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Physics for Game Programmers
GRANT PALMER
Physics for Game Programmers
Copyright © 2005 by Grant Palmer
All rights reserved. No part of this work may be reproduced or transmitted in any form or by any means,
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Lead Editor: Tony Davis
Technical Reviewers: Alan McLeod, Jack Park
Editorial Board: Steve Anglin, Dan Appleman, Ewan Buckingham, Gary Cornell, Tony Davis, Jason Gilmore,
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Contents at a Glance
About the Author . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvii
About the Technical Reviewers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xix
Acknowledgments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxi
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxiii
CHAPTER 1
CHAPTER 2
CHAPTER 3
CHAPTER 4
CHAPTER 5
CHAPTER 6
CHAPTER 7
CHAPTER 8
CHAPTER 9
CHAPTER 10
CHAPTER 11
CHAPTER 12
CHAPTER 13
CHAPTER 14
CHAPTER 15
Adding Realism to Your Games . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Some Basic Concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Basic Newtonian Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Basic Kinematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Projectiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Collisions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
Sports Simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
Cars and Motorcycles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
Boats and Things That Float . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
Airplanes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
Rockets and Missiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
The Physics of Solids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
Explosions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
Lasers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
Probabilistic and Monte Carlo Simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
■INDEX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
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Contents
Contents
About the Author . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvii
About the Technical Reviewers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xix
Acknowledgments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxi
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxiii
■CHAPTER 1
Adding Realism to Your Games . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Physics Will Keep Your Games from Looking Fake . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Adding Physics-Based Realism Is Easier Than You Might Think . . . . . . . . 2
Adding Physics Won’t Affect Game Performance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Knowing Some Physics Will Make You a Better Game Programmer . . . . 4
Let’s Add Some Realism to Your Games . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
■CHAPTER 2
Some Basic Concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Systems of Units . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Scientific Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Summation Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Greek Letters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Coordinate Systems and Frames of Reference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Scalars and Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Computing the Magnitude of a Vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
The Unit Vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Vector Cross Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Matrix Multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Rotation Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
vii
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■C O N T E N T S
■CHAPTER 3
Basic Newtonian Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
A Short Biography of Sir Isaac Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Newton’s First Law of Motion: Inertia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Newton’s Second Law of Motion: Force, Mass,
and Acceleration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Newton’s Third Law of Motion: Equal and Opposite Forces . . . . . . 24
Force Vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Types of Forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Gravitational Force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Friction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Centripetal Force. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Force Balances and Force Diagrams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Work . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Kinetic Energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Potential Energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Other Forms of Energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Conservation of Energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Power . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Answers to Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
■CHAPTER 4
Basic Kinematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Translational Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
The Relationship Between Force, Acceleration, Velocity,
and Location . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Solving the Translational Equations of Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Beanbag Game . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Solving Ordinary Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Rotational Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Torque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Torque and Angular Acceleration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Rigid Body Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Center of Mass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Rigid Body Motion Coordinate Axes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Rolling Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Bowling Ball Kinematics. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Answers to Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
■CHAPTER 5
Projectiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
■C O N T E N T S
ix
Basic Concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
The Gravity-Only Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Force and Acceleration Equations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Location Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Finding the Time for a Projectile to Reach the Trajectory Apex. . . . 88
The SimpleProjectile Class . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
The Golf Game. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Summary: Gravity-Only Projectile Trajectory Model . . . . . . . . . . . . . 97
Aerodynamic Drag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Basic Concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Drag Coefficient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Altitude Effects on Density. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Laminar and Turbulent Flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Adding Drag Effects to the Equations of Motion . . . . . . . . . . . . . . . 104
Force and Acceleration Equations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Velocity Equations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Location Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Terminal Velocity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Programming Drag Effects into the Projectile
Trajectory Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Golf Game Version 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Summary: Adding Drag to the Projectile
Trajectory Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
Wind Effects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Programming Wind Effects into the Projectile
Trajectory Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Golf Game Version 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Summary: Adding Wind Effects to the Projectile
Trajectory Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Spin Effects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Magnus Force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
Programming Spin Effects into the Projectile
Trajectory Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
Golf Game Version 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
Summary: Adding Spin Effects to the Projectile
Trajectory Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
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