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经典算法50例.doc
1.汉诺塔
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.背包问题（Knapsack
14.蒙地卡罗法求 PI
15.Eratosthenes筛选
16.超长整数运算（大数运算）
17.长 PI
18.最大公因数、最小公倍数、因式
19.完美数
20.阿姆斯壮数
21.最大访客数
22.中序式转后序式（前序式）
23.后序式的运算
24.洗扑克牌（乱数排列）
25.Craps赌博游戏
26.约瑟夫问题（Josephus
27.排列组合
28.格雷码（Gray Code）
29.产生可能的集合
30.m元素集合的n个元素子集
31.数字拆解
32.得分排行
33.选择、插入、气泡排序
34.Shell 排序法 - 改良
35.Shaker 排序法 - 改
36.排序法 - 改良的选择排序
37.快速排序法（一）
38.快速排序法（二）
39.快速排序法（三）
40.合并排序法
41.基数排序法
42.循序搜寻法（使用卫兵）
43.二分搜寻法（搜寻原则的代表）
44.插补搜寻法
45.费氏搜寻法
46.稀疏矩阵
47.多维矩阵转一维矩阵
48.上三角、下三角、对称矩阵
49.奇数魔方阵
50.4N 魔方阵
51.2(2N+1) 魔方阵
1.汉若塔.......................................................................................................................................................... 2
2.费式数列 ...................................................................................................................................................... 2
3. 巴斯卡三角形 ............................................................................................................................................ 3
4.三色棋.......................................................................................................................................................... 4
5.老鼠走迷官（一）...................................................................................................................................... 5
6.老鼠走迷官（二） ...................................................................................................................................... 7
7.骑士走棋盘.................................................................................................................................................. 8
8.八皇后.........................................................................................................................................................11
9.八枚银币 .................................................................................................................................................... 12
10.生命游戏 .................................................................................................................................................. 14
11.字串核对 ...................................................................................................................................................16
12.双色、三色河内塔 .................................................................................................................................. 18
13.背包问题（Knapsack Problem）............................................................................................................21
14.蒙地卡罗法求 PI.....................................................................................................................................25
15.Eratosthenes 筛选求质数.........................................................................................................................26
16.超长整数运算（大数运算） ..................................................................................................................27
17.长 PI .........................................................................................................................................................29
18.最大公因数、最小公倍数、因式分解 ..................................................................................................31
19.完美数...................................................................................................................................................... 34
20.阿姆斯壮数.............................................................................................................................................. 36
21.最大访客数.............................................................................................................................................. 37
22.中序式转后序式（前序式） ..................................................................................................................39
23.后序式的运算 .......................................................................................................................................... 42
24.洗扑克牌（乱数排列） .......................................................................................................................... 43
25.Craps 赌博游戏........................................................................................................................................45
26.约瑟夫问题（Josephus Problem） .........................................................................................................47
27.排列组合 .................................................................................................................................................. 48
28.格雷码（Gray Code） .............................................................................................................................49
29.产生可能的集合...................................................................................................................................... 51
30.m 元素集合的 n 个元素子集..................................................................................................................54
31.数字拆解 .................................................................................................................................................. 55
32.得分排行 .................................................................................................................................................. 57
33.选择、插入、气泡排序 .......................................................................................................................... 59
34.Shell 排序法 - 改良的插入排序.......................................................................................................... 62
35.Shaker 排序法 - 改良的气泡排序........................................................................................................64
36.排序法 - 改良的选择排序.....................................................................................................................66
37.快速排序法（一） .................................................................................................................................. 69
38.快速排序法（二） .................................................................................................................................. 71
39.快速排序法（三） .................................................................................................................................. 72
40.合并排序法.............................................................................................................................................. 75
41.基数排序法.............................................................................................................................................. 77
42.循序搜寻法（使用卫兵）...................................................................................................................... 79
43.二分搜寻法（搜寻原则的代表） ..........................................................................................................81
44.插补搜寻法.............................................................................................................................................. 83
45.费氏搜寻法.............................................................................................................................................. 85
46.稀疏矩阵 .................................................................................................................................................. 88
47.多维矩阵转一维矩阵.............................................................................................................................. 90
48.上三角、下三角、对称矩阵 ..................................................................................................................91
49.奇数魔方阵.............................................................................................................................................. 93
50.4N 魔方阵............................................................................................................................................... 94
51.2(2N+1) 魔方阵...................................................................................................................................... 96
1
1.汉诺塔
说明河内之塔(Towers of Hanoi)是法国人M.Claus(Lucas)于1883年从泰国带至法国的，河内为越战时北越的首都，即现在的胡
志明市；1883年法国数学家 Edouard Lucas曾提及这个故事，据说创世纪时Benares有一座波罗教塔，是由三支钻石棒（Pag）
所支撑，开始时神在第一根棒上放置64个由上至下依由小至大排列的金盘（Disc），并命令僧侣将所有的金盘从第一根石棒移
至第三根石棒，且搬运过程中遵守大盘子在小盘子之下的原则，若每日仅搬一个盘子，则当盘子全数搬运完毕之时，此塔将
毁损，而也就是世界末日来临之时。
解法如果柱子标为ABC，要由A搬至C，在只有一个盘子时，就将它直接搬至C，当有两个盘子，就将B当作辅助柱。如果盘
数超过2个，将第三个以下的盘子遮起来，就很简单了，每次处理两个盘子，也就是：A->B、A ->C、B->C这三个步骤，而被
遮住的部份，其实就是进入程式的递回处理。事实上，若有n个盘子，则移动完毕所需之次数为2^n - 1，所以当盘数为64时，
则所需次数为：264- 1 = 18446744073709551615为5.05390248594782e+16年，也就是约5000世纪，如果对这数字没什幺概念，
就假设每秒钟搬一个盘子好了，也要约5850亿年左右。
#include
void hanoi(int n, char A, char B, char C) {
if(n == 1) {
printf("Move sheet %d from %c to %c\n", n, A, C);
}
else {
hanoi(n-1, A, C, B);
printf("Move sheet %d from %c to %c\n", n, A, C);
hanoi(n-1, B, A, C);
}
}
int main() {
int n;
printf("请输入盘数：");
scanf("%d", &n);
hanoi(n, 'A', 'B', 'C');
return 0;
}
2.费式数列
说明
Fibonacci为1200年代的欧洲数学家，在他的着作中曾经提到：「若有一只免子每个月生一只小免子，一个月后小免子也开始生
产。起初只有一只免子，一个月后就有两只免子，二个月后有三只免子，三个月后有五只免子（小免子投入生产）......。
如果不太理解这个例子的话，举个图就知道了，注意新生的小免子需一个月成长期才会投入生产，类似的道理也可以用于植
物的生长，这就是Fibonacci数列，一般习惯称之为费氏数列，例如以下： 1、1 、2、3、5、8、13、21、34、55、89......
2
解法
依说明，我们可以将费氏数列定义为以下：
fn = fn-1 + fn-2
fn = n
#include
#include
if n > 1
if n = 0, 1
#define N 20
int main(void) {
int Fib[N] = {0};
int i;
Fib[0] = 0;
Fib[1] = 1;
for(i = 2; i < N; i++)
Fib[i] = Fib[i-1] + Fib[i-2];
for(i = 0; i < N; i++)
printf("%d ", Fib[i]);
printf("\n");
return 0;
}
3. 巴斯卡三角形
#include
#define N 12
long combi(int n, int r){
int i;
long p = 1;
for(i = 1; i <= r; i++)
3
p = p * (n-i+1) / i;
return p;
}
void paint() {
int n, r, t;
for(n = 0; n <= N; n++) {
for(r = 0; r <= n; r++) {
int i;/* 排版设定开始 */
if(r == 0) {
for(i = 0; i <= (N-n); i++)
printf("
");
}else {
printf("
");
} /* 排版设定结束 */
printf("%3d", combi(n, r));
}
printf("\n");
}
}
4.三色棋
说明
三色旗的问题最早由E.W.Dijkstra所提出，他所使用的用语为Dutch Nation Flag(Dijkstra为荷兰人)，而多数的作者则使用
Three-Color Flag来称之。
假设有一条绳子，上面有红、白、蓝三种颜色的旗子，起初绳子上的旗子颜色并没有顺序，您希望将之分类，并排列为蓝、
白、红的顺序，要如何移动次数才会最少，注意您只能在绳子上进行这个动作，而且一次只能调换两个旗子。
解法
在一条绳子上移动，在程式中也就意味只能使用一个阵列，而不使用其它的阵列来作辅助，问题的解法很简单，您可以自己
想像一下在移动旗子，从绳子开头进行，遇到蓝色往前移，遇到白色留在中间，遇到红色往后移，如下所示：
只是要让移动次数最少的话，就要有些技巧：
如果图中W所在的位置为白色，则W+1，表示未处理的部份移至至白色群组。
如果W部份为蓝色，则B与W的元素对调，而B与W必须各+1，表示两个群组都多了一个元素。
如果W所在的位置是红色，则将W与R交换，但R要减1，表示未处理的部份减1。
注意B、W、R并不是三色旗的个数，它们只是一个移动的指标；什幺时候移动结束呢？一开始时未处理的R指标会是等于旗
子的总数，当R的索引数减至少于W的索引数时，表示接下来的旗子就都是红色了，此时就可以结束移动，如下所示：
#include
#include
#include
#define BLUE 'b'
#define WHITE 'w'
4
#define RED 'r'
#define SWAP(x, y) { char temp; \
temp = color[x]; \
color[x] = color[y]; \
color[y] = temp; }
int main() {
char color[] = {'r', 'w', 'b', 'w', 'w',
'b', 'r', 'b', 'w', 'r', '\0'};
int wFlag = 0;
int bFlag = 0;
int rFlag = strlen(color) - 1;
int i;
for(i = 0; i < strlen(color); i++)
printf("%c ", color[i]);
printf("\n");
while(wFlag <= rFlag) {
if(color[wFlag] == WHITE)
wFlag++;
else if(color[wFlag] == BLUE) {
SWAP(bFlag, wFlag);
bFlag++; wFlag++;
}
else {
while(wFlag < rFlag && color[rFlag] == RED)
rFlag--;
SWAP(rFlag, wFlag);
rFlag--;
}
}
for(i = 0; i < strlen(color); i++)
printf("%c ", color[i]);
printf("\n");
return 0;
}
5.老鼠走迷官（一）
说明老鼠走迷宫是递回求解的基本题型，我们在二维阵列中使用2表示迷宫墙壁，使用1来表示老鼠的行走路径，试以程式
求出由入口至出口的路径。
5
解法老鼠的走法有上、左、下、右四个方向，在每前进一格之后就选一个方向前进，无法前进时退回选择下一个可前进方
向，如此在阵列中依序测试四个方向，直到走到出口为止，这是递回的基本题，请直接看程式应就可以理解。
#include
#include
int visit(int, int);
int maze[7][7] = {{2, 2, 2, 2, 2, 2, 2},
{2, 0, 0, 0, 0, 0, 2},
{2, 0, 2, 0, 2, 0, 2},
{2, 0, 0, 2, 0, 2, 2},
{2, 2, 0, 2, 0, 2, 2},
{2, 0, 0, 0, 0, 0, 2},
{2, 2, 2, 2, 2, 2, 2}};
int startI = 1, startJ = 1;
int endI = 5, endJ = 5;
int success = 0;
// 入口
// 出口
int main(void) {
int i, j;
printf("显示迷宫：\n");
for(i = 0; i < 7; i++) {
for(j = 0; j < 7; j++)
if(maze[i][j] == 2)
printf("█");
else
printf("
");
printf("\n");
}
if(visit(startI, startJ) == 0)
printf("\n没有找到出口！\n");
else {
printf("\n显示路径：\n");
for(i = 0; i < 7; i++) {
for(j = 0; j < 7; j++) {
if(maze[i][j] == 2)
printf("█");
else if(maze[i][j] == 1)
printf("◇");
else
printf("
");
}
printf("\n");
}
}
6
return 0;
}
int visit(int i, int j) {
maze[i][j] = 1;
if(i == endI && j == endJ)
success = 1;
if(success != 1 && maze[i][j+1] == 0) visit(i, j+1);
if(success != 1 && maze[i+1][j] == 0) visit(i+1, j);
if(success != 1 && maze[i][j-1] == 0) visit(i, j-1);
if(success != 1 && maze[i-1][j] == 0) visit(i-1, j);
if(success != 1)
maze[i][j] = 0;
return success;
}
6.老鼠走迷官（二）
说明由于迷宫的设计，老鼠走迷宫的入口至出口路径可能不只一条，如何求出所有的路径呢？
解法求所有路径看起来复杂但其实更简单，只要在老鼠走至出口时显示经过的路径，然后退回上一格重新选择下一个位置
继续递回就可以了，比求出单一路径还简单，我们的程式只要作一点修改就可以了。
#include
#include
void visit(int, int);
int maze[9][9] = {{2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2},
{2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2},
{2, 0, 2, 2, 0, 2, 2, 0, 2},
{2, 0, 2, 0, 0, 2, 0, 0, 2},
{2, 0, 2, 0, 2, 0, 2, 0, 2},
{2, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 2},
{2, 2, 0, 2, 2, 0, 2, 2, 2},
{2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2},
{2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2}};
int startI = 1, startJ = 1;
int endI = 7, endJ = 7;
// 入口
// 出口
int main(void) {
int i, j;
7
printf("显示迷宫：\n");
for(i = 0; i < 7; i++) {
for(j = 0; j < 7; j++)
if(maze[i][j] == 2)
printf("█");
else
printf("
");
printf("\n");
}
visit(startI, startJ);
return 0;
}
void visit(int i, int j) {
int m, n;
maze[i][j] = 1;
if(i == endI && j == endJ) {
printf("\n显示路径：\n");
for(m = 0; m < 9; m++) {
for(n = 0; n < 9; n++)
if(maze[m][n] == 2)
printf("█");
else if(maze[m][n] == 1)
else
printf("◇");
printf("
");
printf("\n");
}
}
if(maze[i][j+1] == 0) visit(i, j+1);
if(maze[i+1][j] == 0) visit(i+1, j);
if(maze[i][j-1] == 0) visit(i, j-1);
if(maze[i-1][j] == 0) visit(i-1, j);
maze[i][j] = 0;
}
7.骑士走棋盘
说明骑士旅游（Knight tour）在十八世纪初倍受数学家与拼图迷的注意，它什么时候被提出已不可考，骑士的走法为西洋棋
的走法，骑士可以由任一个位置出发，它要如何走完[所有的位置？
解法骑士的走法，基本上可以使用递回来解决，但是纯綷的递回在维度大时相当没有效率，一个聪明的解法由J.C. Warnsdorff
8
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