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2002年北京高考理科数学真题及答案.doc
2002 年北京高考理科数学真题及答案
参考公式：三角函数的积化和差公式
;
;
sin
cos
cos
cos
[sin(
)
sin(
)]
)
sin(
)]
cos
cos
[cos(
)
cos(
)]
1
2
1
2
[sin(
1
2
[cos(
sin
sin
1
2
)
cos(
)]
1 c
S
台体 （
2
正棱台、圆台的侧面积公式
c)
l 其中 c 、c 分别表示上、下底面周长，l 表示
斜高或母线长
球体的体积公式
V
4 R
球
3
3
其中 R 表示球的半径．
一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．满足条件
的集合 M 的个数是（ ）
}3,2,1{}1{
M
(A)1
(B)2
2．在平面直角坐标系中，已知两点
(C)3
(cos
A
(D)4
0
80
0
sin,80
cos
),
B
0
sin,20
20
0
，则 AB 的值
是（ ）
1
2
(A)
(B)
2
2
(C)
3
2
3．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间
(A)
y
2
cos
x
(B)
y
sin2
x
(C)
y
a
4
4． 64 个直径都为
球，记其体积为 乙V ，表面积为 乙S ，则（ ）
(A)
V
V
S,V
且
乙
S,V
S
且
(B)
S
甲
乙
甲
乙
乙
甲
甲
(D)1
上为减函数的是（ ）
cos
x
(D)
y
cot
x
,
(
)
2
1
3
的球，记它们的体积之和为 甲V ，表面积之和为 甲S ；一个直径为 a 的
SS,VV
〈且〈
乙甲
乙甲
(C)
V
甲
S,V
且
乙
甲
S
乙
(D)
5．已知某曲线的参数方程是
x
y
sec
tan
(,
为参数
)
，若以原点为极点，x 轴的正半轴为极
轴，长度单位不便变，建立极坐标系，则该曲线的极坐标方程是（ ）
1
1
(B)
(C)
(A)
2
1
2
x
9
cos
5
2
，②
2
y
4
1
，③
2
x
2sin2
2
y
4
1
，④
2
x
4
2
y
1
．其
6．给定四条曲线：①
2
x
2
y
中与直线
x
y
(A)①②③
7．已知 1z ，
z 2
C
(A)6
5
0
(B)②③④
1
1 z
(B) 5
，且
仅有一个交点的曲线是（ ）
(C)①②④
(D) ①③④
．若
z
1
z
2
，则
2
(C) 4
z 的最大值是（ ）
1
z
2
(D)3
8．若
1
cot
1
cot
2
1
，则
cos
2
2sin
1
的值为（
）
(A)3
(B)-3
(C) -2
(D)
1
2
9．12 名学生分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口 4 人，则不同的分配方
案共有（ ）
4
12 CCC
8
种 (C)
种 (B)
(A)
4
8
4
4
4
4
4
4
123
CCC
ABCD
DCBA
1
1
4
3
PCC
12
3
中，平面
4
8
DCBA
1
1
是正方体”，那么，甲是乙的（ ）
4
种 (D)
8
ACB 与对角面
1
1
1
1
1
(B)充分非必要条件
4
3
/ PCCC
12
3
DDBB 1
4
4
垂直”；命题
种
1
(C)必要非充分条件 (D)即非充分
10．设命题：“直四棱柱
ABCD
乙：“直四棱柱
(A)充分必要条件
)3,3( 上的奇函数，当
0
x 时， )(xf 的图象如图所示，那么
3
的解集是（ ）
0
(A)
cos
)(
xf
)1,0(
又非必要条件
11．已知 )(xf 是定义在
不等式
,3(
x
)
2
)1,3(
)1,0(
(
)(
ixf i
(
2
)3,1(
)4,3,2,1
12．如图所示，
“对 ]1,0[ 中任意的 1x 和 2x ，任意
恒成立”的只有（ ）
(C)
)3,
(B)
(D)
(
2
,3(
)1,
)
2
)1,0(
)1,0(
)3,
(
2
)3,1(
是定义在 ]1,0[ 上的四个函数，其中满足性质：
1(
]1,0[
1(
)
(
xf
1
[
x
1
，
x
)
]
f
2
)
(
xf
2
)
f
2
)(
x
(A)
(D)
(
),
xf
1
)(4 x
f
(B)
f
)(2 x
(C)
f
2
(
x
),
f
3
)(
x
二．填空题：
,
)
．
),
2
5
5
4
13．
arcsin(
naaa
1
从大到小的顺序是
，公差不为零，且
arctan(
2
3
arccos(
),
4
14．等差数列 }{ na ，中，
1 a
那么该等比数列公比的值等于
15．关于直角 AOB 在平面内的射影有如下判断：①可能是 00 的角；②可能是锐角；③
可能是直角；④可能是直角；⑤可能是 0
．（注：把你
认为正确判断的序号都填上）．
8
2
16．已知 P 是直线
两条切线， A ， B 是切点，C 是圆心，那么四边形 PACB 面积的最小值
为
三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．
180 的角．其中正确的序号是
上的动点， PA ， PB 是圆
恰好是某等比数列的前三项，
0
E
4
y
．
的
．
0
3
8
2
y
x
y
x
x
,
2
2
3
17．解不等式
2
x
x
1
ABCD
2
DCBA
1
1
1
18．如图，在多面体
中，上、下底面平行且均为矩形，
相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交与 FE,
两点，上、下底面矩形的长、宽分别为 dc, 与 ba, ，且
，两
底面间的距离为 h ．
,
bc
d
a
1
D
1
c
A
1
D
A
a
F
C
1
C
d
b
B
1
B
（1）求侧面
（2）证明：
ABB 与底面 ABCD 所成二面角的大小；
1A
1
EF 面//
ABCD
；
（3）在估侧该多面体的体积时，经常运用近似公式
V
估
中截面
S
h
来计算，已知它的
体积公式是
hV
6
(
S
上底面
4
S
中底面
S
下底面
)
试判断 估V 与V 的大小关系，并加以证明．
（注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面．）
19．数列 }{ na 由下列条件确定：
x
1
a
0
，
x
1
n
1
2
(
x
n
a
x
n
),
Nn
．
（1）证明：对 2n ，总有
（2）证明：对 2n ，总有
（3）若数列 }{ na 的极限存在，且大于零，求
xn ；
x
；
a
x
n
1
n
lim
n
x
n
的值．
20．在研究并行计算的基本算法时，有以下简单模型问题：
用计算机求 n 个不同的数
,
vv
1 的和
nv
,
,
2
v
1
v
2
v
n
，计算开始前， n
个数存贮在 n 台由网络连接的计算机中，每台机器存一个数．计算开始后，在一个单位时间
内，每台机器至多到一台其他机器中读数据，并与自己原有数据相加得到新的数据，各台机
器可同时完成上述工作．为了用尽可能少的单位时间，即可完成计算，方法可用下表表示：
机器号 初始时
第一单位时间
第二单位时间
第三单位时间
n
v
i
i
1
1
2
1V
2V
（1）当 4n
机器号 初始时
被读机
号
结
果
被读机
号
结
果
被读机
号
2
1
结
果
1 VV
2
2 V
V
1
时，至少需要多少个单位时间可完成计算？把你设计的方法填入下表
被读机
第一单位时间
结
果
号
被读机
第二单位时间
结
果
号
被读机
第三单位时间
结
果
号
1
2
3
4
1V
2V
3V
4V
n
（2）当 128
时，要使所有机器都得到
n
i
1
iv
，至少需要多少个单位时间可完成计
算？（结论不要求证明）
21．已知
)0,0(O
，
)0,1(B
，
),( cbC
是 OBC
的三个顶点．
（1）写出 OBC
（2）当直线 FH 与OB 平行时，求顶点C 的轨迹．
的重心G ，外心 F ，垂心 H 的坐标，并证明
HFG ,
,
三点共线；
22 ． 已 知
(
baf
（1）求
（2）判断 )(xf 的奇偶性，并证明你的结论；
是 定 义 在 R 上 的 不 恒 为 零 的 函 数 ， 且 对 于 任 意 的
),0(
)(xf
)(
baf
f
的值；
)
．
)(
abf
)1(
f
Rba ,
都 满 足 ：
（3）若
f
)2(
2
，
u
n
f
n
()2(
n
Nn
)
，求数列 }{ nu 的前 n 项的和 nS
说明：
参考解答
一. 本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考
生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。
二. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容
和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；
如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
三. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
四. 只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。
一. 选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题 5 分，满分 60 分。
1. B
6. D
11. B
2. D
7. C
12. A
3. B
8. A
4. C
9. A
5. D
10. C
二. 填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题 4 分，满分 16 分。
13.
arctan(
5
4
)
arcsin(
2
5
)
arccos(
3
4
)
14. 4
15. （1）（2）（3）（4）（5）
16. 2 2
三. 解答题：本大题共 6 小题，共 74 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17. 本小题主要考查不等式的解法等基本知识，考查运算能力和逻辑思维能力，满分 12
分。
2
2
x
x
解：原不等式
2
1
1
x
x
2
2
x
x
1
2
2
x
x
1
2
2
x
2
1 0
x
0
2
1
(
x
x
2 2
)
1
2
2
x
2
x
x
1
2
x
5
0
因为
2
x
x
1
2
2
x
2
1 0
x
2
0
(
1
x
x
2
x
1 0
x
2
0
2 2
) 或
又
x
x
x
1
x
2
2
6
2
x
5x 或
x
5
2
1
2
5 0
或
1
2
x
2
1
5或
2
1
2
x
2
x
2
所以，原不等式组
1
2
x
1
2
x
x
1
2
5
5
因此，原不等式的解集为
{ |
x
x
1
2
}
5
18. 本小题主要考查直线、平面的位置关系，考查不等式的基本知识，考查空间想象能力
和逻辑推理能力，满分 12 分。
（1）解：过 B C1
1 作底面 ABCD 的垂直平面，交底面于 PQ，过 B1 作 B G PQ
1
,垂足为
Ｇ
A B C1
1
1
90
1
1 ，
平面 ABCD//平面 A B C D
1
1
AB PQ ， AB B P 1
B PG1 为所求二面角的平面角
过 C1 作 C H PQ
1 为等腰梯形
B PQC
1
1 ，垂足为 H，由于相对侧面与底面所成二面角的大小相等，故四边形
(
b d
)
1
PG
2
又 B G h
1
tg B PG
d
)
1
2
h
b d
B PG arctg
1
(
b
2
h
b d
，即所求二面角的大小为
arctg
2
h
b d
（2）证明： AB、CD 是矩形 ABCD 的一组对边，有 AB//CD
又 CD 是面 ABCD 与面 CDEF 的交线
AB//面 CDEF
EF 是面 ABFE 与面 CDEF 的交线
AB//EF
AB 是平面 ABCD 内的一条直线，EF 在平面 ABCD 外
EF//面 ABCD
（3）V
V估
证明：a
d
ab
V V
4
)
估
c ，b
h cd
(
6
a c
2
a c
2
b d
2
b d h
2
E F
D1 C1
A1 c B1 d
D Q C
H b
A a B
G
P
h
12
ab
2
[
V
2
cd
V估
2
(
a c b d
)(
)
3
(
a c b d
)(
)]
h a c b d
(
12
)(
)
0
19. 本小题主要考查数列、数列极限、不等式等基本知识，考查逻辑思维能力，满分 12
分。
（1）证明：由 x
1
扣分）
x
1
n
1
2
(
x
n
a
x
n
)
可归纳证明 xn 0 （没有证明过程不
及
a
0
x
1
n
(
x
n
1
2
从而有
所以，当 n 2 时， x
a
x
n
n
(
a n N
)
)
x
n
a
x
n
a
成立
（2）证法一：当 n 2 时，因为 x
x
1
n
x
n
所以
故当 n 2 时， x
1
2
(
x
n
a
x
n
)
x
n
x
n
n
1 成立
a
n
1
2
0 ，
a
x
x
n
n
2
x
1
n
1
2
(
x
n
a
x
n
)
0
证法二：当 n 2 时，因为 x
n
a
0 ，
x
1
n
1
2
(
x
n
a
x
n
)
1
2
(
x
n
a
x
n
)
x
x
n
x
1
n
n
n
所以
故当 n 2 时， x
x
n
limn
x
n
)
x
（3）解：记
1
2
1
a
x
x
(
n
n
n
由
a
2
x
n
2
2
x
n
x
2
n
2
n
2
x
x
2
n
1
1 成立
A
，则
limn
x
n
1
A
，且 A 0
a
lim
n
)
x
n
n
n
1
x
x
得
( lim
n
lim
n
1
2
A a
A
即
由 A 0 ，解得 A
a
1
2
A
(
)
故
20. 本小题主要考查运用数学思想方法，分析和解决科学问题的能力，满分 12 分
（1）解：当 n 4 时，只用 2 个单位时间即可完成计算
方法之一如下：
机器号 初始时
第一单位时间
被读机号 结果
1
2
3
4
v1
v2
v3
v4
2
1
4
3
v1 + v2
v2 + v1
v
3
v
4
v
4
v
3
第二单位时间
被读机号 结果
v
3
v
1
第三单位时间
被读机号 结果
v
3
v
4
2
4
1
2
v
2
v
1
v
4
v
3
v
3
v
4
v
1
v
2
v
4
v
3
v
2
v
1
（2）解：当 n
128
2 7
时，至少需要 7 个单位时间才能完成计算
21. 本小题主要考查直线与椭圆等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力，满分 13
分
（1）解：由 OBC 三顶点坐标 O（0，0），B（1，0），C（b，c）（ c 0 ），可求得
b 1
3 ，
c
3 ），外心 F（
1
2 ，
2
b
重心 G（
2 时，G、F、H 三点的横坐标均为
），垂心 H（b ，
2
b
c
2
c
1
2 ，故三点共线
2
b b
c
）
2 时，设 G、H 所在直线的斜率为 kGH ，F、G 所在直线的斜率为 k FG
b 1
b 1
当
当
k
GH
因为
c
3
k
FG
c
3
b
2
b b
c
1
b
2
3
c
2
c
1
2
k
FG
1
b
2
b
3
GH
2
c
2
3
3
b
b
)
(
1 2
b
c
b
2
c
2
3
3
b
b
)
1 2
(
c
b
所以 k
，G、F、H 三点共线
综上可得，G、F、H 三点共线
（2）解：若 FH//OB，由
k
FH
2
(
3
b
b
)
2
c
0
（ c 0 ，
(
3
b
1
2
2
)
2
c
3
4
，即
配方得
2
)
(
x
(
1
2
2
)
1
2
即
(
2
y
3
2
2
)
1
（
x 1
2
c
23
3
b
b
)
1 2
(
b
c
b 1
0
，得
2 ）
1
(
b
2
1
2
)
2
(
2
)
1
(
2
c
3
2
2
)
2 ， y 0 ）
1
2 ，0），长半轴长为
所以，顶点 C 的轨迹是中心在（
轴上的椭圆，除去（0，0），（1，0），（
1
2 ，
3
2 ），（
1
2 ，
1
2 ，且短轴在 x
3
2 ，短半轴长为
3
2 ）四点
22. 本小题主要考查函数与数列等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力，满分 13
分
( )
0
（1）解： f
f
1 1
( )
1
(
)
f
因为 f
所以 f ( )1
0
（2） f x( ) 是奇函数
证明：因为 f
f
( )
1
)
0 0
(
1
f
0
f
1
( )
1
0
( )
0
( )
1
f
f
( )
0
0
[(
2
) ]
1
f
(
1
)
f
(
1
)
0
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