2017年重庆理工大学数理统计考研真题A卷.doc

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2017 年重庆理工大学数理统计考研真题 A 卷一、简答与证明（共 30 分）设 1 , x x 2 , x 来自总体为 , 16 N  的样本。 (0, ) 2 1.给出 2 分布与正态分布的关系，并利用此关系证明： 16  ( 2 2 x  i )/ i 1  服从 2 分布，并指出该分布的自由度。（10 分） 2.利用 F 分布与 2 分布的关系，证明：并计算 ( P Y  。 1) Y  2 x 1 2 x 9   2 x 2 2 x 10       2 x 8 2 x 16 ~ (8,8) F （10 分）

3.令 2 S  k 16  x ( i i 1  2 x ) 为 2 的无偏估计，求 k ；并给出 2 15S 2  的分布（不证明），利用 t 分布、正态分布、 2 分布的关系，证明： 4 x S  t (15) （10 分）二、计算题（共 60 分） 1.（40 分）设 1 , x x 2 , x 来自总体为 , n ( ; p x )  ,  1     0    x   e , x   , , x   (   0) 的样本。（1）当 0 的时候，求的极大似然估计  MLE ，并判断  MLE 是否为的无偏估计。（15 分）（2）当 0 的时候，求的 Fisher 信息量 ( ) I  ，给出的无偏估计的 C-R 下界。（7 分）（3）当 1 的时候，求的最大似然估计  MLE ，并给出  MLE 的密度函数。（10 分）（4）有三个不同的估计  ,   的时候，若三个都为无偏估计，怎样判 , 1 2 3   断其优劣，若至少有一个不是无偏估计的时候，怎样判断其优劣，给出你的方法。（6 分）（5）当 0 的时候，对于假设检验问题： 0 H :   0  vs H :   0  ， 1 给出拒绝域的形式，不用计算。（2 分）

2.（20 分）设 1 , x x 2 , x 来自总体为 , n N  的样本，已知 2 16  ( ) 2 , 显著性水平 0.05 ， H （1）对于假设检验问题： 0 :   8 vs H : 1   ，给出检验统计量， 8 并给出拒绝域，当 64 n  ，样本均值为 7.8 的时候，是否拒绝原假设。（10 分）（2）给出的1  双侧置信区间，并给出假设检验问题： H 0 :   0  vs H : 1   0  的拒绝域，说明两者的关系。（10 分）三、应用题（共 40 分） 1.（20 分）某厂使用两种不同的原料 A、B 生产同一类型产品，随机选择使用原料 A 生产的样品 22 件，测得平均质量为 2.36（kg），样本标准差为 0.57（kg），取使用原料 B 生产的样品 24 件，测得平均质量为 2.55（kg）, 样本标准差为 0.48（kg），设产品质量服从正态分布，两样本独立。（1）若有经验说明，两总体方差相等，在 0.05 时候，问能否认为使用原材料 B 生产的平均质量较使用原料 A 生产的平均质量显著大。（10 分）（2）若对于两总体方差没有任何的经验信息，怎样检验两总体均值是否有显著差异？给出你的方法。（10 分）

2.（20 分）某厂有四个车间生产同一种产品，为了考查四个车间产品中某元素含量是否一致，特在每个车间生产的产品中各抽取相同数量的样品进行测量，结果如下：车间 A1 A2 A3 某元素含量（%） 2.84 2.95 2.73 3.18 3.04 2.90 3.08 2.98 3.18 3.26 3.48 3.35 3.30 3.06 3.24 3.41 2.99 3.10 3.19 3.27 2.86 3.13 3.04 2.94 2.96 A4 （1）假定数据满足方差分析的条件，给出总偏差平方和 TS ，因子平方和 AS 3.18 3.06 3.24 3.36 3.11 3.15 3.30 和误差平方和 eS 的计算公式及其之间的关系。（8 分）（2）在（1）的条件下，完成下表（6 分）来源因子 A 误差 e 总和 T 方差分析表平方和自由度均方 F 比 5081.5 9685.875 ---- --- --- --- （3）比较各车间产品中元素含量的均值有无显著差异。 0.05 （4 分）（4）给出总体方差的无偏估计量。（2 分）

四、案例分析（20 分）高老师为了解 08 级统一班同学毕业四年后收入情况，在班级群里发出消息，调查班上同学现在的年收入情况，该班毕业 31 人，群里有 28 人，有 13 人回复，具体回复如下：同学 1：年收入 10 万，税前；同学 2：年 20 万同学 3：年收入 5 万，税后；同学 4：月净收入 3200，公积金 850，年终绩效 2.4 万，无其他收入；同学 5：10.4 万；同学 6：4.5 万；同学 7：15—20 万同学 8：约 15 万；同学 9：5-6 万；同学 10：7 万同学 11：10-12 万；同学 12：约 17 万；同学 13：80,000。（1）对调查数据，我们一般需要进行一些预处理（如数据的单位是否一致、是否同一种类型数据、是否具有可比性、是否有缺失值、是否奇异值等），请对上述实际调查数据进行预处理，形成结构化的数据表（行表示样本，列表示年收入），以便后续的统计分析。（10 分）（2）利用处理后的数据，可以进行哪些描述性统计分析来对该班同学的年收入进行评价。（5 分）（3）若该班第 14 位同学的年税后收入为 200 万，能否用平均值来描述收入分布的特征？若不妥，请给出更好的数字特征。（5 分）试题可能用到：   u  0.2755  0.0911 0.302, 2816.57 t 0.95 t 0.95 F 0.975 F 0.95 (44) 1.645,  (155,73) 1.5, F  0.025 (4,27) 2.95, (3,28) F 0.95  0.525, 0.2881 0.537, 0.08712 0.295,  53.071, 0.019924  (228) 1.96, F 0.975 0.975 (21,23) 0.420, F 0.025 1.96.    2.73,  u 0.975 0.141,   2.340, (21,23) (155,73) 0.68  ,

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