应用统计与随机过程第二章部分课上例题 湖南大学 通信 1504 魏月露 2017.10.16 本专业课由湖大何选森教授与何松华教授所带班，上课的 ppt 老师不给拷贝。因无聊将上课拍照 的部分例题记录在此，便于以后的复习。例题在何选森老师所编的《随机过程》一书中也有相似或完 全相同的，当然复习的时候是可以照着书本的。但是由于本人太懒，估计着不会有机会将书本完全看 完一遍还把例题做了，因此在此记录下这些题目，想必老师提出来讲过的题目也是有一定代表性的 吧... 并且上第一章的时候，全程懵逼了，也没来得及拍照，因此从第二章开始了。 由于拍照模糊原因加上可能仔细检查后仍然会有细节错误，望指正！ 【例 2-1】 设随机信号 )( tX  Y cos(  0 t ), 式中  0 是常数， Y 是均值为 0 1 方差为 的高斯随机变量， 求 t 2,0  , 0 2 3    0 时 候 X（t）的概率密度，以及在任一时刻 t，X（t）的概率密度。 解： 根据题意，随机变量 Y 的概率密度为 f Y )( y  2 y 2  e 1 2  当 t=0 是，X(0)=Y，即随机过程 X(t)在 t=0 是随机变量 Y，因此其概率密度为： f X )0,( x   2 x 2 e 1 2  当 X  2  t 3  0 2(  3  0 )  时， )( tX 对应于随机变量 Y cos(  0 )  Y cos( 2  3  0 ,2 x 对应的雅可比为： 2  ) 3  Y 2 其反函数为 dy dx 根据随机变量函数的概 y  dy dx  ;2 2   J  · fJ Y )2-( x  因此随机变量 X (  2  0 )  0 的分布函数为 xF （ X ,  2  0 XP ｛）  (  2  0 )  x 0 ｝  1 )( xu 2  e )2( x  2 率密度规则，有 12 2   2  0 ,0 )] [(   2  2  2 x e f X 当 t )  2,(  x 3  0  2  0  2  0 ( XP ｛ )  0  ｝ 1 时， )( tX 对应 X 即无论 Y 如何变化， X 始终为 0 ，即 

时， )( tX 的概率密度为  2  0 于是可得，当 t  f X ,( x  2  0 )   )( x )( tX 是随机变量 Y 的函数，如果 cos  0 t 则不为 .0 1 cos | t  0 2 1 x cos 2  0 ] [  t e |2 cos  0 0  ，即 | t | 对任一时刻 y  x cos  0 t ; t ，随机变量 dy dx 1 cos  0  t ; J  f X ),( tx  · fJ 对任意时刻 t |  Y | x cos t  0 cos ，如果  0 t 1( 2 t   k  0 也就是说 1( 2   XP          )   k  0 , thenX )( t  0  )       0        1 因此   xF  X   , 1( 2  k  0  )       ( xu ); f X 1( 2 x ,       k  0  )        )( x 【例 2-2】 设 )( tX  cos(  0  ); t 0 为常数，  为随机变量，其样本空 间为 S  ：｝｛ , ee 2 1 e 1 ,   0 ：； e 2   -  2 。 其出现的概率皆为 1/2，分析在 t 1  0 和 t 2    0 时刻过程 )( tX 的一维和二维概率分布 。 解： 由题意，随机过程 X（t）有两个样本函数。 )( tX 1  cos(  0 ); Xt 2 (t)  cos(  0 t   ) 2 为了便于分析随机过程 )( tX 在不同时期的取之情况 ，首先画出其样本函数 ： 

从图上知， 当 t 1  0 是 )( tX 1 有两个值 10 和 ，且取这两个值的概率 均为 1 2 ；当 t 2    0 tX （时 ）也有两个值 2 0 和 1- 且取这两 个值的概率均为 1 2 ，于是得出随机变量 ( tXtX )( 1 2 ) 的分布律如下 X(t1) P(x1) 1 0.5 0 0.5 X(t2) P(x2) -1 0.5 0 0.5 根据一维随机概率分布函数定义，可以得出 , txF 1 X , txF X (5.0)1 ) xu  1 (5.0)1 xu  ) )   (5.0 xu 1 (5.0 xu ( ( ) 2 1 2 2 2 随机变量 X(t1)和 X(x2)的二维分布律如下： 

X(t 1) X(t2) -1 0 1 0.5 0 0 0 0.5 2 2 2 1 1 , , , , t t ( ( ) )   (5.0 xu 1 (5.0 x  1 二维分布函数和概率密度函数如下： ; txxF 1 X ; txxF 1 X 【例 2-3】设有随机电报过程 X(t，对于任何瞬时 t，样本函数只有“1”和“0”两个值，出现的概率 1 。X(t)从“1”变换为“0”或从“0”变换为“1”的时刻是随机的。在仍一给定的时间段τ内， 2 (5.0)1 , xxu  1 2 (5.0)1 , xx   1 ,1  ,1  x 2 x 皆为 ) ) 2 2 2 变换次数 K 服从泊松分布(K 与 X 独立)即：  kP  ,   k ) (  ! k  e 。λ为单位时间变换的平均数目。X(t) 取值与随机变量 k 是相互统计独立的。试求 X（t）的数学期望与相关函数。 解：随机信号的典型样本函数如下图所示： 离散随机过程 X(t)的数学期望为： ( [ tXE )] 2   i 1  ( xPx i i [·1)  XP (t)  [·0]1 XP (t)  ]0  1 2 X(t)的相关函数为： 2 2 ,( tR i X j i t )   1 1 j   ,1)( ( [·1·1 tX tXP  j i ,1)({ - t tXP t  在 i i j   ; txxPxx i [ , j i j , t i j ] ]1)  内波形作偶次变换 } 由于 X（t）和代表变化次数 k 的随机变量是独立的，且假设 i t t  ，则有： j 

  t i j [   i - ( j ) } i ) k  ( - j e   偶数   i  ,1)({ - } t tXP t t 在 内波形作偶次变换 i j i {}1)({ } kP tXP   为偶次 k )] ([ - t t  1   j ! 2 k ([ t  1{ 1 2 2 1· 1 2 2 1 1[ 4 ( - t   j ! k )   i - t j ! k (    (  e k )] k )] ] e (2  ) e  k  0    - t i ) - t i )  t - t i ) j  e e t i ( - j  t j  ( i t j ] i [ 同样地，可以求得当 jt t i 时的相关函数为： ,( tR i X t j )  1 4 1[  e  (2  t - t i j ) ] 综合以上两种情况，可 得 )( tX 的相关函数为 : t j )  1 4 1[  e  (2  t - t i j ) ] 的协方差函数为： ,( tR X i )( tX ( tmtm )( i X X ) j  1 4 1[  e  -|2 t  i t | j ] ,( tK i X t j )  ,( tR i X t j )  考点：无穷级数的计算