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2006年天津高考文科数学真题及答案.doc
2006 年天津高考文科数学真题及答案
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120
分钟．第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 10 页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
祝各位考生考试顺利！
注意事项：
第Ⅰ卷
1． 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、科目涂写在答题卡上，并在规定
位置粘贴考试用条形码．
2． 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试卷上的无效．
3． 本卷共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分．
参考公式：
如果事件 A B， 互斥，那么 (
P A B
)
(
)
P A
(
P B
)
如果事件 A B， 相互独立，那么 (
P A B
·
)
(
(
P A P B
)
·
)
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P ，那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的
概率 ( )
P k
n
n k
)
P
C P
(1
k
n
k
一、选择题：在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合
A
x
| 3
≤ ≤ ，
x
1
B
x ≤ ，则 A B
2
（
）
Ａ．
x
| 2
≤ ≤
x
1
Ｂ．
x
| 0
x≤ ≤
1
Ｃ．
x
| 3
≤ ≤
x
2
Ｄ．
x
|1
x≤ ≤
2
2．设 na 是等差数列， 1
a
Ａ．12
Ｂ．24
a
3
a
5
， 6
9
a ，则这个数列的前 6 项和等于（
9
）
Ｄ．48
Ｃ．36
y
x
≤
2
x
y
≥
3
6
y
x
≥
3．设变量 x y， 满足约束条件
，则目标函数
Z
2
x
的最小值为（
y
）
Ａ．2
Ｂ．3
Ｃ．4
Ｄ．9
4．设
P
log 3
2
，
Q
log 2
3
，
R
log (log 2)
2
3
，则（
）
Ａ． R Q P
Ｂ． P R Q
Ｃ．Q R P
Ｄ． R P Q
5．设
，
π π
， ，那么“ ”是“ tan
2 2
tan
”的（
）
Ａ．充分而不必要条件
Ｃ．充分必要条件
Ｂ．必要而不充分条件
Ｄ．既不充分也不必要条件
6．函数
y
x
2 1 1(
x
的反函数是（
0)
）
Ａ．
y
x
2 2 (
x x
0)
Ｂ．
y
x
2 2 (
x x
0)
Ｃ．
y
x
2 2 (
x x
2)
Ｄ．
y
x
2 2 (
x x
2)
7．若l 为一条直线， ， ， 为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：
①
，
；②
， ∥
；③l
，∥
l
．
其中正确的命题有（
Ａ．0 个
Ｂ．1 个
）
Ｃ．2 个
Ｄ．3 个
8．椭圆的中心为点 ( 1 0)
E ， ，它的一个焦点为 ( 3 0)
F ， ，相应于焦点 F 的准线方程为
x ，则这个椭圆的方程是（
）
Ａ．
1)
2
2
2
y
3
1
Ｂ．
2(
2
1)
x
21
2
2
y
3
1
7
2
2(
x
21
Ｃ．
(
x
2
1)
5
2
y
1
Ｄ．
(
x
2
1)
5
2
y
1
x b
cos
x
（ a b， 为常数， 0
a
R，
x
）的图象关于直线
x
π
4
9．已知函数 ( )
f x
对称，则函数
y
f
sin
a
3π(
4
是（
x
)
）
Ａ．偶函数且它的图象关于点 (π 0)， 对称
B．偶函数且它的图象关于点
3π 0
2
， 对称
Ｃ．奇函数且它的图象关于点
3π 0
2
， 对称
Ｄ．奇函数且它的图象关于点 (π 0)， 对称
10．如果函数
( )
f x
x
(
a a
x
2
3
a
1)(
a
0
且
a
1)
在区间
0 ， ∞ 上是增函数，那么实数
a 的取值范围是（
）
Ａ．
20
，
3
Ｂ．
3 1
，
3
Ｃ．1 3
，
Ｄ．
3
2
， ∞
第Ⅱ卷
注意事项：
1． 答卷前将密封线内的项目填写清楚．
2． 用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上．
3． 本卷共 12 小题，共 100 分．
三
17
18
19
20
21
22
总分
题号 二
得分
得分 评卷人
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分．把答案填在题中横
线上．
11．
x
71
x
12．设向量 a
与b
的二项展开式中 x 的系数是
（用数字作答）．
的夹角为， (3 3)
， ， 2
a
b a
( 11)
， ，则 cos
．
1A
1B
1C
C
13．如图，在正三棱柱
ABC A B C
1 1
1
中，
AB ．若二面角
1
C AB C
1
的大小为 60 ，则点 1C 到直线 AB 的距离为
．
14．若半径为 1 的圆分别与 y 轴的正半轴和射线
y
3 (
x x
3
≥ 相切，
0)
A
B
．
则这个圆的方程为
15．某公司一年购买某种货物 400 吨，每次都购买 x 吨，运费为 4 万元／次，一年的总存储
费用为 4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x
16．用数字 0，1，2，3，4 组成没有重复数字的五位数，则其中数字 1，2 相邻的偶数有
吨．
个（用数字作答）．
三、解答题：本大题共 6 小题，共 76 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
得分 评卷人
17．（本小题满分 12 分）
已知
tan
cot
，
5
2
π π
， ．求 cos 2和
4 2
得分 评卷人
18．（本小题满分 12 分）
sin(2
的值．
)
π
4
甲、乙两台机床相互没有影响地生产某种产品，甲机床产品的正品率是 0.9，乙机床产品的
正品率是 0.95．
（Ⅰ）从甲机床生产的产品中任取 3 件，求其中恰有 2 件正品的概率（用数字作答）；
（Ⅱ）从甲、乙两台机床生产的产品中各任取 1 件，求其中至少有 1 件正品的概率（用数字
作答）．
得分 评卷人
19．（本小题满分 12 分）
如图，在五面体 ABCDEF 中，点 O 是矩形 ABCD 的对角线的交点，面 CDE 是等边三角
形，棱
EF
∥
BC
．
1
2
（Ⅰ）证明 FO ∥平面CDE ；
（Ⅱ）设
BC
3
CD
，证明 EO 平面 CDF ．
得分 评卷人
20．（本小题满分 12 分）
F
A
E
D
B
O
C
已知函数
( )
f x
（Ⅰ）当 cos
2
x
3
x
3
4
cos
1
32
0 时，判断函数 ( )
f x 是否有极值；
，其中 x R ，为参数，且
0
≤ ≤ ．
π
2
（Ⅱ）要使函数 ( )
f x 的极小值大于零，求参数的取值范围；
（Ⅲ）若对（Ⅱ）中所求的取值范围内的任意参数，函数 ( )
f x 在区间 (2
a
增函数，求实数 a 的取值范围．
得分 评卷人
21．（本小题满分 14 分）
1
， 内都是
a
)
已知数列 nx 满足 1
x
x
2
1
x
x
，并且 1
n
n
x
x
n
n
1
（为非零参数， 2 3 4
n ，，，… ）．
x
（Ⅰ）若 1
x， ， 成等比数列，求参数的值；
x
3
5
（Ⅱ）设 0
1 ，常数 k
N 且
x
k ≥ ．证明 1
x
1
3
k
x
2
x
2
k
…
x
n k
x
n
k
k
1
(
n
N
)
．
得分 评卷人
22．（本小题满分 14 分）
y
如图，
双曲线
2
2
x
a
2
2
y
b
1
(
a
0
，
b
0)
的
离心率为
5
2
F F， 分别为
． 1
2
M
1F
C
O
A
2F
l
B
x
Ｅ
D
左、右焦点， M 为左准线与渐
近线在第二象限内的交点，且 1
F M F M
·
2
1
4
．
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）设 ( 0)
A m， 和
B
1 0 (0
，
m
m
1)
是 x 轴上的两点，过点 A 作斜率不为 0 的直线l ，
使得l 交双曲线于C D， 两点，作直线 BC 交双曲线于另一点 E ．证明直线 DE 垂
2006 年天津高考文科数学真题参考答案
一．选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题 5 分，满分 50 分。
（1）A
（6）D
（2）B
（7）C
（3）B
（8）D
（4）A
（9）D
（5）C
（10）B
二．填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题 4 分，满分 24 分。
（11）35
（12）
3 10
10
（13） 3
（14）
(
x
1)
2
(
y
2
3)
1
（15）20
（16）24
一．选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题 5 分，满分 50 分。
题号
答案
1
A
2
B
3
B
4
A
5
C
6
D
7
C
8
D
（1）已知集合
A
{ | 3
x
x
1},
B
{ |
x x
2}
则 A B ＝
x
| 2
，选 A.
x
1
={ | 2
≤ ≤ ，
2}
x
x
（ 2 ） na 是 等 差 数 列 ， 1
a
a
3
a
5
3
a
3
9,
a
3
3,
a
6
9.
∴
10
B
9
D
y
C
x
B
O
A
d
12,
a
a
，则这个数列的前 6 项和等于 1
6(
1
)
a
6
2
，选 B.
24
（3）设变量 x 、y 满足约束条件
y
x
2 ,
x
y
3
6
y
x
在坐标系中画出可行域△ABC，A(2，0)，B(1，
1)，C(3，3)，则目标函数 2
z
x
的最小值为 3，选 B.
y
（4）
P
log 3 1,0
2
Q
log 2 1,
3
R
log (log 2) 0,
则 R Q P
，选 A.
2
3
（5）在开区间 (
中，函数
y
tan
x
为单调增函数，所以设 ,
(
),
2 2
,
那么
,
)
2 2
tan "
"
" 是"tan
的充分必要条件，选 C.
（6）由函数
y
x
2 1 1(
x
解得
0)
x
(
y
2
1)
1
2
y
2
y
(y>2)，所以原函
数的反函数是
y
x
2 2 (
x x
，选 D.
2)
（7）若l 为一条直线，、、为三个互不重合的平面，下面三个命题：
①
;
,
不 正 确 ； ②
;
∥
,
正 确 ； ③
l
//
.
l
正确，所以正确的命题有 2 个，选 C.
,
（8）椭圆的中心为点 ( 1,0),
E
它的一个焦点为 ( 3,0),
F
∴ 半焦距 2
c ，相应于焦点 F
的准线方程为
x ∴
7 .
2
2
a
c
， 2
a
5
2
25,
b
，则这个椭圆的方程是
1
(
x
2
1)
5
2
y
，
1
选 D.
（ 9 ） 已 知 函 数 ( )
f x
a
sin
x b
cos
x
(a 、 b 为 常 数 ,
a
0,
x R
， ∴
)
( )
f x
2
a
2
b
sin(
)
x
的周期为 2π，若函数的图象关于直线
x
对称，不妨设
4
)
x
sin
x
，所以
( )
f x
y
f
x
)
4
，则函数
)
4
是奇函数且它的图象关于点 ( ,0) 对称，选 D.
3(
4
3
4
sin(
x
x
x
)
y
)
=
f
sin(
3(
4
sin(
（10）函数 y
x
(
a a
x
2
3
a
1)(
a
且 1)
a 可以看作是关于 xa 的二次函数，若 a>1，则
0
y
x
a 是增函数，原函数在区间[0,
) 上是增函数，则要求对称轴
1
23
a
2
≤0，矛盾；若
0
y
2
t
2
(3
a
1)
t
在 t∈(0，1)上为减函数，即对称轴
1
23
a
2
取值范围是
3[
3
,1)
，选 B.
≥1，∴ 2
a ≥ ，∴实数 a 的
1
3
二．填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题 4 分，满分 24 分。
（11）35
（12）
3 10
10
（15）20
（16）24
（13） 3 （14）
(
x
2
1)
(
y
2
3)
1
(
x
（11）
71
)
x
（12）设向量 a
与 b
的二项式展开式中 x 项为 3
7
( )
C x
3
(
1
x
4
)
35
x
，x 项的系数是 35.
的夹角为 , 且 (3,3),2
( 1,1),
a
b a
b
∴
(1,2)
，则
cos
a b
|
|
a
b
|
|
9
3 2
3 10
10
5
。
（13）如图，在正三棱柱
ABC A B C
1 1
1
中，
AB 若二面角
1.
C AB C
1
的大小
A
1
A
B
1
B
C
1
C
为 60o ，过 C 作 CD⊥AB，D 为垂足，连接 C1D，则 C1D⊥AB，∠C1DC=60°，CD=
3
2
，
则 C1D= 3 ，所以点 C1 到直线 AB 的距离为 3 。
（14）若半径为 1 的圆分别与 y 轴的正半轴和射线
y
3 (
x x
3
相切，则圆心在直线
0)
y=
3 x 上 ， 且 圆 心 的 横 坐 标 为 1 ， 所 以 纵 坐 标 为 3 ， 这 个 圆 的 方 程 为
(
x
1)
2
(
y
2
3)
1
。
（15）某公司一年购买某种货物 400 吨，每次都购买 x 吨，则需要购买
400
x
万元/次，一年的总存储费用为 4x 万元，一年的总运费与总存储费用之和为
次，运费为 4
400 4 4x
x
万
元，
400 4 4x
x
≥160，当
1600
x
即 x 20 吨时，一年的总运费与总存储费用之和最
4x
小。
（16）用数字 0、1、2、3、4 组成没有重复数字的五位数，其中数字 1、2 相邻的偶数。可
以分情况讨论：① 若末位数字为 0，则 1，2，为一组，且可以交换位置，3，4，各为 1 个
数字，共可以组成
2
3
A
3
12
个五位数；② 若末位数字为 2，则 1 与它相邻，其余 3 个数
字排列，且 0 不是首位数字，则有
2
2
A
2
个五位数；③ 若末位数字为 4，则 1，2，为一
4
组，且可以交换位置，3，0，各为 1 个数字，且 0 不是首位数字，则有
2 (2
2
)A
2
=8 个五位
数，所以全部合理的五位数共有 24 个。
三．解答题
（17）本小题考查同角三角函数关系、两角和公式、倍角公式等基础知识，考查基本运算能
力。满分 12 分。
解法一：由
cot
得
,
5
2
sin
cos
cos
sin
5 ,
则
2
tan
2
5
sin
2
(
),
4 2
cos 2
,
因为
,sin 2
所以 2
.
4
5
),
1 sin 2
2
sin(2
)
4
sin 2 .cos
cos 2 .sin
4
4
5
2
2
2
2
2 .
10
,
,
(
2
3
5
4
3
5
解法二：由
解得 tan
5
2
,
tan
tan
,
得
cot
1
tan
tan
由已知
2.
5
2
1
2
.
2 或
tan
(
),
4 2
,
故舍去
tan
得
,
1
2
因此，
sin
2 5
5
,cos
5
5
.
那么
cos 2
cos
2
且
sin 2
2sin cos
故
2
3
5
,
sin
4
5
,
4
3
5
4
5
2
2
2
2
2 .
10
sin(2
)
4
sin 2 .cos
cos 2 .sin
4
（18）本小题考查互斥事件、相互独立事件的概率等基础知识，及分析和解决实际问题的能
力。满分 12 分。
（I）解：任取甲机床的 3 件产品恰有 2 件正品的概率为
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