武汉理工大学数值分析试题.doc-资料库

武汉理工大学考试试题纸（ A 卷）课程名称数值分析专业班级信息专业题号一二三四五六七八九十总分题分 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 100 备注: 学生不得在试题纸上答题(含填空题、选择题等客观题) 1、已知 ( 1)   f 2, f (1) 1,  f (2) 1  ，求 ( ) f x 的 Lagrange 插值多项式。 2、已知列表函数 y  ( ) f x ： x y 1 0 2 －5 3 －6 4 3 试求满足上述插值条件的 3 次 Newton 插值多项式 3( ) p x 3、已知函数 y  ( ) f x 的数值表 x y 0 1 1 2 2 17 3 64 x  和 2.5 x  时， ( ) f x 的近似值。试分别求出 ( ) f x 的三次 Newton 向前和向后插值公式；并分别计算 0.5 1 1    3 3  ，计算 A 的各种范数。    4、设 A 5、计算矩阵 A     3 2 2 3.0001    的条件数 Cond( )A . 1 6、分别写出方程组 10 x x    2 1   10 x x  2 1   x x   2 1 2 x  3 2 x  3 5 x  3 7.2 8.3  4.2 的 Jacobi 迭代格式和 Gauss-Seidel 迭代格式。 7、用 Newton 迭代法求方程 )( xf  3 x  2 x  05 的根，要求 | x k  1 x  k |  10  6 . xfh )(  0 dx  fA 0 )0(  )( hfA 1  fA 2  )0( 使其具有尽可能高的代数精度。，利用复化梯形公式 nT 计算 I 的近似值，要使  nTI  1 10 2 3 ， n 应取多少？ 8、试确定求积公式 sin dx 9、设  1 x 并计算 nT . x I 0 10、确定 1 x x A A ，使下面公式成为 Gauss 型求积公式 , , , 2 1 2 1  0 ( ) d f x x ( x A f x 1  1 )  ( A f x 2 2 )

武汉理工大学教务处试题标准答案及评分标准用纸课程名称高等数学（下）（ A 卷） x 1、设 0   1, x 1  1, x 2  2, y 0  2, y 1  1, y 2  ，则 1 ( ) l x 0  ( ) l x 1  ( ) l x 2  ) ) ( )( x x x x   1 2 ( )( x x x x   0 0 1 2 ( )( ) x x x x   0 2 ( )( ) x x x x   1 1 0 2 ( )( ) x x x x   0 1 )( x x x x   2 2 0 1 ( )    1)( ( 2) x x   ( 1 1)( 1 2)     2) ( 1)( x x   (1 1)(1 2)   ( 1) x x   (2 1)(2 1)   1)(     1 6 1 2 ( 1 3 ( x 2  1). ( x 2  3 x  2), x 2   x 2), 故所求插值多项式为 ( ) p x 2  ( ) y l x 0 0  ( ) y l x 1 1  ( ) y l x 2 2  1 6 2 ( x  3 x  8) . 2、造差商表 0 x 1 1 x 2 0 y 0 y 1 5 2 x 3 y 2 6 3 x 4 3 y 3 [ 5 f x x   ] , 0 1 [ 1 f x x   ] , 1 2 [ ] 9 f x x  , 2 3 [ f x x x  ] 2 , , 0 1 2 [ ] 5 f x x x  , , 1 2 3 [ ] 1 f x x x x  , , , 0 3 1 2  ( ) p x 3 则所求 3 次 Newton 插值多项式为 ( [ , ) ]( f x x f x x   0 1 ]( , , [ , f x x x x x   2 3 0 1 1)( 1) 2( 0 5( x x      4 3 2 3 x x    3、造向前和向后差分表 0 , [ , ) ]( x f x x x x  0 1 0 2 )( )( ) x x x x x   0 1 2 2) 1 ( 1)( x x      x 0 )( x  x 1 ) x  2)( x  3) x  0 0 1 1 x  x  2 2 x  3 3 y  0 1 y  1 2 y  2 17 y  3 64 则所求三次 Newton 向前插值公式为  y 0 (    y 1 ) 5 y    1 ) 15 y ( 2  y 2 (   ) 47 y 3 2  y 0 2 (  y 1 ) 14  2  y 1 2 (  y 2 ) 32  3  y 0 3 (  y 3 ) 18  ( ) p x 3 ( t t 1)  2! 1)     0 0 y y  t 1! 1 1     t 1! 1 2 t   2  3 3 t ( t t  2! 2  y 14  1)( t 3! 2)   0 ( t t ( t t   1)( t 3!  2)  3 y 0  18 x  0.5  x 0  th h , 1    ， 0.5 t f (0.5) p 3 (0.5) 0.875  . 所求三次 Newton 向后插值公式为

47    y 3   y 3 64 ( ) p x  3 t 1! t   1! 64 69 t   1 0.5     ， 3 , 1 3} 4;  t   2      1) 1) ( t t y 3 32  2! ( t t  2! 3 25 t t  (2.5) p f max{1 1, A    2 3 3 ( t t  ( t t  1)( t 3! 1)( t 3!  2)  3 y 3  2)  18 (2.5) 35.375  . 3 3} 6    ； x  4、 th h 3 x  2.5 ,  1 max{1  A   EA  T A A  2 [1 1   1  2 2 1 2 2 3 ] 1 3     1 1 3      3 3 3        2 5; 20   10 8    8 10   T A A  I   10   8  8  10    (   2 10)  2 8  2   20   36 (    18)(   2) 得 TA A 的两个特征值 1  3 2 A  m 18   2 .  18,  2 2  . m  max{ ,   1 2 } max{18, 2} 18   ，故 5、 A     3 2 2 3.0001    ， A  1 max{ 2  2 , 3  3.0001} 6.0001  ；  1 A  1 A    3.0001  2 3  2     1 0.0001 3.0001  2    3  2     30001 20000     30000  20000    ， A Cond( ) A 1 1 1 max{30001  A A   1 1 1   20000 ,  30000  20000} 50001  ； 6.0001 50001 300011.0001   . 6、从方程组(4.5)中分离出 1 x x x ： , , 2 3 0.72 0.83 0.84       0.2 0.2 0.2 x 3 x 3 x 2 0.72  0.83  0.84  0.72 0.83  1) 0.84    ) k ) ) k      ( k 0.1 x  2 ( 0.1 x  1 ( 0.2 x  1 ( k 0.1 x 2 ( 0.1 x 1 ( 0.2 x 1  3)( x  k k k )    f ) ) ) ) k k k    0.1 x 2 0.1 x 1 0.2 x 1 x 1 x 2 x 3 ( 0.2 x  3 ( 0.2 x  3 ( 0.2 x  2 ( k 0.2 x 3 ( 0.2 x  3 ( 0.2 x  2 2 ) ) 3  x ( f x k  ( f x  ) k k  1)  1)  1)  1)  1)  k k k k (  x 1  ( x  2  ( x  3 (  x 1  ( x  2  ( x  3 05  k k 1)  1)  1)  据此建立 Jacobi 迭代公式及 Gauss-Seidel 迭代公式 7、 )( xf  3 x  2 x x k 1   x k  ，据此建立 Newton 迭代公式 x k  x 3 2  k 2 3 x k x k   2 5 , k  0,1, 

取 0 x 5.1 迭代结果列于下表中。 k 0 1 2 3 4 kx 1.5 1.34285714 1.32838414 1.32826886 1.32826886 x k x  1 k 0.157143 0.014473 0.000115 8 7.261620 10  由表结果知 4 x .1 32826886 是 *x 的满足条件的近似值 8、这里有三个待定常数 AAA 0 2 , , 1 ，将 ,1)( xf  x , 2 x 代入，得 Ah 0   A 1 , 2 h 2  AhA 2 1  , 3 h 3  2 hA 1 , . 于是 dx   )(2 hf  fh  )]0( . 0 xfh  )( 1 h 4 4 h )0(4[ f 6 1 h 3 4  时，(2.6)的左边，右边 . 故求积公式的最高代数精度 2d . A 2  2 h 6 解得 A 0  2 3 h , A 1  直接验证，当 )( xf 9、因为 )( xf  3 , h 3 x sin x x 1  0 cos( xt ) dt ，所以 f ( k ) )( x  故 f ( k ) )( x  1 0  k d dx k (cos( xt )) dt  1 0  k t cos( xt  k  ) 2 dt , 1 0  k t cos( xt  k  ) 2 dt  1  0 k t dt  1  . 1 k (1) 0a ， 1b ，要使 nT 满足误差要求，由式(4.2)，只需 , ( TfR n )  f  T n  3 )01(  2 12 n  )( f  1 12 n 2  1 12   1 36 n 2  1 2  3 10 ，即 2 n .55 55556 ，亦即 .7n 45356 ，故应取 8n . 则步长 h  1 8 ，相应地取 9 个节点，见表 x 0 1/8 2/8 3/8 4/8 用复化梯形公式得 )(xf 1.0000000 0.9973978 0.9896158 0.9767267 0.9588510 x 5/8 6/8 7/8 1 ab  n )(xf 0.9361556 0.9088516 0.8771925 0.8414709

T 8 1 82   .01[ .0 .0 8414709 9767267 9088516      .0(2 .0 9588510 8771925 .0 9973978 .0   )] 9361556 .0 9456909 .  .0 9896158 10、因为两点 Gauss 型求积公式具有 2 n      次代数精度，所以 1 2 2 1 3 当 ( ) 1, f x  , x x 2 , 3 x 时，上述两点 Gauss 型求积公式应准确成立，由此得： x 1 0 3 2 x 5 2 x 7 2 x             2 2 3 2 5 2 7   2 A A 1 2  , 1 0 1 0 1 0    2 3 2 5 2 7  A x 1 1  A x 2 2 ,  2 A x 1 1  2 A x 2 2 ,  3 A x 1 1  3 A x 2 2 , 解得             x 1 x 2     3 7 3 7 A 1 1   A 2 1   2 6 , 7 5 2 6 , 7 5 1 5 3 6 1 5 3 6 , 解法二因为上述两点 Gauss 型求积公式的 Gauss 点 1 ,x x 是[0, 1] 上以 ( ) 1   x 2 x 为权函数的某 2 次正交多项式 2( ) p x 的零点，不妨设 2 ( ) p x  ( x  x 1 )( x  x 2 ) . 于是 1  0 1  0      1 x 1 x 1 (   x  x 1 )( x  x 2 ) d x   0 x   ( x  x 1 )( x  x 2 ) d x   0 ( 1 3 1 5 x 1  x 2 )  x x 1 2  1 5 , ( x 1  x 2 )  1 3 x x 1 2  1 7 x 解得 1   3 7 2 6 7 5 , x 2   3 7 再令 ( ) 1, f x  x ，则 1  0 2 6 7 5 ( ) d f x x . ( x A f x 1  1 )  ( A f x 2 2 ) 准确成立，即 x 1 0 3 2 x       2 2 3   2 A A 1 2  , 1 0  2 3  A x 1 1  A x 2 2  A 1     3 7  2 6 7 5      A 2     3 7  2 6 7 5     A 解得 1 1   1 5 3 6 , A 2 1   1 5 3 6 .

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