＝f(x)在 x＝5 处的切线的斜率为 A．－ 12．设的 1 5 : )( xfp B．0 C． 1 5 D．5  x e  ln x  2 2 x  mx  1 在(0，＋∞)内单调递增， mq : 5 ，则 p是 q

A．充分不必要条件 C．充分必要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件注意事项：第Ⅱ卷第Ⅱ卷 2 页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分．请把答案填在答题卡上． 13.设函数 y＝4＋log2(x－1)(x≥3)，则其反函数的定义域为． 1 9 14.已知数列{an}对于任意 p，q ∈N*，有 ap+aq=ap+q，若 a1= ，则 a36＝． 15.如图，在△ABC中，点 O是 BC的中点，过点 O的直线分别交直线 AB、AC于不同的两点 M、N,若 AB  AMm , AC  ANn ,则 m+n的值为． 16.设有一组圆 Ck (: x  k )1 2  ( y  )3 k 2  2 k 4 ( Nk  * ) ．下列四个命题： A．存在一条定直线与所有的圆均相切 B．存在一条定直线与所有的圆均相交 C．存在一条定直线与所有的圆均不．相交 D．所有的圆均不．经过原点其中真命题的代号是．（写出所有真命题的代号）三．解答题：本大题共 6 小题，共 74 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分 12 分）已知函数 f ( x )      cx  2  x 2 c 1  k 0( ＜＜ x c ) ( c  x ＜ )1 在区间(0，1)内连续,且 ( 2  cf ) 9 8 ．（1）求实数 k 和 c 的值；（2）解不等式 )( ＞xf 2 8 1 18．（本小题满分 12 分）如图,函数 y  2 cos(   x )( x  R 0,    的  2 ) 图象与 y 轴交于点(0， 3 )，且在该点处切线的斜率为一 2．（1）求θ和ω的值；（2）已知点 A(  2 ，0)，点 P是该函数图象上一点，点 Q(x0，y0)是 PA的中点，当 y0＝ 3 ， 2 x0∈[  2 ，π]时，求 x0 的值． 19．（本小题满分 12 分）

某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为 0.5， 0.6， 0.4．经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为 0.6，0.5，0.75．（1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；（2）经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为ξ，求随机变量ξ的期望． 20．（本小题满分 12 分）右图是一个直三棱柱（以 A1B1C1 为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为 ABC．已知 A1B1＝B1C1＝l，∠AlBlC1＝90°， AAl＝4，BBl＝2，CCl＝3．（1）设点 O是 AB的中点，证明：OC∥平面 A1B1C1；（2）求二面角 B—AC—A1 的大小；（3）求此几何体的体积． 21．（本小题满分 12 分）设动点 P到点 A(－l，0)和 B(1，0)的距离分别为 d1 和 d2， ∠APB＝2θ,且存在常数λ(0＜λ＜1＝,使得 d1d2 sin2θ＝λ．（1）证明：动点 P的轨迹 C为双曲线，并求出 C的方程；（2）过点 B作直线交双曲线 C的右支于 M、N两点,试确定λ的范围,使OM ·ON ＝0,其中点 O 为坐标原点． 22．（本小题满分 14 分）设正整数数列{an}满足：a2＝4，且对于任何 n∈N*，有 2  1 a n 1  ＜ n a 1 n 1 a  n 1  n  1  1 （1）求 a1，a3；（2）求数列{ an }的通项 an ． 2 ＜  1 a n ．参考答案

一、选择题 1．C 6．C 11．B 二、填空题 2．B 7．D 12．B 3．A 8．A 4．C 9．A 5．D 10．B 13．[5 )， ∞ 14． 4 15． 2 16． B D，三、解答题 17．解：（1）因为 0 1c  ，所以 2c c ，由 2 f c  ，即 3 ( c   ， ) 91 8 c  ． 1 2 9 8 又因为 ( ) f x        1 2 x   1      k 1 2  4 x 2  ≤ x  1 0   x 1 2       在 x  处连续， 1 2 所以 f    1 2      2 2   k （2）由（1）得： ( ) f x        5 4 1 2 ，即 1k  ． 0   x 1 2 x   1      1 2  4 x 2  1 ≤ x  1 由 ( ) f x  2 8 1  得，当 0 当 1 2 x ≤ 1 时，解得 1 2 x ≤ 1 2 5 8 ， x  时，解得       2 4 x  ． 1 2 所以 ( ) f x  2 8 1  的解集为 x      2 4   x 5 8      ． 18．解：（1）将 0 x  ， y  代入函数 2cos(  3 y ) x   得 cos  ， 3 2 因为 0 ≤ ≤ ，所以   ．    2 6 ) 2 sin( x    ，又因为 y     xy  0   ， 2   ，所以  6 2 ，  因此 2cos 2    y x   6    ．

（2）因为点 A   2     ( 0 Q x ，， 0 y，是 PA 的中点， 0 y  ， ) 0 3 2 所以点 P 的坐标为 02 x      2 ，． 3     又因为点 P 在 2cos 2    y x   6    的图象上，所以  cos 4   x 0  5  6     3 2 ．因为 ≤ ≤ ，所以  x 0 ≤  2 ≤ ， 19  6 7  6 4 4 x 0 5  6 5  6 13  6  x 或 0   ．  5  6 x  或 0 4 x 从而得 0 2  3 x 即 0 11  6 3  4  ． 19．解：分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件 1A ， 2A ， 3A ，（1）设 E 表示第一次烧制后恰好有一件合格，则  1  ( ( ) AAAp EP 3 0.5 0.4 0.6 0.5 0.6 0.6 0.5 0.4 0.4 0.38    ( AAAP 3   ) ( AAA 3 1   2      )      2 1 2 ) ．（2）解法一：因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为 p  ， 0.3 所以 ~ (3 0.3) B ，，故 E np   3 0.3 0.9  ．解法二：分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件 A B C，，，则 ) ( P A ) 0.3  ， ( P B ( P C   ) 所以 ( P  0)   (1 0.3) 3  0.343 ， ( P  1) 3 (1 0.3)    2  0.3 0.441  ， ( P  2) 3 0.3   2  0.7  0.189 ， ( P  3) 0.3  3  0.027 ．于是， ( ) 1 0.441 2 0.189 3 0.027 E        20．解法一：（1）证明：作 OD AA∥ 交 1 1A B 于 D ，连 1C D ． 1 则 OD BB 1 ∥ ∥ ． CC 1  ． 0.9 A 2A O 1A D C 2C 1C H B 1B

因为O 是 AB 的中点， AA BB 1 OD 所以   1 1 ( 2 ) 3   CC 1 ．则 1ODC C 是平行四边形，因此有 OC C D∥ ． 1 1C D  平面 1 1 1 C B A 且OC  平面 1 1 1 C B A ，则OC ∥面 1 1 A B C ． 1 （2）如图，过 B 作截面 2 BA C ∥面 1 1 A B C ，分别交 1AA ， 1CC 于 2A ， 2C ． 2 1 作 BH A C 2 2 于 H ，连CH ．因为 1CC  面 2 BA C ，所以 1CC 2 BH ，则 BH  平面 1AC ．又因为 AB  ，所以 BC AC 角．因为 BH  2 2 2 BC  ， 5 AB ，根据三垂线定理知CH AC   AC BC AC ，所以 BCH∠ 3   2 2 2 ．就是所求二面角的平面，所以 sin ∠ BCH  BH BC  1 2 ，故 ∠ BCH   30 ，即：所求二面角的大小为30 ．（3）因为 BH  2 2 ，所以 V B  CCAA 2 2  V BCACBA 111  2 2 1 3  S CCAA 2 2  BH S  CBA 111  BB 1  2  2 2  1 2 . )21(  1 1  3 2 1 12  2 所求几何体体积为 B AA C C  2 2  V A B C A BC 1 1 1  2  ． 3 2 2 V V  解法二：（1）如图，以 1B 为原点建立空间直角坐标系，则 (0 1 4) A ，，， (0 0 2) B ，，， (1 0 3) C ，，，因为O 是 AB 的中点，所以 O    A O 10 ，，， 2    3  OC  1   ，，．  1 2    0 y 1A C x 1C z B 1B

 n  易知， (0 0 1) ，，是平面 1 1 A B C 的一个法向量． 1 （2） (0 1   ，，， 2) 因为  AB   ( m x 设  0 nOC ，OC  平面 1 1 A B C ，所以OC ∥平面 1 1 A B C ． 1 1  BC  (1 0 1) ，，，，，是平面 ABC 的一个法向量，则 y z ) 则 mAB   ,0 mBC   0 得： 0 y 2 z        0 x z  取 x z   ， 1  m  (1 2 ，，． 1)   l  显然， (11 0) ，，为平面 1 AAC C 的一个法向量． 1 则 cos  , lm  lm  | | lm  | |  021  2 6   3 2 , 结合图形可知所求二面角为锐角．所以二面角 B AC A 1  的大小是 30 ．  （3）同解法一． 21．解法一：（1）在 PAB△ 中， AB  ，即 2 2 2  2 d 1  d 2 2  2 d d 1 2 cos 2  ， 4 (  d 1  d 2 2 )  4 d d 1 2 2 sin  ，即 d 1  d 2  4 4  d d 1 2 sin 2   2 1 点 P 的轨迹C 是以 A B，为焦点，实轴长 2 a  2 1  的双曲线．    （常数），  2 方程为： 1 x  2 2 y     1 ．（2）设 ( M x y，， 1 ) 1 ( N x y， 2 2 ) ①当 MN 垂直于 x 轴时， MN 的方程为 1x  ， (11)M ，， (1 1) N ，在双曲线上．即 1 1     1           1 0 1 2 5 1   2 ，因为 0 1  ，所以   5 1  2 ． ②当 MN 不垂直于 x 轴时，设 MN 的方程为 y  ( k x 1)  ．由  2  x  1    y  2  y   ( 1) k x  1 得：    (1   2 )  k   2 x  2(1  )  2 k x (1   )(  k 2   ) 0  ，

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