2010年福建高考理科数学真题及答案.doc-资料库

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2010年福建高考理科数学真题及答案第 I 卷（选择题共 50 分）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.计算 sin43°cos13°-cos43°sin13°的结果等于 A． 1 2 B. 3 3 C. 2 2 D. 3 2 2.以抛物线 y2=4x 的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为 A. x2+y2+2x=0 B. x2+y2+x=0 C. x2+y2-x=0 D. x2+y2-2x=0 3.设等差数列｛an｝前 n 项和为 Sn . 若 a1= -11,a4+a6= -6 ,则当 Sn 取最小值时，n 等于 A.6 B. 7 C.8 D.9 4.函数 f（x）= 的零点个数为 A. 0 B. 1 C.2 D.3 5.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的 i 值等于 A.2 B.3 C.4 D.5 6.如图，若  是长方体 ABCD-A1B1C1D1 被平面 EFGH 截去几何体 EFGHB1C1 后得到的几何体，其中 E 为线段 A1B1 上异于 B1 的点，F 为线段 BB1 上异于 B1 的点，且 EH∥A1 D1，则下列结论中不正确的是 A. EH∥FG B.四边形 EFGH 是矩形 C.  是棱柱 D.  是棱台

7.若点 O 和点 F（-2，0）分别为双曲线 2 2 x a  2 y  （a>0）的中心和左焦点，点 P 为双曲线 1   右支上的任意一点，则 op fp  的取值范围为 A. [3- 2 3 ,  ） B. [3+ 2 3 ,  ） C. [  ,  ） D. [ 7 4 7 4 ,  ） 8.设不等式组所表示的平面区域是 1 ，平面区域 2 与 1 关于直线 3x-4y-9 对称。对于 1 中的任意点 A 与 2 中的任意点 B，∣AB∣的最小值等于 A. 28 5 B. 4 C. 12 5 D. 2 9.对于复数 a,b,c,d，若集合 S=｛a,b,c,d｝具有性质“对任意 x,y S，必有 xyS”，则当 A. 时，b+c+d 等于 1 B. -1 C. 0 D. i 10.对于具有相同定义域 D 的函数 f（x）和 g（x），若存在函数 h（x）=kx+b（k,b 为常数），对任给的正数 m，存在相应的 x0 D，使得当 xD 且 x>x0 时，总有称直线 l：y=kx+b 为曲线 y=f（x）与 y=g（x）的“分渐近线”。给出定义域均为 D= 则 1 x x  的四组函数如下： ①f（x）=x2,g(x)= x ; ②f(x)=10-x+2，g(x)= 2 ③f(x)= x 2 1  x ,g(x)= x 1 ln x  ln x ; ④f(x)= ( ) f x 其中，曲线 y=f(x)与 y=g(x)存在“分渐近线”的是  ; 3x  x 22 x 1 x  ，g(x)=2(x-1-e-x). A．①④ B.②③ C. ②④ D. ③④ 第Ⅱ卷（非选择题共 100 分）二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分。把答案填在答题卡的相应位置。 11.在等比数列{an}中，若公比 q=4，且前 3 项之和等于 21，则该数列的通项公式 an（）

12.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其表面积等于（）。 13.某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的 5 个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮。假设某选手正确回答每个问题的概率都是 0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了 4 个问题就晋级下一轮的概率等于（）。 14.已知函数 f(x)=3sin(x-  6 )( >0)和 g(x)=2cos(2x+ )+1 的图像的对称轴完全相同。若 x 0,     2   ,则 f(x)的取值范围是（）。 15．已知定义域为（0，+  ）的函数 f(x)满足：（1）对任意 x(0, +  ),恒有 f(2x)=2f(x) 成立；（2）当 x (1,2]时，f(x)=2-x。给出结论如下： ①对任意 m Z,有 f(2m)=0；②函数 f(x)的值域为[0，+  ）;③存在 nZ,使得 f(2n+1)=9; ④“函数 f(x)在区间（a,b）上单调递减”的充要条件是“存在 kZ,使得(a,b) (2k,2k+1)”. 其中所有正确结论的序号是（）。三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.（本小题满分 13 分）设 S 是不等式 x2-x-6  0 的解集，整数 m,nS。（Ⅰ）记“使得 m+n=0 成立的有序数组（m,n）”为事件 A，试列举 A 包含的基本事件；（Ⅱ）设=m2,求的分布列及其数学期望 E。 17.（本小题满分 13 分）已知中心在坐标原点 O 的椭圆 C 经过点 A（2，3），且点 F（2.0）为其右焦点。（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）是否存在平行于 OA 的直线 L，使得直线 L 与椭圆 C 有公共点，且直线 OA 与 L 的距离等于 4？若存在，求出直线 L 的方程；若不存在，说明理由。 18.（本小题满分 13 分）如图，圆柱 OO1 内有一个三棱柱 ABC-A1B1C1，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且 AB 是圆 O 的直径。（Ⅰ）证明：平面 A1ACC1⊥平面 B1BCC1；（Ⅱ）设 AB=AA1。在圆柱 OO1 内随机选取一点，记该点取自于三棱柱 ABC-A1B1C1 内的概率为 P。（i）当点 C 在圆周上运动时，求 P 的最大值；

（ii）记平面 A1ACC1 与平面 B1OC 所成的角为（0°<   90°）。当 P 取最大值时，求 cos的值。 19.（本小题满分 13 分）某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口 O 北偏西 30°且与该港口相距 20 海里的 A 处，并正以 30 海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶，经过 t 小时与轮船相遇。（Ⅰ）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？（Ⅱ）假设小艇的最高航行速度只能达到 30 海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向和航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。 20.（本小题满分 14 分）（Ⅰ）已知函数 f(x)=x3-x ,其图像记为曲线 C. （i）求函数 f(x)的单调区间；（ii）证明：若对于任意非零实数 x1 ,曲线 C 与其在点 P1 （x1,f(x1)））处的切线交于另一点 P2（x2,f(x2)），曲线 C 与其在点 P2 处的切线交于另一点 P3 （x3,f(x3)），线段 P1 P2, P2 P3 与曲线 C 所围成封闭图形的面积分别记为 S S1，S2，则 1 S 2 为定值；（Ⅱ）对于一般的三次函数 g(x)=ax3+bx2+cx+d(a  0),请给出类似于（Ⅰ）（ii）的正确命题，并予以证明。 21.本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题 7 分，请考生任选 2 题作答，满分 14 分。如果多做，则按所做的前两题记分。作答时，先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。（1）（本小题满分 7 分）选修 4-2：矩阵与变换已知矩阵 M= ，N= ，且 MN= 。（Ⅰ）求实数 a,b,c,d 的值；（Ⅱ）求直线 y=3x 在矩阵 M 所对应的线性变换作用下的像的方程。（2）（本小题满分 7 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中，直线 L 的参数方程为（t 为参数），在极坐标系（与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴）中，圆 C

的方程为 =2 5 sin。（Ⅰ）求圆 C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆 C 与直线 L 交于点 A,B。若点 P 的坐标为（3， 5 ），求∣PA∣+∣PB∣。（3）（本小题满分 7 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 f(x)= ∣x-a∣. （Ⅰ）若不等式 f(x)  3 的解集为 x 1    ，求实数 a 的值； x  5 （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若 f(x)+f(x+5)≥m 对一切实数 x 恒成立，求实数 m 的取值范围。参考答案一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题 5 分，满分 50 分。 1.A 2.D 3.A 4.C 5.C 6.D 7.B 8.B 9.B 10.C 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题 4 分，满分 20 分。 11. 14 n 12. 326  13. 128.0 14.   3 2  3,  15.①②④ 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题主要考查概率与统计、不等式等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查分类与整合思想、必然与或然思想、化归与转化思想。满分 13 分。解：（I）由 2 x  x 6 0 得  x ，即 3 2 S   x 2|  x 3 由于 Znm , ， nm , S 且 0 nm ，所以 A 包含的基本事件为： )2,2( ， )2,2(  ， )1,1( ， )1,1(  ， )0,0( （II）由于 m 的所有不同取值为-2，-1,0,1,2,3，所以 2m 的所有不同取值为 0,1,4,9，  0  P 且有  1 6 故的分布列为：，  P  1  2 6  1 3 ，  P  4  2 6  1 3 ，  P  9  1 6  0 1 4 9

P 所以 1 6 10 6 19 E 6 14 3 11 3 1 3 1 6 1 3 19 6 17.本小题主要考查直线、椭圆等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想。满分 13 分。解法一：（I）依题意，可设椭圆 C 的方程为 2 2 x a  2 2 y b  1 （a>b>0），且可知左焦点为 )0,2(F 从而有 2c 2 a |  AF |  | FA  53| 8 又 2 a  2 b  2 c ，所以 2 b 12 ，故椭圆 C 的方程为解得， 2c 4a 2 x 16 2  y 12  1 （II）假设存在符合题意的直线l ，其方程为 y  3 2 x  t  t 得 2 3 x  3 tx  t 2  12  0 由 y  2 x 16 x 3 2 2  y 12  1 因为直线l 与椭圆 C 有公共点，所以   3 t 2   34 t  2  12  0  ，解得  34  t 34 另一方面，由直线 OA 与l 的距离 4d 可得  4 ，从而 2t 13 。 |  1 | t 9 4 由于  2 13   34,34 ，所以符合题意的直线l 不存在。解法二：（I）依题意，可设椭圆 C 的方程为 2 2 x a  2 2 y b  1 （a>b>0），且有： 4 2 a  9 2 b  1 ，解得 2 b 12 或 2 b 3 （舍去）。从而 2 a 16

2 a 2  b  4 （II）同解法一 18.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及几何体的体积几何概型等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力；考查数形结合思想、化归与转化思想、必然与或然思想。满分 13 分。解法一：（I） AA1 平面 ABC ， BC 平面 ABC ，  1 AA  BC AB 是圆 O 的直径，  BC  AC 又 AC 1 AAA ，  BC 平面  1ACC A 1 而 BC 平面 1BCC B 1 ，所以平面 1ACC A 1  平面 1BCC B 1 。（II）（i）设圆柱的底面半径为 r，则 AB  AA 1  2 r 故三棱柱 ABC 1_ CBA 1 1 的体积 1 2 AC V 1  又  AC  BC  2r  AC  BC  r 2  BC 2  2 AB  2 4r AC  BC  2 AC 2 BC  2  2 2 r 当且仅当 AC  BC 2 r 时等号成立。从而， V  1 3 2r 而圆柱的体积 V 2  r   2 r  3 2 r  ，故 p  V 1 V 2  3 1 2 r 2  r  3 ，当且仅当 AC  BC 2 r ，即 AB 时等号成立。所以， p 的最大值等于 OC  1  （ii）由（i）可知， p 取最大值时， OC  AB

于是，以 O 为坐标原点，建立空间直角坐标系 O  （如图）， xyz 则 )0,0,(rC ， B ,0( r )0, ， ,0(1 B r )2, r BC 平面 1ACC A 1 ， 是平面 1ACC A 1 的一个法向量设平面 OCB1 的法向量 n  ), ,( zyx ，取 1z ，得平面 OCB1 的一个法向量为 n )1,2,0(  0    90 ，解法二：（I）同解法一（II）（i）设圆柱的底面半径为 r，则 AB  故三棱柱 ABC 1_ CBA 1 1 的体积 V 1  设  BAC    0(   )90  ， AA 1 2 1  2 r ， AC  BC  2r  AC  BC  r 则 AC  AB cos  cos 2  r  ， BC  AB sin  sin 2  r  ，由于 AC  BC  2 4 r sin  cos  2 r 2 2sin   2 r 2 ，当且仅当时等号成立，故 V  1 3 2r 而圆柱的体积 V 2  r   2 r  3 2 r  ， 2sin  即 1 45 故 p  V 1 V 2  3 2 1 r 2  r  3 ，当且仅当 2sin  即 1 45 时等号成立。所以， p 的最大值等于 1  （ii）同解法一解法三：

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