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2020-2021年北京市朝阳区高二数学上学期期末试题及答案.doc
2020-2021 年北京市朝阳区高二数学上学期期末试题及答案
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，选
出符合题目要求的一项.
1. 圆
:
C x
2
2
x
2
y
1 0
的圆心 C的坐标为（
）
A. （1，0）
B. （－1，0）
C. （2，0）
D. （－2，0）
【答案】B
2. 已知直线 l的方向向量为 a
，平面α的法向量为 n
直线 l与平面α（
）
a
，若 ( 1,0, 1)
n
， (1,0,1)
，则
A. 垂直
C. 相交但不垂直
【答案】A
3. 双曲线
2
x
2
2
y
6
A.
2
【答案】B
B. 平行
D. 位置关系无法确定
的焦点到渐近线的距离为（
1
）
B.
6
C. 2 2
D. 2 6
4. 如图，已知直线 l与圆
OA OB
，则OA
2
2
2
y
相交于 A，B两点，若平面向量OA
4
，OB
满足
:
O x
和OB
的夹角为（
）
A. 45°
【答案】C
B. 90°
C. 120°
D. 150°
5. 光圈是一个用来控制光线透过镜头，进入机身内感光面的光量的装置.表达光圈的大小我
们可以用光圈的 F值表示，光圈的 F值系列如下：F1，F1.4，F2，F2.8，F4，F5.6，F8，…，
F64.光圈的 F值越小，表示在同一单位时间内进光量越多，而且上一级的进光量是下一级的
2 倍，如光圈从 F8 调整到 F5.6，进光量是原来的 2 倍.若光圈从 F4 调整到 F1.4，则单位时
间内的进光量为原来的（
）
A. 2 倍
【答案】C
B. 4 倍
C. 8 倍
D. 16 倍
6. 过抛物线 2
y
x 上的一点
A
4
3,
y
0
y 作其准线的垂线，垂足为 B ，抛物线的焦
0
0
点为 F ，直线 BF 在 x 轴下方交抛物线于点 E ，则 FE （
）
B.
3
C. 3
D. 4
A. 1
【答案】D
7. 下列有四个说法：
①若直线与抛物线相切，则直线与抛物线有且只有一个公共点：
②函数
( )
f x
在定义域上单调递减；
1
x
③某质点沿直线运动，位移 y（单位：m）与时间 t（单位：s）满足关系式
y
25
t
则 1t
s
6
时的瞬时速度是 10 m/s；
，
ln
x
④设 x＞0， ( )
f x
要“陡峭”.
1
x
( ) 1
g x
，则在（0，＋∞）上函数
f x 的图象比 ( )g x 的图象
其中正确的序号是（
）
A. ①③
【答案】A
B. ②③
C. ①④
D. ③④
8. 如图，将边长为 4 的正方形折成一个正四棱柱的侧面，则异面直线 AK和 LM所成角的大
小为（
）
A. 30°
【答案】D
9. 已知椭圆C ：
2
2
x
a
2
2
1
y
b
PF PF
2
B. 45°
C. 60°
D. 90°
a
，椭圆的左、右焦点分别为 1F ， 2F ， P 是椭圆C
0
b
0
，则椭圆离心率的取值范围是（
）
上的任意一点，且满足 1
A.
10,
2
【答案】B
B.
0,
2
2
C.
1
2
2,
2
D.
2 ,1
2
10. 如图，在三棱锥 O-ABC中，三条侧棱 OA，OB，OC两两垂直，且 OA，OB，OC的长分别为
a，b，c. M为△ABC内部及其边界上的任意一点，点 M到平面 OBC，平面 OAC，平面 OAB的
a
距离分别为 a0，b0，c0，则 0
a
b
0
b
c
0
c
（
）
A.
1
4
【答案】C
B.
1
2
C. 1
D. 2
二、填空题：本大题共 6 小题每小题 5 分，共 30 分.把答案填在答题卡上.
11. 只知两条直线 1 :
l
x
2
y
， 2 : 2
1 0
l
x my
0(
m R
平行，则 m的值为______.
)
【答案】4
解：两条直线 1 :
l
x
2
y
， 2 : 2
1 0
l
x my
0(
m R
平行，则 1 2 2
m ，得
)
4m ，
12. 等差数列 na 满足 1
a
a
2
12
a
， 3
a
4
a
，则 5
4
a
6
_________.
【答案】 4
解：等差数列 na 满足 1
a
a
2
12
a
， 3
a
4
，设公差为d ，则
4
a
3
a
4
a
1
a
2
4
d
，
8
a
则 5
a
6
a
3
4 4
a
d
，
4
13. 已知函数
f x
sin
x ax
（a∈R），且
f
2
1
，则 a的值为_________.
【答案】1
解：对函数求导得
x
f
cos
x a
，
则
f
2
cos
2
a
1
，得 1a .
14. 如图，平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 的底面 ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝
60°.CD＝CC1＝1.则 A1C与平面 C1BD_______（填“垂直”或“不垂直”）；A1C的长为_______.
【答案】
①. 垂直
②.
6
解：设CB a
，CD b
1
， 1CC c
a b c
CA BD CA CD CB
1
0
c b
cos60
c a
1CA
，由题意可得 1CA
b a
cos60
则
，
a b c
b
a
，
c b c a
2
2
BD
CA
，同理可证 1
BC
1
，
BD BC
1
B
，故 1CA 平面 1C BD ．
∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝60°.CD＝CC1＝1，
CD CB CC
CA
1
1 1
,
a b c
(
)
2
2
2
a
2
b
2
c
a b b c a c
2(
) 1 1 1 2(
1
2
1
2
1
) 6
2
CA
1
,
6
即 A1C的长为 6 .
故答案 为：垂直； 6
15. 2020 年 11 月 24 日我国在中国文昌航天发射场，用长征五号遥五运载火箭成功发射探
月工程“嫦娥五号”探测器，开启我国首次地外天体采样返回之旅.2004 年，中国正式开展
月球探测工程，并命名为“嫦娥工程”.2007 年 10 月 24 日“嫦娥一号”成功发射升空，探
月卫星运行到地月转移轨道之前在以地心 F 为椭圆焦点的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个轨道飞行（如图
所示），三个椭圆轨道的长半轴长、半焦距和离心率分别为
a c e i
i
,
,
i
i
1,2,3
，探月卫星沿
三个椭圆轨道的飞行周期（环绕轨道一周的时间）分别为 16 小时，24 小时和 48 小时，已
知对于同一个中心天体的卫星，它们运动周期的平方与长半轴长的三次方之比是定值.现有
a
以下命题：① 1
c
1
a
2
c
2
a
3
；②
c
3
a
2
3
12
a
；③
a
3
3
19
a
e
；④ 1
e
2
e
3
.则以
上命题为真命题的是___________.（写出所有真命题的序号）
【答案】①③④
解：由题意知：三个椭圆轨道的近地点相同且都以地心 F 为焦点，
a
∴ 1
c
1
a
2
c
2
a
3
，故①正确，
c
3
256
3
a
1
576
3
a
2
2304
3
a
3
4
，即 3
a
1
9
3
a
2
36
，则 2
a
3
a
3
3
9
4
a
1
3
2
a
1
且
a
3
3
19
a
，故②错误，
③正确，
a
∵若地球半径为 R ，则 1
c
1
a
2
c
2
a
3
c
3
，
R
c
∴ 1
a R
1
c
， 2
a
2
c
， 3
R
a
3
e
，故 1
R
1
R
a
1
,
e
2
1
R
a
2
,
e
3
a
由上知： 3
a
2
，所以 1
e
a
1
e
2
，故④正确.
e
3
故答案为：①③④
，
1
R
a
3
16. 把正奇数列按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，
25，27，29，31），…，则在第 n（n∈N*）组里有________个数；第 9 组中的所有数之和为
________.
【答案】
①. 2
1n
②. 2465
解：第 1 组有 1 个数，
第 2 组有 3 个数，
第 3 组有 5 个数，
……
第 n组有
1 2
n
1
2
n
1
个数.
前 8 组的数字个数分别为 1,3……15，共 64 项，第 9 组中的数字个数有 2×9-1=17 个，
设把正奇数列的前 n项和为 nS ，则第 9 组中的所有数之和：
S
64
81
81 1
2
2
64 1
64
64 1
2
2 =2465
.
= 81 1
S
81
故答案为： 2
1n ；2465.
三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证朋过程.
17. 已知函数 ( )
f x
x
ln .
x
（1）求曲线
y
( )
f x
在点（e， ( )
f e ）的切线方程；
（2）求函数 ( )
f x 的单调区间.
【答案】（1） 2
y
x
； （2）在
e
解：（1）由 ( )
f x
x
ln
x
得
( )
f x
ln
所以切线斜率为 ( )
f e
ln
e
1 2
1(0,
e
1
x
单调递减，在
1(
e
,
单调递增．
)
，
0
)
x
切点坐标为 ( , )e e ，
所以切线方程为
y
e
2(
x
，即
e
)
y
2
x
；
e
（2）
( )
f x
ln
x
，
0
1
x
1x
e
f x
．
时， ( ) 0
；
)
当
令 ( )
f x
0
，得
1(0,
x
e
1(
e
∴ ( )
f x
ln
当
x
x
x
)
,
，
0
时， ( )
f x
1(0,
e
在
)
单调递减，在
1(
e
,
单调递增．
)
18. 已知圆
:
C x
2
2
y
2
r
(
r
，若直线 1 :
l
0)
x
y 与圆 C相交于 A，B两点，且
2 0
AB
2 2
.
（I）求圆 C的方程.
（II）请从条件①条件②这两个条件中选择一个作为点 P的坐标，求过点 P与圆 C相切的直
线 l2 的方程.
①（2，－3）；②（1， 3 ）.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（I） 2
x
2
y
；（II）选①：5
4
x
12
y
26 0
或 2
x ；选②：
x
3
y
4 0
.
解：（I）设圆心到直线 1l 的距离为d ，则
2
r
2
d
2
|
AB
2
|
，即 2
d
r
2 2
，
又
d
2
1 1
2
， 2
r ，
4
故圆 C的方程为 2
x
2
y
；
4
（II）选①：当直线 2l 斜率不存在时， 2l 的方程为 2
x ，恰好与圆相切，满足题意；
当直线 2l 斜率存在时，设 2l 的方程为 3
y
(
k x
，即
2)
kx
y
2
k
，
3 0
则圆心到直线 2l 的距离为
| 2
k
2
k
2
，解得
k ，
5
12
3|
1
5
12
y
(
此时直线 2l 的方程为
y
3
综上，直线 2l 的方程为5
x
12
x
，即5
2)
x
12
y
26 0
，
26 0
或 2
x ；
选②，可得 (1, 3) 在圆上，即 (1, 3) 为切点，
则切点与圆心连线斜率为 3
1
，则切线斜率为 3
3
3
，
所以直线 2l 的方程为
y
3
3
3
(
x
1)
，即
x
3
y
4 0
.
19. 已知 na 是各项均为正数的等比数列，
a
3
a
1
60,
a
2
16,
*
n N
.
（I）求数列{an}的通项公式；
（II）若数列{bn}的通项 bn满足 92 nb
，求{bn}的前 n项和 Sn的最小值及取得最小值时 n
na
的值.
【答案】（I）
na ；（II）当 4n 时， nS 取得最小值为 16
4n
解：（I）设等比数列 na 的公比为 q，且 0
q ，
则
a
3
a
2
a
1
a q
1
2
a q
1
16
a
1
60
，解得
4
a
1
4
q
，
na
4n
（II）
92 nb
，
na
b
n
log
2
a
n
9 log 4
2
n
9 2
n
9
，
S
n
n
9
n
7 2
2
2
n
8
n
n
4
2
16
，
则当 4n 时， nS 取得最小值为 16 .
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