洪帆《离散数学基础》(第三版)课后习题答案.pdf-资料库

第 1 章集合 1、列举下列集合的元素 (1) 小于 20 的素数的集合 (2) 小于 5 的非负整数的集合 (3) { | i i ∈ 2 , I i − 10 i − 24 0 5 ≤ ≤且 < i 15} 答：(1) {1,3,5,7,11,13,17,19} (2) {0,1,2,3,4} (3) {5,6,7,8,9,10,11} 2、用描述法表示下列集合 (1) a a a a a , } { , 1 5 , , 4 2 3 答：{ | ia i ∈ I ,1 ≤ ≤ i 5} (2) {2,4,8, } 答：{2 | i i N∈ } (3) {0,2,4, 100} 答：{2 | i i Z ∈ ,0 ≤ ≤ i 50} 3、下面哪些式子是错误的？ (1) { } {{ }} 答：正确 a∈ a (2) { } a a⊆ {{ }} 答：错误 (3) { } {{ }, } a a ∈ a 答：正确 (4) { } a ⊆ {{ }, } a a 答：正确 a ,{3},4} 和 {{ },3,4,1} a= R ，指出下面哪些论断是正确的？哪些是 = 4、已给 {2, S 错误的？ (1) { }a S∈ 错误 1

(2) { }a R∈ 正确 (3) { ,4,{3}} a S⊆ 正确 R⊆ 正确 a (4) {{ },1,3,4} (5) R S= 错误 (6) { }a S⊆ 正确 (7) { }a R⊆ 错误 (8) Rφ⊆ 正确 (9) φ⊆ {{ }}a ⊆ 正确 R (10) { } Sφ ⊆ 错误 (11) Rφ∈ 错误 (12) φ⊆ {{3},4} 正确 5、列举出集合 , ,A B C 的例子，使其满足 A B∈ ， B C∈ 且 A C∉ ，显然 A B∈ ， {{{ }}} C = a A B a= a= ， {{ }} 答： { } 6、给出下列集合的幂集 (1) { ,{ }} a b ，显然 B C∈ ，但是 A C∉ 。答：幂集{ ,{ },{{ }},{ ,{ }} a b φ a b (2) { , a aφ ,{ }} 答：幂集{ ,{ },{ },{{ }},{ , },{ ,{ }},{ ,{ }},{ , φ φ φ φ φ a a a a a a ,{ }}} a a 7、设 { } a= ，给出 A 和 2A 的幂集 A 答： 2 A aφ= { ,{ }} A 22 = { ,{{ }},{{ }},{ ,{ }}} φ φ φ a a 8、设 A = { , a a 1 2 ,  由 17B 和 31B 所表示的 A 的子集各是什么？应如何表示子 , } a 8 集 2, 6 { a a a 和 1 a a { , } 3 } , 7 B 答： 17 = B 00010001 = { , } a a 8 4 2

B 31 = B 00011111 = { , , } a a a a a 4 8 , , 5 6 7 { , a a a 2, 6 7 } = B 01000110 = ， 1 B 70 { , } a a 3 = B 10100000 = B 160 9、设 {1,2,3,4,5} U = ， {1,4} A = ， {1,2,5} B = ， {2,4} C = ，确定集合： (1) A B′∩ (2) ( A B ∩ ∪ (3) C′ ) A ∪ ∩ (4) ( B C ( ) A B ∪ ∩ ∪ ) A C ) ( (5) ( A B ′∩ (6) A ) B′ ′∪ (7) ( B C ′∪ ) (8) B C′ ′∩ (9) 2 2A C− (10) 2 A C∩ 2 答：(1) B′ = {3,4} ， A B′∩ = {4} (2) (3) A B∩ = ， {1,3,5} C′ = {1} ， ( A B ∩ ∪ = C′ ) {1,3,5} B C∩ = ， ( {2} ∪ ∩ = B C ) {1,2,4} A (4) A B∪ = {1,2,4,5} ， A C∪ = {1,2,4} ， ( A B ∪ ∩ ∪ = A C ) {1,2,4} ) ( (5) ( A B ′∩ ) = {2,3,4,5} (6) A′ = {2,3,5} ， B′ ′∪ = A {2,3,4,5} (7) B C∪ = {1,2,4,5} ， ( B C ′∪ ) = {3} (8) B′ = {3,4} ， {1,3,5} C′ = ， B C′ ′∩ = {3} (9) 2 A φ= { ,{1},{4},{1,4}} ， 2 C φ= { ,{2},{4}{2 4}} ，，， 2 A 2 C− = {{1},{1,4}} A 2 ∩ = C φ { ,{4}} (10) 2 10、给定自然数集 N 的下列子集： < ， { | i i = A = {1,2,7,8} { | i i 50} ， C B = 2 可被整数，0 3 ≤ ≤ i 30} ≤ ≤ k 6} ,0 = = k Z ∈ { | 2 , k D i i 求下列集合： (1) ( C D ∪ ∪ ∪ A B ( )) 答： {1,2,3,4,5,6,7} B = ， C = {0,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30} ， {1,2,4,8,16,32,64} D = A ∪ ∪ ∪ ( C D B ( )) {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,12,15,16,18,21,24,27,30,32,64} = ∩ ∩ ∩ = ( C D φ )) B ( (2) A 3

(3) B − ∪ ) A C ( 解： A C∪ = {0,1,2,3,6,7,8,9,12,15,18,21,24,27,30} ， ( − ∪ = A C ) {4,5} B (4) ( ′ ∩ ∪ A D B ) 解： ′ ∩ = − = A B B A {3,4,5,6} ， ( ′ ∩ ∪ = A D B ) {1,2,3,4,5,6,8,16,32,64} 11、给定自然数集 N 的下列子集 C A < ， { | { | n n n n 12} B = = ≤ ， { | 8} n n = = E = { | n n = 2 k − 1, k N ∈ } 2 , k k N ∈ ， { | D n n = } 将下列集合表示为由 , A B C D E 产生的集合： , , , (1) {2,4,6,8} (2){3,6,9} (3){10} (4){ | n n = 3 n 或或 6 = n ≥ 9} (5) { | n n n 是偶数且 ≤ 10 n 或是奇数且 n > 9} (6) { | } n n是的倍数 6 答： {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11} A = ， {1,2,3,4,5,6,7,8} B = C = {2,4,6,8, }  ， {3,6,9,12, } D =   ， {1,3,5,7, } E = = ∩ {2,4,6,8} B C {3,6,9}= A D∩ {10}= (( − A B D E − − ) ) (4){ | n n = 3 n 或或 6 = n ≥ 9} =  {3} {6} {9,10,11,12, } ∪ ∪ = {3,6,9,10,11,12, } ( = ∩ ∪ A D  ) B′ (5) {2,4,6,8,10,11,13,15, } ((  = A E − ∪ − E B ) ( )) − (( A D B ∩ − ) = 3 , k k N ∈ } ) 是的倍数 6 n n (6) { | } {6,12,18,24,30 } = = C D∩ 12、判断以下哪些论断是正确的，哪些论断是错误的，并说明理由。 (1) 若 a A∈ ，则 a A B ∈ ∪ 4

答：正确，根据集合并的定义 (2) 若 a A∈ ，则 a A B ∈ ∩ 答：显然不正确，因为根据集合交运算的定义，必须 a 同时属于 A 和 B (3) 若 a A B 答：正确 ∈ ∩ ，则 a B∈ (4) 若 A B⊆ ，则 A B B ∩ = 答：错误 ∩ = (5) 若 A B⊆ ，则 A B A 答：正确 (6) 若 a A∉ ，则 a A B ∉ ∪ 答：错误 (7) 若 a A∉ ，则 a A B ∉ ∩ 答：正确 13、设 , 由 (1) 若 A B A C 答：不正确，反例，设 A φ= ，则不论 ,B C 是什么集合，都有 A B A C φ ,A B C 是任意的集合，下述论断哪些是正确的？哪些是错误的？说明理 ∩ = ∩ ，则 B C= ∩ = ∩ = ，但显然 ,B C 不一定相等。 ∪ = ，则对 a A ∀ ∈ ，有 a A B B ∈ ∪ = ，则有 a B∈ ， ∪ = 显然成立。 ∩ = ，则对 a A ∀ ∈ ，因此 a A B ∀ ∈ ，有 a B∈ ，因此由 a A∈ ，可以得出 a A B ∈ ∩ ，则 a B∈ ， ∈ ∩ ， ∪ = ，有 A B⊆ ； (2) 当且仅当 A B B 答：正确，证明如下：若 A B B 因此有 A B⊆ 。反之，若 A B⊆ ，则 A B B (3) 当且仅当 A B A ∩ = ，有 A B⊆ 答：正确，证明如下：若 A B A 则有 A B⊆ 。若 A B⊆ ，则 a A ⊆ ∩ ，又 A B ∩ ⊆ ，有 A B A ∩ = 。 A 因此 A A B 5

(4) 当且仅当 A C⊆ ，有 ( ∩ − = B C φ A ) 答：不正确，因为 ( ∩ − B C A ) = ∩ ∩ ，因此不一定需要满足 A C⊆ ，而若 A B C′ A B φ∩ = 也可以满足。例如： { , , } a b c A = ， { , } d e B = ， { , } a b C = ， ( ∩ − B C φ A = ) 成立，而 A C⊆ 不成立。 (5) 当且仅当 B C⊆ ，有 ( A B − ∪ = C A ) 答：不正确，因为若 B C⊆ ，有 ( A B − ∪ = 成立，但是反之不成立，反例如 C A ) 下: A = {1,2,3,4,5} ， {1,6} B = ， {1,2} C = ，而 A B− = {2,3,4,5} ， {1,2,3,4,5} ，但是 B C⊆ 不成立。 − ∪ = C ) A B ( 14、设 , A B C D 是集合，下述哪些论断是正确的？哪些是错误的？说明理由。 , , (1) 若 A B C D ⊆ ，则 ⊆ , A C ∪ ⊆ ∪ ) B D ( 答：正确，证明：对 a A C ∀ ∈ ∪ ，则 a A∈ 或 a C∈ ，因为 A B C D ⊆ ，因此 a B∈ ⊆ , 或 a D∈ ，因此 a B D ∈ ∪ ，即 A C ∪ ⊆ ∪ 成立。 B D ( ) , ⊆ ⊆ ，则 A B C D (2) 若答：正确 (3)若 A B⊂ ，C D⊂ ，则答：正确 (4) 若 ⊂ A B C D ⊂ ，则 , A C ∩ ⊆ ∩ ) B D ( A C ∪ ⊂ ∪ ) B D ( A C ∩ ⊂ ∩ ) B D ( 答：不正确。例如若 A B C D ⊂ ，但是 A C φ∩ = ， B D φ∩ = ，则 ⊂ , φ = ∩ ⊆ ∩ = 。 B D A C φ ( ) 15、设 ,A B 是两个集合，问： (1)如果 A B B 答：因为 A B B − = ，那么 A 和 B 有什么关系？ − = ，而 A B A B − = ∩ = ，即对 a B ∀ ∈ 有 B′ a A a B′ ∈ ∈ ，因此 , 6

= 。 A B φ= (2) 如果 A B B A − = − ，那么 A 和 B 有什么关系？答：充要条件是 A B= 。证明：因为 A B B A − = − 的 ( A B − ∪ = A ) ( ) B A − ∪ ，从 A 而有 A A B = ∪ ，即 A B⊆ ，同理可证明 B A⊆ ，因此 A B= 。 16、设 ,A B 是任意集合，下述论断哪些是正确的？哪些是错误的？说明理由。 A 2 ∪ = ∪ A B B (1) 2 答：不正确。例如 { , } a b A 2 = ， { , } b c B = ，则 A B ∪ = { , , } a b c 2 A B φ∪ = { ,{ },{ },{ },{ , },{ , },{ , },{ , a b a c b c a b c , }} a b c A 2 φ= { ,{ },{ },{ , }} a b a b B ， 2 φ= { ,{ },{ },{ , }} b c b c B A 2 2 A ∪ = ∪ 不成立。 2 A B ∩ = ∩ 2 B A B 显然 2 (2) 2 答：成立。证明：对 C∀ ∈ ∩ ，则 2A C ∈ 且 2B C ∈ ，则 2 2 A B C A C B ⊆ ，则 ⊆ , C A B ⊆ ∩ ，因此 2A B ∩∈ C 。反之，若 ∀ ∈ C 2A B ∩ ，则C A B ⊆ ∩ ，则C A⊆ 且C B⊆ ，因此 2A C ∈ ，且 2B C ∈ ，因此 2 C ∈ ∩ ，即 2 2 A B ∩ = ∩ 。 A B 2 2 A B (3) 2 ′ A = ′ (2 ) A 答：显然不成立，因为左边集合肯定含有φ，而右边不含有。 17、在一个班级的 50 个学生中，有 26 人在离散数学的考试中取得了优秀的成绩；21 人在程序设计的考试中取得了优秀的成绩。假如有 17 人在两次考试中都没有取得优秀成绩，问有多少人在两次考试中都取得了优秀成绩? 答：分别用 ,A B 表示在离散和程序设计的考试中取得优秀成绩的学生集合，U 表 21 26 B = ，#( ) ) A = ，#( 示全体学生集合：则 #( A B∪ = 中都取得了优秀成绩的学生人数为 26+21-33=14 人。 18、设 , ,A B C 是任意集合，运用成员表证明： ) 50 17 33 = ，则两次考试 − (1) ( A B ∪ ∩ ∪ = ∩ ∪ ∩ ) ′ A C A C ′ A B ( ) ( ) ( ) 证明： 7

A B C A′ A C′ ∪ A B∪ A C∩ A 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 ( ( B C − ∪ = 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 A B A C − ∩ − 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 ) ) ( ) B′ ∩ 左边右边 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 (3) A 证明： A B C A B− A C− 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 由上得证左右两边相等。 19、由 S 和T 的成员表如何判断 S ( A B − ∩ − A C ) ( ) B C∪ A − ∪ ) B C ( 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 T⊆ ？应用成员表证明或否定 ( A B ∪ ∩ ∪ B C ) ( ′ ) ⊆ ∩ ′ A B ∪ ∩ ∪ 和 A B′∩ 的成员表如下： B C ′ ) ) ( ( B C ′∪ ) ( A B ∪ ∩ ∪ B C ′ ) ) ( A B 答：先分别给出集合 ( A B C A B∪ B C∪ 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 观察上述表格，我们发现 ( 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 ( 8 B′ A B′∩ 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 A B ∪ ∩ ∪ 所标记的列中，仅在第五列为 1，这 B C ′ ) )

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