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数值分析插值法实验报告.doc
成都信息工程大学计算机学院
数值分析实验报告
插值法实验
姓
学
班
名：
号：
级：
完成日期：
任课教师：
张健
2015051122
计算机应用 152 班
2018 年 3 月 21 日
陈俊副教授
1
实验一 插值法实验
一、 实验目的
1.用 多 项 式 插 值 法 问 题 进 行 模 拟 和 预 测 ；
2 比 较 用 不 同 次 数 的 插 值 多 项 式 对 问 题 进 行 预 测 的 效 果 ；
3 根 据 (2)中 比 较 的 结 果 说 明 用 多 项 式 插 值 对 问 题 进 行 预 测 的 局 限 性 。
二、 实验题目
1.用表 1-1 中的世界人口统计数值估计 1980 年的人口
表 1-1
年
1960
1970
1990
2000
人口
3 039 585 530
3 707 475 887
5 281 653 820
6 079 603 571
要求:
(a) 采用经过 1970 和 1990 年估计值的直线；
(b) 经过 1960 年、1970 年以及 1990 年估计值的抛物线；
(c) 经过全部 4 个数据点的三次曲线。
并分别与 1980 年的人口估计值 4 452 584 592 进行比较。
2. 世界石油产量以每天百万桶计，如表 1-2 所示。估计 2010 年的石油产量。
(a) 采用线性插值；
(b) 采用经过全部数据点的 9 次多项式。
在这个例子里，哪个 2010 年石油产量的估计值是更合理。你以为插值多项式是数据的好
模型吗？请解释之.
年
1994
1995
1996
1997
1998
表 1-2
桶/天(×106)
67.052
68.008
69.803
72.024
73.400
年
1999
2000
2001
2002
2003
桶/天(×106)
72.063
74.669
74.487
74.065
76.777
三、 实验原理
1. 拉 格 朗 日 插 值
在 实 际应 用 中 ，一 般 采用 基 函 数 法 来构 造 插 值 函数 。将n次 拉 格朗 日 插 值 多 项式
2
用 ( )
nL x 来 记。设
( )
L x
n
( )
l x y
0
0
( )
l x y
1
1
( )
l x y
n
n
待 定 的n次 多 项式 。
，其 中 0
l x
( ) ,
( ) ,
l x
1
( )
l x
,
n
是
由 于 ( )
nL x 要 满 足插 值 条 件 (
L x
i
n
1
j
0
j
(
l x
i
)
j
)
y
i
(
i
0,1,
,
n
)
， 自 然地 求
i
i
(
i
,
j
0,1,
,
n
)
,
,
,
,
x
,
x
,
x
x
1
1
i
(
A x
x
显 然 ， 0
1
i
( )
l x
i
是 ( )
)
il x 的 零 点， 于 是
x
x
1
i
由 于 这一 多 项 式 已 经是n次 的 ，这 里 的 A 为 待 定常 数 。
利 用 条件 (
l x ， 可 得
i
) 1
(
n
)(
)(
x
i
x
0
x
x
x
1
i
)
(
x
x
n
)
1
A
(
x
i
x
0
)(
x
i
x
1
)
(
x
i
1
x
i
)(
x
i
x
i
1
)
(
x
i
x
n
)
1
于 是
( )
l x
i
(
x
i
)(
x
x
x
0
)(
x
x
0
i
)
(
x
x
1
)
(
x
x
1
i
(
x
i
x
i
1
1
)
)(
x
)(
x
i
x
1
i
x
i
1
(
)
x
(
x
i
)
x
n
x
n
)
(1)在 计 算机 上 构 造 拉 格朗 日 插 值 多 项式 ， 采 用 以 下式 子 进 行 编 程
( )
l x
i
n
x
x
i
j
j
0
i
x
j
x
j
(
i
0 ,1,
,
n
)
( )
L x
n
(2)Lagrange插 值 法 计 算 的程 序 框 图
n
i
0
( )
l x y
i
i
3
输入xi，yi,x, N
k=0,y=0
t =1
t
j
x
x
k
,
0,
Y
x
j
x
k
j
*
t
N
1,
k
1,
N
y= y+t*yk
k=k+1
k>N
Y
输出y
N
2. 牛 顿 插 值
学 生 补 充 牛 顿 插 值 法 原 理 和 流 程 图 (或 者 方 法 伪 代 码 )
function c = newtoninterp(xi,yi)
n = length(xi);
for i = 1:n
for j = 1:n
t(i,j) = 0;
end
end
for j = 1:n
t(j,1) = yi(j);
end
for i = 2:n
4
for j = i:n
t(j,i) = (t(j,i -1) - t(j - 1,i - 1))/(xi(j) - xi(j - i + 1));
end
end
for i = 1:n
c(i) = t(i,i);
end
end
四、 实验内容与结果
实验题目 1
(1) 程序代码：
function v = Lagrange(x,y,u)
n = length(x);
v = zeros(size(u));
for k = 1:n
w = ones(size(u));
for j = [1:k-1 k+1:n]
w = (u - x(j))./(x(k) - x(j)).*w;
end
v = v + w * y(k);
end
end
x=[1960,1970,1990,2000];
y=[3039585530,3707475887,5281653820,6079603571];
xi=1980
poly=LagrangePoly(x,y)
5
yi=subs(poly,'t',xi)
plot(x,y,'o',xi,yi,'*');
plot(x,y,'o',xi,yi,'*',x,y);
(2) 计算结果、图与分析
图 1
分析：如图 1，得到了 1980 年的人口数量，大约为 4.5 亿，与所给的数据趋势大致
拟合，就具有很好的参考价值。说明说选择的方法是在大体上是正确的。
实验题目 2
(1) 程序代码
x=1994:1:2003
xi=2004:1:2010
y=[67.052,68.008,69.803,72.024,73.400,72.063,74.669,74.487,74.065,76.777]
yi=Lagrange(x,y,xi)
6
plot(x,y,'o',xi,yi,'*');
(2) 计算结果、图与分析
图 2
分析：如图 2 所示，得到的数据急剧的下降，并且出现了负值，这是不正确的，这
说明了在这道题的背景下，选用拉格朗日的插值是不合理的，应该改选其他的插值
方法来解决问题。
7
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