2009年广东高考理科数学真题及答案.doc-资料库

2009 年广东高考理科数学真题及答案一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集U R ，集合 { M x  2     和 1 2} x N  { x x  2 k  1, k 1,2, }   的关系的韦恩（Venn）图如图 1 所示，则阴影部分所示的集合的元素共有 A. 3 个 C. 1 个【解析】由 { M x  2     得 1 2} x 1  x ，则 3 B. 2 个 D. 无穷多个  3,1 NM ，有 2 个，选 B. 2. 设 z 是复数， ( )a z 表示满足 nz  的最小正整数 n ，则对虚数单位i ， ( )a i  1 A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【解析】 ( )a i  1ni ，则最小正整数 n 为 4，选 C. 3. 若函数 y  ( ) f x 是函数 y  x ( a a  0, 且 a 1) 的反函数，其图像经过点 ( , )a a ，则 ( ) f x  A. log x 2 2x B. log x 1 2 C. 1 2x D. 【解析】 )( xf  log a x ，代入 ( , )a a ，解得 1a 2 ，所以 ( ) f x  log x ，选 B. 1 2 4.已知等比数列 { }na 满足 na 0, n 1,2,   ，且 a a  5 2 n 5   2 n 2 ( n  ，则当 1n  时， 3) log 2 a 1  log 2 a 3    log 2 a  2 1 n  w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A. (2 n n  1) B. ( n  1) 2 C. 2n D. ( n  1) 2 【解析】由 a a  5 2 n 5   2 2 ( n n  得 3) 2 na 2 n 2 ， 0na ，则 na n 2 ， log a 1  log a 3 2 2  log 2 a n 2  1 31 2( n  )1  2 n ，选 C. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 5. 给定下列四个命题： ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；

②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ②和 ④ 【解析】选 D. 6. 一质点受到平面上的三个力 1 , F F F （单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知 1F ， 2 3 , 2F 成 060 角，且 1F ， 2F 的大小分别为 2 和 4，则 3F 的大小为 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A. 6 B. 2 C. 2 5 D. 2 7 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】 2 F 3  2 F 1  2 F 2  2 FF 2 1 cos( 180 0  0 60 )  28 ，所以 3 F 72 ，选 D. 7．2010 年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A. 36 种 B. 12 种 C. 18 种 D. 48 种【解析】分两类：若小张或小赵入选，则有选法 ACC 3 3 1 2 1 2 24 ；若小张、小赵都入选，则有选法 2 AA 2 2 3 12 ，共有选法 36 种，选 A. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 8．已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为 v t 甲和（如图 2 所示）．那么对于图中给定的 0 v乙 t和，下列判断中一定正确 1 的是 A. 在 1t 时刻，甲车在乙车前面 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m B. 1t 时刻后，甲车在乙车后面 C. 在 0t 时刻，两车的位置相同 D. 0t 时刻后，乙车在甲车前面

【解析】由图像可知，曲线甲v 比乙v 在 0～ 0t 、0～ 1t 与 x 轴所围成图形面积大，则在 0t 、 1t 时刻，甲车均在乙车前面，选 A. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 二、填空题：本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分．（一）必做题（9 ~ 12 题） 9. 随机抽取某产品 n 件，测得其长度分别为 1 , a a 2 , a ，则图 3 所示 , n 的程序框图输出的 s  ， s 表示的样本的数字特征是．（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”“：=”）【解析】 s  a 1 a  2 a n n ；平均数 10. 若平面向量 a ，b 满足  ba 1 ， ba  平行于 x 轴， b )1,2(  ，则 a . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】 )0,1( ba 或 )0,1( ，则 a )0,1(  a )0,1(  )1,2(  )1,3( . )1,2(  )1,1( 或 11．巳知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在 x 轴上，离心率为 3 2 ，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为 12，则椭圆G 的方程为．【解析】 3e 2 ， 2 a 12 ， 6a ， 3b ，则所求椭圆方程为 2 x 36 2  y 9  1 . 12．已知离散型随机变量 X 的分布列如右表．若 EX  ， 0 DX  ，则 a  1 ， b  ．【解析】由题知解得 5a 12 11 cba 12 1b 4 ， .  ， ca 1  6 0 2 1 ，  a 2 1  c 2 2  1 12  1 ，（二）选做题（13 ~ 15 题，考生只能从中选做两题） 13．（坐标系与参数方程选做题）若直线 :1 l x y    ,21 t  2 . kt  （t 为参数）与直线 2 l : , x s     1 2 . y s  （ s 为参数）垂直，则 k  ．

【解析】  k )2( 2  1 ，得 1k . 14．（不等式选讲选做题）不等式 x x   1 2  1 的实数解为．【解析】 x x   1 2  1     x x 1  2  x 0  2  2  ( )1 x   2 x    0 ( x  2 )2  x 3 2 且 2x . 15．（几何证明选讲选做题）如图 4，点 , ,A B C 是圆O 上的点，且 AB 则圆O 的面积等于．   4, ACB  0 45 ，【解析】解法一：连结 OA 、OB ，则 AOB 090 ，∵ 4AB ， OA  OB ，∴ 22OA ，则 圆S  )22( 2  8  ；解法二： 2 R  4 45 0 sin  24  R 22 ，则 圆S  )22( 2  8  . 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．(本小题满分12分）已知向量 a (sin    )2, 与 b ,1( cos )  互相垂直，其中 (0,   ) 2 ．（1）求 sin 和 cos 的值；（2）若 sin( )     10 10 ,0   ，求 cos的值．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m   2 解：（ 1 ） ∵ a 与 b 互相垂直，则 ba  sin   2 cos   0 ，即 sin   cos 2  sin 2   2 cos   1 得 sin   52 5 , cos   5 5 ，又  (0, sin   52 5 , cos   5 5 . （ 2 ） ∵ 0    2 ， 0   2 ， ∴ cos( )    1  sin 2 ( )    3 10 10 cos  cos[ )]    (  cos )  cos(   sin )  sin(      2 ，  2 2 .  ) 2  2 17．（本小题满分12分），代入， ∴ ，则 ∴

根据空气质量指数 API（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表：对某城市一年（365 天）的空气质量进行监测，获得的 API 数据按照区间 ]50,0[ ， 100,50( ] ， 150,100( ] ， ,150( 200 ] ， ( ,200 250 ] ， ( 300,250 ] 进行分组，得到频率分布直方图如图 5. （1）求直方图中 x 的值；（2）计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数；（3）求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率. 7 3 57  78125 ， 27  128 ，（结果用分数表示．已知  2 365  1825 1825  3 1825  8 9125  解：（1）由图可知 123 9125 50x ，  1 73  365  3( 1825  ） 5 2 365  7 1825  3 1825  8 9125 )  50 1  123 9125  50 ，解得 x （2） 365 ； 119 18250  ( 119 18250  50  2 365  )50  219 ；      50 2 365 219 365 （3）该城市一年中每天空气质量为良或轻微污染的概率为 119 50 18250 2 31  5 5 2( 3() C 5 5 76653 78125 3() 5 2( 5 3 5 ，一周至少有两天空气质量为良或轻微污染的概率为 C 1 1 ) 0 )    7 7 6 7 . 6 7 ，则空气质量不为良且不为轻微污染的概率为 18．（本小题满分 14 分）如图 6，已知正方体 ABCD A B C D 1 1 1  1 的棱长为 2，点 E 是正方形 BCC B 的中心，点 F 、G 分别是棱 1 ,C D AA 的中点．设点 1 ,E G 1 1 1 1 1 分别是点 E ，G 在平面 DCC D 内的正投影． 1 1 z G1 x E1 y

DCC D 内的正投影为底面边界的棱锥 1 1 （1）求以 E 为顶点，以四边形 FGAE 在平面的体积；（2）证明：直线 1FG 平面 1FEE ；（3）求异面直线 1 1E G EA与所成角的正弦值. 解：（1）依题作点 E 、G 在平面 DCC D 内的正投影 1E 、 1G ，则 1E 、 1G 分别为 1CC 、 1DD 1 1 的中点，连结 1EE 、 1EG 、ED 、 1DE ，则所求为四棱锥 E  DE 1FG 1 的体积，其底面 DE 1FG 1 面积为 S DE 1 FG 1  S FGERt 1  1  S Rt  EDG 11  1 2 2  2 又 1EE 面 DE 1FG 1 ， EE 1  1 ，∴ V E  DE 1 FG 1  1 2 1 3  21 2 ， S DE 1 FG 1  EE 1  2 3 . （2）以 D 为坐标原点，DA 、DC 、 1DD 所在直线分别作 x 轴，y 轴，z 轴，得 )1,2,0(1E 、 )1,0,0(1G ，又 )1,0,2(G ， )2,1,0(F ， )1,2,1(E ，则 FG 1  )1,1,0(  ， FE )1,1,1(  ， FE 1  )1,1,0(  ， ∴ FG 1  FE  01)1(0 ， FG 1  FE 1  01)1(0 ，即 FG 1 FE ， FG  1 FE 1 ，又 FE 1 FE  F ，∴ 1FG 平面 1FEE . （3） GE 1 1 )0,2,0(  ， EA )1,2,1(  ，则 cos  EAGE 1 , 1   GE EA 1 1 EAGE 1 1  2 6 ，设异面直线 1 1E G EA与所成角为，则 sin  21  3  3 3 . 19．（本小题满分 14 分）已知曲线 :C y 2 x 与直线 : l x y   交于两点 ( A x 2 0 , y 和 ( B x A ) B , y ，且 B ) A x A x ．记曲线C 在点 A 和点 B 之间那一段 L 与线段 AB 所围成的平面区域（含边界）为 B D ．设点 ( , ) P s t 是 L 上的任一点，且点 P 与点 A 和点 B 均不重合．（1）若点Q 是线段 AB 的中点，试求线段 PQ 的中点 M 的轨迹方程；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

（2）若曲线 : G x 2  2 ax  2 y  4 y a  2   与 D 有公共点，试求 a 的最小值． 0 解：（1）联立 y  与 2x y 2 x 得 x A  x B  2 ，则 AB 中点 1(Q 2 5, 2 ) ，设线段 PQ 的中点 M 坐标为 ,( yx ，则 ) x  1 2  s 2 , y  5 2  t 2 ，即 s  2 x  1 2 , t  2 y  5 2 ，又点 P 在曲 51 25 ,1 2) 化简可得 y  x  1 2  2 ，即   x  x 11 8 5 4 ，又点 P 是 L 上的任一点，且不与点 A 和 11 8 ，∴中点 M 的轨迹方程为   x x y 2 2 x 1 4 线C 上， 5 2 ∴ 2  y  点 B 重合，则 5 4 : G x （2）曲线  1 4 （  x 2( x  1 2 21  ）. 2  2 ax  2 y  4 2  51 25  ， 0 y a  49 25 即圆 E ： ( ax  ) 2  ( y  2 )2  ，其圆心坐标为 )2,(aE ，半径由图可知，当 0  a 2 时，曲线 : G x 2  2 ax  2 y  4 y a  2 与点 D 有公共点； 7r 5 51  25  y xB 0 xA D o x 当 0a 时，要使曲线 : G x 2  2 ax  2 y  4 y a  2  51 25  与点 D 有公 0 共点，只需圆心 E 到直线 : l x y   的距离 2 0 d  | a |22  2  | | a 2  7 5 ，得  27 5  a ，则 a 的最小值为 0 27 5 . 20．（本小题满分 14 分）已知二次函数 y  ( ) g x 的导函数的图像与直线 y x 平行，且 2 y  ( ) g x 在 x   处 1 取得极小值 1( m m  ．设 0) ( ) f x  ( ) g x x ．（1）若曲线 y  ( ) f x 上的点 P 到点 (0,2) Q 的距离的最小值为 2 ，求 m 的值；（ 2 ） ( k k R 如何取值时，函数 ) y  ( ) f x  存在零点，并求出零 kx 点．W.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解：（1）依题可设 )( xg  ( xa  )1 2  m  1 ( 0a )，则 )(' xg  (2 xa  )1  2 ax  2 a ；又  g x 的图像与直线 2 x 平行 y  a  2 2 1a 

 )( xg  ( x  )1 2  m 1  2 x  2 mx  ，  f x     g x x   x m x  ， 2 设   P x y ，则 ,o o | PQ 2 |  x 2 0  ( y 0  2 )2  x 2 0  ( x 0  m x 0 2 )  2 x 2 0  2 m 2 x 0  2 m  22 m 2  2 m  |22 m 2|  m 当且仅当 2 02 x  2 m 2 x 0 时， | PQ 取得最小值，即 2| | PQ 取得最小值 2 | 当 0m 时， 22(  m )2  2 解得 m 12  当 0m 时， 22(   )2 m  2 解得 m 12  （ 2 ）由 y   f x   kx  1    k x  m x   2 0 ( 0x ) ，得  1   k x 2  2 x m   0  * 当 1k  时，方程 * 有一解 x   ，函数 m 2 y   f x   有一零点 kx x   ； m 2 当 1 k  时，方程 * 有二解     4 4 m  1  k   ， 0 若 0m  ， 11k   ， m 函数 y   f x   kx 有两个零点  2 x   k ) 1(44  1(2  m ) k ，即 1  x  1  k 1( m 1   k ) ；若 0m  ， 11k   ， m 函数 y   f x   kx 有两个零点  2 x   k ) 1(44  1(2  m ) k ，即 1  x  1  k 1( m 1   k ) ；当 1 k  时，方程 * 有一解     4 4 函数 y   f x   有一零点 kx x  11k   m ,  k   , 0  m  1 m 1  1 k

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