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泛函分析 山大出版社 习题答案.pdf
-数缘社区电子书扉页.pdf
山大版泛函习题答案7－11章.pdf
321.pdf
泛函习题答案（大部分）1.pdf
fhfx exe 07-1 051021.PPT
fhfx exe 08.ppt
fhfx exe 09.ppt
fhfx exe 10.ppt
fhfx exe 11.ppt
第七章距离空间、赋范线性空间
.1
证明距离空间
x
x
x
*
fi
设
，
n
n
xx
0
*)*
*,
(
£
£
r
xx
*)*
(
*,
r
所以
X
中的收敛列
nx
n
x
( **
)
fi
¥fi
，则
xx
xx
*)*,
(
*)
,
(
+
r
r
n
n
x
x
0
*
*.*
=
=
，即
{
}
的极限是唯一的
.
fi
( 0
n
¥fi
)
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试证距离空间
.2
的任一子列收敛于
x
fi
设
n
xx
(
,
r
n
x
*)
( *
fi
n
¥fi
0
，故
n
{
x
x
{
X
x
*
˛
}
收敛于
X
中的序列
x
.*
x
x
}
{
{)
的任一子列，依条件，
是，
n
x
(
*)
,
r
fi
0
，所以
n
x
fi
.*
x
x
}
}
n
k
n
k
n
k
x
反之，设
x
}
*
{
的任一子列收敛于
n
0
>
e
，使对任意的自然数
则必存在
0
x
*)
,
e
‡
r
，于是可选取
n
0
x
x
(
r
x
}
{
不收敛于
显然
‡
.*
*)
x
x
x
e
{
(
,
n
n
0
k
n
k
n
{
x
，如果
N
}
不收敛于
Nn
>
，都存在
x
}
使
{
x
*
，使
}
的一个子列
n
k
，
此与假设矛盾，故
{
x
n
}
收敛于
x
.*
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)
+
r
)1(
wz
,(
y
x
X
wz
.3
是距离空间
、、、设
zx
zy
yx
(
),
| )i(
|),
)
(
,
(
r
£
r
-
r
zx
wy
yx
),
(
| )ii(
|)
,
,
(
)
(
r
r
r
£
-
zx
yx
zy
),
(
)i(
)
,
),
(
(
r
r
r
+
£
由
得
zx
zy
yx
(
),
(
(
),
)
,
r
r
r
-
£
zy
xy
zx
),
)
(
(
),
,
(
r
r
r
+
£
再由
得
zy
zx
yx
(
),
(
(
),
)
,
)2(
-
r
r
r
£
zx
zy
yx
)2()1(
),
(
(
|
|),
(
,
)
r
£
r
-
r
结合
、
即得：
zx
zy
yx
yx
)ii(
,
),
)
),
(
(
)
,
(
(
(
r
r
+
r
£
+
r
r
£
由
yx
wz
wy
zx
)3(
(
(
(
,(
),
)
)
)
,
,
r
r
r
-
£
+
r
xy
wy
zx
wz
)
)
),
(
(
(
,(
,
,
)
r
r
r
r
+
+
£
再由
得
zx
wy
yx
wz
(
(
(
,(
,
)
)
),
,
)
-
r
+
r
r
£
r
zx
yx
wy
,
|)
)4()3(
),
|
(
(
(
,
-
r
r
r
£
结合
、
即得：
中的任意四个点，证明
：
wy
,
)
+
r
(
zw
),
得
r
wz
,(
)
)4(
)
+
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距离吗？
.
.
y
z
,2
(
n
的距离
x
(
-
y
)
-
是定义在实数集合上的
y
2)
2
不是定义在实数集合上
yx
)
,
(
.4
=
r
x
yx
(
)
,
(
=
r
x
),(
r
不能对所有的
满足、、
因为
yz
zx
yx
)
,(
(
),
)
,
r
+
r
£
r
y
z
x
0
2
1
4
=
=
>
=
，
时，
，
比如取
X
y
x
{}
}
.5
{
是距离空间
、
中的基本列，证明
设
n
n
y
x
.
,
)
(
a =
r
收敛
n
n
x
(
)
,
r
¥fi
fi
依条件：
y
(
,
)
fi
¥fi
r
n
m
x
x
,
(
|
(
|
,
-
a
a
=
r
再由
n
m
m
n
x
y
(
(
,
,
r
£
n
Cauchy
{
}
.
a
数列，故收敛
即知
是
上式就不成立
mn
,( 0
mn
,( 0
y
)
-
r
x
)
+
r
n
m
|)
m
)
m
)
)
y
y
n
m
x
y
|
n
n
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.6
试证距离空间
X
中的任一集合
A
的闭包是闭集。
设
Ax
'
，则对任意
˛
e
>
0
，存在
x
˛
xA
,
e
e
„
x
且
r
(
xx
,
e
)
<
e
2
，因为
x
e
˛
A
,
如果
x
ˇ
A
e
，则必
x
e
˛
A
'
，
于是有
Ax
'
˛
，使
x
'
„
x
e
且
r
(
xx
,'
,
r
(
xx
,
e
)),
所以
故
'
„
Ax
'
xx
x
x
,
(
r
且
A
A
'
˛
即，
)'
<
e
，因
A
,
>
e
A
所以
)
<
min(
e
2
是任意的，
e
0
是闭集
.
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|
|
(
r
(
r
e
，则
.7
X
设
是距离空间，
G
X
x
Ax
{
,
=
˛
F
x
X
Ax
{
,
=
˛
Gx
)i(
(
r
˛
=
设
0
d
2
)
xBy
(
˛
)
r
时，
(
e
Ay
,(
)
<
+
-
e
e
,
0
0
e
0
<
1
2
)ii(
设
x
0
˛
0
，试证：
e
X
，
A
>
}
)
e
<
是开集，
}
)
£
e
Ax
,
)
<
0
e
d
，令
是闭集。
£
r
xy
,(
)
+
r
(
Ax
)
0
,
0
-=
e
e
，则当
0
.
所以
xB
(
0
0
F
'
，则存在
x
n
,
d
2
˛
)
G
G
.
，故
是开集
xF
，
n
fi
x
，
0
对每个
n
，取
x
n
'
˛
A
，满足
r
(
x
,
x
n
)'
n
+<
e
，则
r
(
Ax
0
,
)
£
r
(
令
n
¥fi
即得
,
xx
0
(
r
n
,
)
+
r
(
x
,
x
n
)'
<
r
(
xx
0
,
n
Ax
0
)
£
e
，故
˛
F
0
，所以
F
n
x
1
n
)
e
++
1
n
是闭集
.
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.8
设
r
(
yx
,
)
是距离空间
X
上的距离，则
也定义了
X
上元素间的距离
.
(~
r
yx
,
)
=
r
+
yx
,
)
(
yx
,
(
r
)
1
yx
,
)
x
y
由定义显然有：
(~
i)
r
‡
iii)
，，设
(~
r
yx
,
=
)
yx
,
(
r
-=
1
(~
0
r
，且
Xz
˛
，则
yx
(
,
)
r
yx
(
,
1
r
+
zx
),
)
r
+
)
(~
yx
,
r
yz
,(
)
ii)
r
(~
r
)
＝
xy
,
)
1
zx
)
,
1
+
r
(
+
r
yz
,(
)
-£
1
1
0)
＝
yx
,
)
x
(
r
y
=
zx
)
,
£
+
1
yx
(
,
r
+
yz
,(
)
r
zx
yz
,
)
(
,(
r
r
+
(~
,(~
yz
r
r
zx
),
+
)
)
)
=
1
£
+
r
1
+
所以
1
+
(
r
zx
yz
,(
,
(
)
r
zx
yz
(
),
,(
)
r
zx
yz
(
),
,(
r
r
+
),(~
X
r
也定义了
上的距离
=
+
+
1
)
.
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.9
试证任一离散空间必是
完备的
.
设
X
r
(
yx
,
)
是离散空间，
y
x
0
当
x
y
1
当
X
x
N
Nmn
}
,
{
，使当
是
中任一基本列，则存在
n
xx
x
x
Nmn
,
(
1
.0)
(
)
,
,
r
r
<
‡
时，
，从而当
＝
n
n
m
Nn
x
x
x
.
‡
fi
即当
，故
时，
N
=
„
x
n
=
n
N
=
‡
时
m
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