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2002年北京高考文科数学真题及答案.doc
2002 年北京高考文科数学真题及答案
一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）
1．（5 分）满足条件
M
{1} {1
，2， 3} 的集合 M 的个数是 (
)
A．4
B．3
C．2
D．1
2．（5 分）在平面直角坐标系中，已知两点 (cos80 ,sin80 )
， (cos20 ,sin 20 )
，则|
A
B
|AB
的
)
值是 (
A． 1
2
B． 2
2
C． 3
2
D．1
3．（5 分）下列四个函数中，以 为最小正周期，且在区间 (
A．
y
2cos
x
B． 2 | sin |
x
y
C．
y
2
cos1( )
3
x
， ) 上为减函数的是 (
)
D．
y
cot
x
4．（5 分）在下列四个正方体中，能得出 AB CD 的是 (
)
A．
C．
B．
D．
5．（5 分）64 个直径都为
a 的球，记它们的体积之和为V甲 ，表面积之和为 S甲 ；一个直径为
4
a 的球，记其体积为V乙 ，表面积为 S乙 ，则 (
)
A．V
甲
V 乙
且 S
甲
S 乙
C．V
甲
V 乙
且 S
甲
S 乙
B．V
甲
V 乙
且 S
甲
S 乙
D．V
甲
V 乙
且 S
甲
S 乙
6．（5 分）若直线 :
l y
kx
与直线 2
3
x
3
y
的交点位于第一象限，则直线 l 的倾斜
6 0
角的取值范围 (
)
A．[
)
6 3
,
B． (
)
6 2
,
C． (
)
3 2
,
D．[
]
6 2
,
7．（5 分）
(1
8
)i 等于 (
)
A．16i
B． 16i
C． 16
D．16
8．（5 分）若 cot
1
2cot
1
1
，则 cos 2的值为 (
)
A． 3
5
B． 3
5
C． 2 5
5
D． 2 5
5
9．（5 分）5 本不同的书，全部分给四个学生，每个学生至少 1 本，不同分法的种数为 (
)
A．480
10．（5 分）已知椭圆
近线方程是 (
)
B．240
2
x
3
m
2
2
y
5
n
2
1
和双曲线
C．120
2
x
2
m
2
2
y
3
n
2
D．96
1
有公共的焦点，那么双曲线的渐
A．
x
15
2
y
B．
y
15
2
x
C．
x
3
4
y
D．
y
3
4
x
11 ．（ 5 分 ） 已 知 ( )
f x 的 定 义 在 (0,3) 上 的 函 数 ， ( )
f x 的 图 象 如 图 所 示 ， 那 么 不 等 式
( )cos
f x
x 的解集是 (
0
)
A． (0 ，1)
(2 ， 3)
C． (0,1)
(
2
,3)
B． (1,
,3)
)
(
2
2
(1 ， 3)
D． (0 ，1)
12．（5 分）如图所示， 1( )
f x ， 2( )
f x ， 3( )
f x ， 4( )
f x 是定义在[0 ，1] 上的四个函数，其中
x
满足性质：“对[0 ，1] 中任意的 1x 和 2x ， 1
(
f
x
2
)
2
1
2
[
(
f x
1
)
(
f x
2
)]
恒成立”的只有 (
)
A． 1( )
f x ， 3( )
f x
B． 2( )
f x
C． 2( )
f x ， 3( )
f x
D． 4( )
f x
二、填空题（共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分）
13．（4 分） 2
sin
5
从小到大的顺序是
,cos
,tan
7
5
6
5
．
14．（4 分）等差数列{ }na 中， 1
a ，公差不为零，且 1a ， 3a ， 11a 恰好是某等比数列的前
2
三项，那么该等比数列公比的值等于
．
15．（4 分）关于直角 AOB 在定平面 a 内的射影有如下判断：①可能是 0 的角；②可能是
锐角；③可能是直角；④可能是钝角；⑤可能是180 的角．其中正确判断的序号是
（注
: 把你认为是正确判断的序号都填上）．
16．（4 分）圆 2
x
2
y
2
x
2
y
1 0
上的动点 Q 到直线 3
x
4
y
距离的最小值为
8 0
．
三、解答题（共 6 小题，满分 74 分）
17．（12 分）解不等式 2
x
1
．
2
x
18．（12 分）如图，在多面体
ABCD A B C D
1
1 1
1
中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧
面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交于 E ， F 两点，上、下底面矩形
的长、宽分别为 c ， d 与 a ， b ，且 a c ， b
d ，两底面间的距离为 h ．
（Ⅰ）求侧面
1ABB
1A 与底面 ABCD 所成二面角的大小；
（Ⅱ）证明： / /
EF 面 ABCD ．
19．（12 分）数列{ }nx 由下列条件确定： 1
x
（Ⅰ）证明：对 2n
，总有 nx
a
；
a ， 1
x
n
0
1 (
2
x
n
， n N ．
)
a
x
n
（Ⅱ）证明：对 2n
，总有
x
x
；
n
1
n
（Ⅲ）若数列{ }nx 的极限存在，且大于零，求 lim n
x
n
的值．
20．在研究并行计算的基本算法时，有以下简单模型问题：
用计算机求 n 个不同的数
,
vv
1 的和
nv
,
,
2
v
1
v
2
v
n
，计算开始前，n 个
数存贮在 n 台由网络连接的计算机中，每台机器存一个数．计算开始后，在一个单位时间内，
每台机器至多到一台其他机器中读数据，并与自己原有数据相加得到新的数据，各台机器可
同时完成上述工作．为了用尽可能少的单位时间，即可完成计算，方法可用下表表示：
n
v
i
i
1
机器号 初始时
第一单位时间
第二单位时间
第三单位时间
被读机
号
结
果
被读机
号
结
果
被读机
号
结
果
1
2
1V
2V
4n
（1）当
机器号 初始时
2
1
1 VV
2
2 V
V
1
时，至少需要多少个单位时间可完成计算？把你设计的方法填入下表
被读机
第一单位时间
结
果
号
被读机
第二单位时间
结
果
号
被读机
第三单位时间
结
果
号
1
2
3
4
1V
2V
3V
4V
n
（2）当 128
时，要使所有机器都得到
n
i
1
iv
，至少需要多少个单位时间可完成计
算？（结论不要求证明）
21．（13 分）已知 (0,0)
O
， (1,0)
B
， ( , )
C b c 是 OBC
的三个顶点．
（Ⅰ）写出 OBC
的重心 G ，外心 F ，垂心 H 的坐标，并证明 G ， F ， H 三点共线；
（Ⅱ）当直线 FH 与 OB 平行时，求顶点 C 的轨迹．
22．（13 分）已知 ( )
f x 是定义在 R 上的不恒为零的函数，且对于任意的 a ， b R 都满足：
(
f ab
)
af （b） bf （a）．
（1）求 (0)
f 及 f （1）的值；
（2）判断的奇偶性，并证明你的结论；
u
（3）若 f （2） 2 ，
n
f
n
(2 ) (
2
n
n N
，求证数列{ }nu 是等差数列，并求{ }nu 的通项公式．
)
*
参考答案与试题解析
一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）
1．（5 分）满足条件
M
{1} {1
，2， 3} 的集合 M 的个数是 (
)
A．4
B．3
C．2
D．1
【解答】解：
M
{1} {1
，2， 3}
{2M ， 3} 或{1 ，2， 3}
故选： C ．
2．（5 分）在平面直角坐标系中，已知两点 (cos80 ,sin80 )
， (cos20 ,sin 20 )
，则|
A
B
|AB
的
)
值是 (
A． 1
2
B． 2
2
【解答】解： (cos80 ,sin80 )
A
C． 3
2
，
， (cos20 ,sin 20 )
B
D．1
|
AB
|
(cos80
故选： D ．
cos20 )
2
(sin80
sin 20 )
2
2 2cos60
0
1
．
3．（5 分）下列四个函数中，以 为最小正周期，且在区间 (
A．
y
2cos
x
B． 2 | sin |
x
y
C．
y
2
cos1( )
3
x
， ) 上为减函数的是 (
)
D．
y
cot
x
【解答】解：由题意考察选项， C 的周期不是 ，所以 C 不正确；
由于
Ay
2cos
x
在区间 (
2
， ) 上为增函数，选项 A 不正确；
y
2 | sin |
x
以 为最小正周期，且在区间 (
2
， ) 上为减函数，正确；
y
cot
x
且在区间 (
2
故选： B ．
， ) 上为增函数， D 错误；
4．（5 分）在下列四个正方体中，能得出 AB CD 的是 (
)
A．
B．
C．
D．
【解答】解：在 A 中， CD BE ， CD AE ， BE
AE E
，
CD
平面 ABE ，又 AB 平面 ABE ， AB CD
，故 A 正确；
在 B 中， AB 与 CD 成 60 角，故 B 错误；
在 C 中， AB 与 CD 成 45 角，故 C 错误；
在 D 中， AB 与 CD 所成角的正切值为 2 ，故 D 错误．
故选： A ．
5．（5 分）64 个直径都为
a 的球，记它们的体积之和为V甲 ，表面积之和为 S甲 ；一个直径为
4
a 的球，记其体积为V乙 ，表面积为 S乙 ，则 (
)
A．V
甲
V 乙
且 S
甲
S 乙
C．V
甲
V 乙
且 S
甲
S 乙
B．V
甲
V 乙
且 S
甲
S 乙
D．V
甲
V 乙
且 S
甲
S 乙
【解答】解：64 个直径都为
a 的球，记它们的体积之和为
4
V
甲
64
3
4
3
a
8
3
a
6
，表面积
之和为
S
甲
64 4
(
a
8
2
)
2
4
a
；
一个直径为 a 的球，记其体积为
V
乙
3
4
3
a
2
3
a
6
，表面积为
S
乙
4 (
a
2
2
)
a
2
；
所以V
甲
V 乙
且 S
甲
S 乙
故选： C ．
6．（5 分）若直线 :
l y
kx
与直线 2
3
x
3
y
的交点位于第一象限，则直线 l 的倾斜
6 0
角的取值范围 (
)
D．[
]
6 2
,
A．[
)
6 3
,
B． (
)
6 2
,
C． (
)
3 2
,
【解答】解：联立两直线方程得：
kx
y
2
3
x
3
①
0
6
y
，
②
将①代入②得： 3 3 6
2 3
k
x
③，把③代入①，求得 6
y
2 3
k
2 3
k
，
所以两直线的交点坐标为 3 3
6
2 3k
(
， 6
2 3 )
k
2 3
k
，
因为两直线的交点在第一象限，所以得到
3 3 6
2 3
k
2 3
6
k
2 3
k
0
①
0
②
，
由①解得：
k ；由②解得
2
3
k 或
k ，所以不等式的解集为：
2
3
k ，
3
3
设直线 l 的倾斜角为，则
tan
，所以 (
， )
2
6
．
3
3
3
3
方法二、直线 l 恒过定点 (0,
，作出两直线的图象．，
3)
与 x 轴交于点 A ，与 y 轴交于点 B ．从图中看出，
设直线 2
斜率 APk
6 0
3
x
y
k ，即 3
3
k ，
故直线 l 的倾斜角的取值范围应为 (
6
， )
2
．
故选： B ．
7．（5 分）
(1
8
)i 等于 (
)
A．16i
B． 16i
C． 16
D．16
【解答】解：
(1
i
8
)
8
2 (cos45
i
8
sin 45 )
16(cos360
i
sin360 )
16
故选： D ．
1
8．（5 分）若 cot
2cot
1
A． 3
5
1
【解答】解：由 cot
2cot
1
1
，则 cos 2的值为 (
)
B． 3
5
1 tan
2 tan
C． 2 5
5
D． 2 5
5
1
，得到
tan
，
1
2
则
cos2
2cos
2
1
2
2
sec
1
2
1 tan
2
1
2
1
11
4
3
5
．
故选： A ．
9．（5 分）5 本不同的书，全部分给四个学生，每个学生至少 1 本，不同分法的种数为 (
)
A．480
B．240
C．120
D．96
【解答】解：由题意知先把 5 本书中的两本捆起来看做一个元素共有 2
5C ，
这一个元素和其他的三个元素在四个位置全排列共有 4
4A ，
分法种数为 2
C A
5
4
4
240
．
故选： B ．
10．（5 分）已知椭圆
近线方程是 (
)
2
x
3
m
2
2
y
5
n
2
1
和双曲线
2
x
2
m
2
2
y
3
n
2
1
有公共的焦点，那么双曲线的渐
A．
x
15
2
y
B．
y
15
2
x
C．
x
3
4
y
D．
y
3
4
x
【解答】解：椭圆和双曲线有公共焦点
，整理得 2
28m
n ，
3
n
2
2
2
5
n
2
2
m
2 2
3
m
m
n
双曲线的渐近线方程为
y
2
2
3
n
2
m
3
4
x
故选： D ．
11 ．（ 5 分 ） 已 知 ( )
f x 的 定 义 在 (0,3) 上 的 函 数 ， ( )
f x 的 图 象 如 图 所 示 ， 那 么 不 等 式
( )cos
f x
x 的解集是 (
0
)
A． (0 ，1)
(2 ， 3)
C． (0,1)
(
2
,3)
B． (1,
,3)
)
(
2
2
(1 ， 3)
D． (0 ，1)
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