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2005年浙江高考文科数学真题及答案.doc
2005 年浙江高考文科数学真题及答案
第Ⅰ卷 (选择题共 50 分)
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是最符合题目要求的。
1．函数
y
sin(
2
x
A．
2
6
）的最小正周期是
B．
C．2
D． 4
（
）
2．设全集 U= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, P = {1, 2, 3, 4, 5}, Q = {3, 4, 5, 6, 7}, 则
P∩（ UQ）=（
）
A． {1, 2 }
C．{1, 2, 6, 7 }
B．{3, 4, 5 }
D．{1, 2, 3, 4, 5 }
3．点（1，－1）到直线
x
01 y
的距离是
（
）
（
）
A．
1
2
B．
3
2
4．设
)(
xf
|
x
|1
|
x
|,
则
f
[
f
1(
2
)]
A．－
5．在
1(
1
2
)
x
B．0
C．
2
2
C．
1
2
D．
23
2
D．1
5
1(
6
x
)
的展开式中，含 3x 的项的系数是
（
）
A．－5
B．5
C．－10
D．10
6．从存放号码分别为 1，2，…，10 的卡片的盒片中，有放回地取 100 次，每次取一张卡片
并记下号码，统计结果如下：
卡片号码
1
取到的次数 13
2
8
3
5
4
7
5
6
6
13
7
18
8
10
9
11
则取到号码为奇数的频率是
A．0.53
B．0.5
C．0.47
D．0.37
10
9
（
）
7．设α、β为两个不同的平面，l、m 为两条不同的直线，且
l
m
,
. 有如下两个命
题：①若
// 则
,
ml //
；②若
则ml
,
.
那么
（
）
A．①是真命题，②是假命题
B．①是假命题，②是真命题
C．①②都是真命题
D．①②都是假命题
8．已知向量
a
(
x
),3,5
b
,2(
x
且),
a
b
，则由 x的值构成的集合是
（
）
A．{2，3}
B．{－1，6}
C．{2}
D．{6}
9．函数
y
ax
12
的图象与直线
y 相切，则 a=
x
（
）
A．
1
8
B．
1
4
C．
1
2
D．1
10．设集合
A
,{(
yx
|)
,
yx
1,
x
y
是三角形的三边长}，则 A 所表示的平面区域（不含
边界的阴影部分）是
y
0.5
o
0.5
x
（
y
）
0.5
o
0.5
x
y
0.5
o
y
0.5
0.5
x
0.5
o
x
A．
B．
C．
第Ⅱ卷（非选择题 共 100 分）
D．
二、填空题：本大题共 4 小题，共 16 分. 把答案填在题中横线上.
11．函数
y
x
x
2
(
x
R，且
)2x
的反函数是
.
12．设 M、N 是直角梯形 ABCD 两腰的中点，DE⊥AB 于 E(如图).现将△ADE 沿 DE 折起，使二
面角 A—DE—B 为 45°，此时点 A 在平面 BCDE 内的射影恰为点 B， 则 M、N 的连线与
AE 所成角的大小等于
.
D
M
A
13．过双曲线
E
2
y
b
2
2
2
x
a
(1
a
C
N
B
,0
b
A
M
D
E
C
B N
)0
的左焦点且垂直于 x轴的直线与双曲线相交于 M、
N 两点，以 MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于
.
14．从集合{P，Q，R，S}与{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取 2 个元素排成一排
（字母和数字均不能重复）.每排中字母 Q 和数字 0 至多出现一个的不同排法种数是
（用数字作答）.
三、解答题：本大题共 6 小题，每小题 14 分，共 84 分. 解答应写出文字说明，证明过程或
演算步骤.
15．已知函数
)(
xf
sin2
x
cos
x
cos
.2
x
（Ⅰ）求
f
(
)
4
的值；
（Ⅱ）
设
),
,0(
f
)
(
2
2
2
,
求
sin
的值.
16．已知实数
cba ,
, 成等差数列，
a
,1
b
,1
c
4
成等比数列，且
cba
.15 求
,
,
cba
.
17．袋子 A 和 B 中装有若干个均匀的红球和白球, 从 A 中摸出一个红球的概率是
1
3
，从 B
中摸出一个红球的概率为 p.
（Ⅰ）从 A 中有放回地摸球, 每次摸出一个,共摸 5 次. ( i ) 求恰好摸 3 次停止的概率;
( ii ) 第一次、第三次、第五次均摸到红球的概率.
（Ⅱ）若 A、B 两个袋子中的球数之比为 1∶2，将 A、B 中的球装在一起后, 从中摸出一
个红球的概率是
2
5
, 求 p的值.
18．如图,在三棱锥 P—ABC 中,
AB
BC
,
AB
BC
1
2
PA
,
点 O、D 分别是 AC、PC 的中点,
OP⊥底面 ABC.
（Ⅰ）求证 OD//平面 PAB；
（Ⅱ）求直线 OD 与平面 PBC 所成角的大小.
P
D
B
C
A
o
19．如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点 F1、F2 在 x轴上，长轴 A1A2 的长为 4，左准
线 x
l与 轴的交点为 M，|MA1|∶|A1F1|=2∶1.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若点 P 在直线 l上运动，求∠F1PF2 的最大值.
20．已知函数
)(
xf 和 的图象关于原点对称，且
)(
xg
)(
xf
2
x
.2
x
（Ⅰ）求函数 )(xg 的解析式；
（Ⅱ）解不等式
|
x
；
|1
)(
xf
]1,1[1)(
在xf
（Ⅲ）若
)(
xh
)(
xg
)(
xg
上是增函数，求实数的取值范围.
参考答案
一．选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题 5 分，满分 50 分。
（1）B （2）A （3）D （4）D （5）C （6）A （7）D （8）C （9） B（10）A
二．填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题４分，满分１６分。
(11)
y
2
x
1
x
(
Rx
,
且
x
)1
(12)90° (13) 2
(14) 5832
三．解答题
(15)本题主要考查三角函数的倍角公式、两角和的公式等基础知识和基本的运算能力。满
分
14 分。
解：（Ｉ） ( )
f x
2
f
(
)
4
sin
sin 2
x
cos 2
x
,
cos
2
1
(II)
f
)
(
2
sin
cos
2
2
，
sin(
)
4
1
2
，
cos(
)
4
sin
sin(
)
4
4
1
2
2
2
3
2
3
2
2
2
2
4
6
)
(0,
0
sin
sin
故
6
2
4
(16) 本题主要考查等差、等比数列的基本知识，考查运算及推理能力。满分 14 分。
解：由题意，得
cba
2
ca
b
(
)(1
a
c
15
)4
(
b
2)1
①
②
③
由①，②两式，解得 5b
将 10
c
代入③,整理得
a
a
2 13
a
22
0
解得
2a 或 11
a
故 2a ,
b
5,
c
8
或 11,
a
b
5,
c
1
经验算，上述两组数符合题意。
(17)本题主要考查排列组合、相互独立事件同时发生的概率等基本知识，同时考查学生的
逻辑思维能力。满分 14 分。
2
3
解: (I)（i）
1
( )
3
3
(
2
)
10
40
4
1
27 9
243
（ii）
3
C
5
31( )
3
1
27
＝
（II）设袋子Ａ中有 m 个球，则袋子Ｂ中有 2 m 个球
2
5
m mp
1
3
2
3
m
13
p
30
由
得
(18) 本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象
能力和推理运算能力。满分 14 分。
解：方法一：
（I） Ｏ、Ｄ分别为 AC 、 PC 的中点，
//OD PA
又 PA 平面 PAB .
OD // 平面 PAB .
(II) AB BC
,OA OC
OA OB OC
,
又 OP 平面 ABC
PA PB PC
.
取 BC 中点Ｅ，连结 PE ,则 BC 平面 POE .
作OF PE 于 F,连结 DF ,则OF 平面 PBC ,
ODF
是OD 与平面 PBC 所成的角。
在 Rt△ODF 中，
sin
ODF
OF
OD
210
30
∴OD 与平面 PBC 所成的角为
arcsin
210
30 .
方法二:
OP⊥平面 ABC，OA=OC，AB=BC，
.
OA OB OA OP OB OP
,
,
以O 为原点，射线OP 为非负 z 轴，建立空间直角坐标系 O—xyz (如图)，
AB a 则
,
设
2(
A
2
a
,0,0)
B
(0,
,
2
2
a
,0)
C
(
,
2
2
a
,0,0)
.
设OP h , 则 (0,0, )
h
P
(I) D 为 PC 的中点， OD
＝
(
2
4
a
1,0,
2
h
),
又
PA
2(
2
OD
// PA
a
,0,
h
),
OD
＝- PA
1
2
OD // 平面 PAB .
(II)
PA
,2a
h
7
2
a
,
OD
(
2
4
a
,0,
14
4
a
)
,
可求得平面 PBC 的法向量
1,1,1(n
7
)
,
cos
,
nOD
nOD
|
OD
n
|
|
|
210
30
.
设OD 与平面 PBC 所成的角为,则
sin
|
cos
,
nOD
|
210
30
.
OD 与平面 PBC 所成的角为
arcsin
210
30
.
（19）本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆方程，两条直线的夹角等基础知识，考查解析
几何的基本思想方法和综合解题能力。满分 14 分。
解：（Ｉ）设椭圆方程为
2
2
x
a
2
2
y
b
|
MA
1
|
2
a
c
|,
FAa
1
1
|
ca
,
(1
a
b
),0
半焦距为 c, 则
由题意，得
a
2a
= 2(
c
2 a = 4
b
a
2
2
a c
)
,
2
c
.
a
2,
b
3,
c
1
解得
故椭圆方程为
2
x
4
2
y
3
1
（II）设 P（－4，y0），y0≠0
则直线 PF1 的斜率
k
1
y
0
3
，直线 PF2 的斜率
k
2
y
0
5
.
PF M
2
1
∵
0
F PF
1
2
1PFF
2
为锐角.
∴
tan
F PF
1
2
|
k
2
1
k
1
k k
1 2
|
2 |
2
y
0
y
|
0
15
|
2 |
y
0
2 15 |
|
y
|
0
15
15
.
当| 0y |= 15 即 0y = 15 时，
tan
PFF
2
1
取到最大值，此时
1PFF
2
最大。
故
1PFF
2
的最大值为
arctan
15
15
.
(20)本题主要考查函数图象的对称、二次函数的基本性质与不等式的应用等基础知识，以
及综合运用所学知识分析和解决问题的能力。满分 14 分。
(
Q x y 关于原点的对称点为 ( ,
P x y
)
,
0
0
)
解：（Ｉ）设函数
y
( )
f x
的图象上的任一点
则
x
y
x
0
y
0
2
2
,0
,0
即
x
0
y
0
,
x
.
y
点
(
Q x y 在函数
)
,
0
0
y
( )
f x
的图象上.
y
2
x
,2
x
即
y
x
2
,2
x
故
)(
xg
x
2
.2
x
(II)由
)(
xg
)(
xf
|
x
|1
可得，
2 2
x
|
x
0|1
,1
时当
x
当 x 1 时，
2 2
x
x
01
此时不等式无解。
2 2
x
x
01
当 1x 时，
1
2
1
x
因此，原不等式的解集为[－1,
]
1
2
)
( )
h x
(1
)
x
2
2(1
(III)
x
1.
1 时， ( )h x ＝ 4
当
1x 在[-1,1]上是增函数，
①
1
②当
1 时，对称轴的方程为
(i) 当
(ii) 当
1 时，
1
1
1
1 时，
1
综上,
0 .
x
1
1
1 。
1 ，解得
1 时，解得 1
0
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