矩阵迹的几何意义是什么 线性代数中有两个不变量很有意思，一个是方阵的行列式，另一个是方阵的迹。行列式 是对角阵元素乘起来的相似不变量，而迹是对角阵元素加起来的相似不变量。二者背后的本 质和意义是相同的，因此本篇文章就一起来解释一下。 首先，直接给出答案：行列式的意义就是方阵中的行或列向量所构成的“平行多面体” 的有向面积或有向体积；而迹的意义就是方阵中的行或列向量所构成的“平行多面体”的有 向周长；如果用矩阵来描述线性变换，那么行列式的意义就是从“体积”伸缩角度描述线性 变换 A 的综合作用效果。而迹的意义就是从周长伸缩的角度描述线性变换 A 在各个坐标轴 方向上的综合缩放效果。接下来详细解释。 我们首先来看行列式表示体积的解释，以二阶行列式和三阶行列式的为例： 对于高维的，其意义也是类似的。行列式的加减，其实就是体积之间的加减。行列式为 零，就表示在这个 n 维空间中这 n 个向量不能构成一个“体”，但是可以构成“点”或者“面”。 可是怎么理解这种事情呢？我们不妨换一个角度：对于一个对角阵，它的行列式的几何意义 比较好理解：对于二维平面就是长×宽；从三维空间就是长×宽×高；对于高维度的空间也 是一样。那么好，如果行列式对应的矩阵可以对角化，也就是说这个矩阵和一个对角阵相似， 问题就好理解了，还记得这个公式么 也就是先将 A 对角化，将坐标之间的耦合关系解除。我们知道相似变换就是把线性空间 里面的对象换了一组基来表示而已。这时复杂的几何体就变成一个规则的“空间几何体”， 有点类似长方体。然后取行列式的几何意义就清楚了，它真的是表示空间“几何体”的体积！ 以上二维和三维行列式的例子中，行列式被解释为向量形成的图形的面积或体积。面积 或体积的定义是恒正的，而行列式是有正有负的，因此需要引入有向面积和有向体积的概念。 负的面积或体积在物理学中可能难以理解，但在数学中，它们和有向角的概念类似，都是对 空间镜面对称特性的一种刻画。如果行列式表示的是线性变换对体积的影响，那么行列式的 正负就表示了空间的定向。 如上图中，左边的黄色骰子（可以看成有单位的有向体积的物体）在经过了线性变换后 变成中间绿色的平行六边形，这时行列式为正，两者是同定向的，可以通过旋转和拉伸从一 个变成另一个。而骰子和右边的红色平行六边形之间也是通过线性变换得到的，但是无论怎 样旋转和拉伸，都无法使一个变成另一个，一定要通过镜面反射才行。这时两者之间的线性 12det()nA()[,,]TVabcabc

变换的行列式是负的。可以看出，线性变换可以分为两类，一类对应着正的行列式，保持空 间的定向不变，另一类对应负的行列式，颠倒空间的定向。 一旦你接受了体积有正负这一假设，那么接下来的理解就变得简单起来。对于矩阵的迹， 我们关键是要理解把特征值加起来有什么意义。首先从最简单的情况开始，如果特征值都大 于零，我们发现特征值加起来是某种“周长”的意义。对于二维平面就是周长=（长+宽）*2； 从三维空间就是周长=（长+宽+高）*4。对于多维的情况，我们忽略最后面乘的那个常数。 就得到如下关系： 特征值有正负，那么迹的值也就有正负。当坐标系发生变化，也就是矩阵不再是对角阵 的情况，那么这种特殊的“周长”的计算不是边长相加，而是每个主对角线元素的直接求和。 为什么非要抓住这个矩阵的对角线不放呢？因为每个对角线元素恰好对应一个坐标轴，矩阵 的对角线可以表示一个物体的相似性。在机器学习里，主要为了获取数据的特征值，那么就 是说，在任何一个矩阵计算出来之后，都可以简单化，只要获取矩阵的迹，就可以表示这一 块数据的最重要的特征了，这样就可以把很多无关紧要的数据删除掉，达到简化数据，提高 处理速度。 这里还存在一个问题，就是变换坐标系的事情，我们知道，同一个空间体积可以用不同 的基和坐标表示，我们可以分别算出这两组基表示下几何体的体积，其计算出来的值一般是 不一样的。那么，两个体积之间有什么关系呢？ 答案是两个体积之间相差的是一个坐标变换矩阵的行列式！无论是线性变换，还是非线 性变换（比如微积分中的直角坐标和极坐标之间的变换），两个体积之间相差的都是一个行 列式的关系（微积分中相差的是雅克比行列式）。也就是第二种解释的伸缩因子。 这里顺便简单说一下雅克比行列式吧，在微积分中，我们在进行 的坐标 变换时，我们可以得到全微分 dx,dy 和 du,dv 之间的关系，写成矩阵形式就是 于是，可以得到体积微元之间的关系就是 ，其中 就是我们 熟悉的雅克比行列式！对于直角坐标和极坐标之间有 ，对于三 维的关系是 。 行列式是用来描述线性变换前后体积伸缩的综合效果，而矩阵的迹则是用来描述线性变 换前后周长伸缩的综合效果。这里所说的综合效果不是对某一个向量而言，而是一个总体效 果。比如，如果线性变换矩阵的行列式是小于零，我们就知道这个变换是将体积颠倒空间方 向。如果线性变换矩阵的迹小于零，我们就知道这个变换是将向量朝反方向作用。描述行列 式和迹从不同角度来描述矩阵对向量的缩放作用，二者都只是从单一的方面进行描述。 12()ntrA(,)(,)xyuv→xxxxuvuvyyyyuvuvdxdudvdxduduJdydvdvdydudv→dddetdudxyJvdetJdddetddddxyJrrr2dddetddsinddxydzJrdrrd

为什么行列式和矩阵的迹在改变坐标系前后都不会发生改变呢？直观理解就是矩阵的 这种对向量的缩放性能和选取的坐标系没有关系，矩阵的行列式和迹都是描述矩阵性质的的 固有参数，就像振动系统的固有频率一样，与坐标系的选取无关。另一方面，从公式的角度 理解就是伟大的韦达定理了： 特征值是特征多项式|A-λI|的根，从公示上我们会发现，其实迹和行列式只不过是比较 特殊的两个量，还有其他更多的不变量，只不过由于计算的复杂，我们常用的只有行列式和 矩阵的迹而已。 希望这篇拙作能起到抛砖引玉的作用，欢迎大家留言讨论。也欢迎加入 QQ 群下载《神 奇的矩阵》和《神奇的矩阵第二季》最新版本了解更多有关线性代数和矩阵的知识。 111012121121312324212120() ...()()()()()(1)nnnnnnnnnnnnnPxxaxaxaxxxaaa