logo资料库

给小白图示讲解OFDM的原理.docx

发布时间：2022-06-08 发布人：admin 分类：说明书 资料大小：0.58M 资料格式：docx 举报 版权申诉
第1页 / 共15页
第2页 / 共15页
第3页 / 共15页
第4页 / 共15页
第5页 / 共15页
第6页 / 共15页
第7页 / 共15页
第8页 / 共15页
资料共15页，剩余部分请下载后查看
    章节一：时域上的OFDM
    章节二：频域上的OFDM
    章节三：用IFFT实现OFDM
    补充章节：从频谱上来看正交性
    起因是这样的。时间回到 07 年底，4G 方兴之时，同桌隔壁的隔壁"小白"同学说 看不太明白 OFDMA 的原理，让我讲解一下。我一向对自己的技术水平、逻辑 思考能力和表达技巧还是蛮有自信的，因此轻笑一声就答应了。半小时后，在尝 试了从时域、频域以及物理意义等各方面讲解，但均无法从“小白”的眼神中抹除 那份迷茫之后，我竖起了白旗，让“小白”自生自灭去了。 对知识能力的掌握，我自己粗旷的分为两层：一层是“会了，能应用”；二层 是“懂了，能衍生”。而能讲解出来，并让人懂，大抵就是区分一层和二层的分水 岭。打一个屌丝男喜闻乐见的比方：第一层就是人界的修炼，即使是“会了”，也 是有筑基、金丹、元婴等境界之分的，而高考研考就是天劫，不到大乘之境，终 究要化为劫灰；第二层是天界，也自有天仙、金仙之分，而能修至道祖的大牛， 终究只是寥寥。我一向觉得自己在专业上还算是个“小仙”，可惜就被“小白”打脸 了。 这事儿对我的负面影响挺大的，一是怀疑自己技术宅做久了，表达能力方面 严重退化【比如我偶尔会在搜索一个精准的动词或者形容词时，需要尝试 2-3 次， 甚至更多】；二是在涉及到 OFDM 方面的内容时，仿佛就会看到一张白纸上逡 巡着一只挥之不去的黑苍蝇。 时隔多年，近期又回顾了一下 OFDM，不经意又记起这桩公案，犹豫再三， 还是决定花时间写下这篇文章，把这只盘旋于脑中的“黑苍蝇”拍死。因此虽然现 在网络资源极大丰富，各种文章都可以搜到，其实我是没必要专门写这篇未必比 别人写得好的文章的。不过毕竟是自己遗留的缺失，需要自己来补上。 下面试图以图示为主讲解 OFDM，以"易懂"为第一要义。"小白"，你准备好 了吗？ 注：下面的讨论如果不做说明，均假设为理想信道。 章节一：时域上的 OFDM OFDM 的"O"代表着"正交"，那么就先说说正交吧。 首先说说最简单的情况，sin(t)和 sin(2t)是正交的【证明：sin(t)·sin(2t)在区 间[0,2π]上的积分为 0】，而正弦函数又是波的最直观描述，因此我们就以此作 为介入点。既然本文说的是图示，那么我们就用图形的方式来先理解一下正交性。
    【你如果能从向量空间的角度，高屋建瓴的看待这个问题的话，你也就不是"小 白"了，R U?】 在下面的图示中，在[0,2π]的时长内，采用最易懂的幅度调制方式传送信号： sin(t)传送信号 a，因此发送 a·sin(t)，sin(2t)传送信号 b，因此发送 b·sin(2t)。其 中，sin(t)和 sin(2t)的用处是用来承载信号，是收发端预先规定好的信息，在本 文中一律称为子载波；调制在子载波上的幅度信号 a 和 b，才是需要发送的信息。 因此在信道中传送的信号为 a·sin(t)+b·sin(2t)。在接收端，分别对接收到的信号 作关于 sin(t)和 sin(2t)的积分检测，就可以得到 a 和 b 了。（以下图形采用 google 绘制） 图一：发送 a 信号的 sin(t) 图二：发送 b 信号的 sin(2t)【注意：在区间[0,2π]内发送了两个完整波形】 图三：发送在无线空间的叠加信号 a·sin(t)+b·sin(2t)
    图四：接收信号乘 sin(t)，积分解码出 a 信号。【如前文所述，传送 b 信号的 sin(2t) 项，在积分后为 0】 图五：接收信号乘 sin(2t)，积分解码出 b 信号。【如前文所述，传送 a 信号的 sin(t)项，在积分后为 0】 图六：流程图 到了这里，也许你会出现两种状态： 一种是：啊，原来是这样，我懂了。 一种是：啊，怎么会这样，我完全无法想象。这里要说的是，你根本用不着 去想象（visualize）。数学中是如此定义正交的，数学证明了它们的正交性，
    那么他们就是正交的，【他们就可以互不干扰的承载各自的信息】。选取 sin(t) 和 sin(2t)作为例子，正是因为它们是介于直观和抽象的过渡地带，趟过去吧。 上面的图示虽然简单，但是却是所有复杂的基础。 1.1 下一步，将 sin(t)和 sin(2t)扩展到更多的子载波序列{sin(2π·Δf·t)， sin(2π·Δf·2t)，sin(2π·Δf·3t),...,sin(2π·Δf·kt)} (例如 k=16，256，1024 等)，应该 是很好理解的事情。其中，2π是常量；Δf 是事先选好的载频间隔，也是常量。 1t,2t,3t,...,kt 保证了正弦波序列的正交性。 1.2 再下一步，将 cos(t)也引入。容易证明，cos(t)与 sin(t)是正交的，也与 整个 sin(kt)的正交族相正交。同样，cos(kt)也与整个 sin(kt)的正交族相正交。因 此发射序列扩展到 {sin(2π·Δf·t),sin(2π·Δf·2t),sin(2π·Δf·3t),...,sin(2π·Δf·kt),cos(2π·Δf·t),cos(2π·Δf· 2t),cos(2π·Δf·3t),...,cos(2π·Δf·kt)}也就顺理成章了。 1.3 经过前两步的扩充，选好了 2 组正交序列 sin(kt)和 cos(kt)，这只是传 输的"介质"。真正要传输的信息还需要调制在这些载波上，即 sin(t),sin(2t),...,sin(kt)分别幅度调制 a1,a2,...,ak 信号,cos(t),cos(2t),...,cos(kt)分 别幅度调制 b1,b2,...,bk 信号。这 2n 组互相正交的信号同时发送出去，在空间上 会叠加出怎样的波形呢？做简单的加法如下： f(t) = a1·sin(2π·Δf·t) + a2·sin(2π·Δf·2t) + a3·sin(2π·Δf·3t) + ... ak·sin(2π·Δf·kt) + b1·cos(2π·Δf·t) + b2·cos(2π·Δf·2t) + b3·cos(2π·Δf·3t) + ... bk·cos(2π·Δf·kt) + = ∑ak·sin(2π·Δf·kt) + ∑bk·cos(2π·Δf·kt) 【公式 1-1：实数的表达】
    为了方便进行数学处理，上式有复数表达形式如下： f(t) = ∑Fk·e(j·2π·Δf·kt) 【公式 1-2：复数的表达，这编辑器找不到上角标...不过， 你应该看得懂的】 上面的公式可以这样看：每个子载波序列都在发送自己的信号，互相交叠在 空中，最终在接收端看到的信号就是 f(t)。接收端收到杂糅信号 f(t)后，再在每个 子载波上分别作相乘后积分的操作，就可以取出每个子载波分别承载的信号了。 然后，多看看公式 1-1 和公式 1-2！！！发现咯？这就是傅里叶级数嘛。如 果将 t 离散化，那么就是离散傅立叶变换。所以才有 OFDM 以 FFT 来实现的故 事。将在下面的章节进行更多的描述。 遵循古老的传统，F 表示频域，f 表示时域，所以可以从公式 1-2 中看出， 每个子载波上面调制的幅度，就是频域信息。类似的说法是：OFDM 传输的是 频域信号。这种说法有些别扭，但是很多教程或文章会使用这样的说明方式，就 看读者如何理解了。如果纯粹从公式或者子载波来看，这种说法其实也是很直接 的阐述了。 上面 1.1-1.3 的扩展，可如下图所示： 图七：时域上的 OFDM 系统图 1.4 还有这一步吗？其实是有的。"小白"你可以先想想，想不到的话先往下 看，因为这需要在频域中考量，所以我写在后面了。【也可参考[1]】
    将上述的时域分析配上 LTE 的实现，有如下情况： 【注 1：本段描述需要有 LTE 物理层的基本知识，如果看不明白，请暂时 跳过，看完整篇文章后再回看】 【注 2：LTE 并非时域的实现，下面仅仅是套用 LTE 的参数，做一个参考 分析】 子载波的间隔Δf=15kHz，一个 OFDM symbol 的发送时间是 66.7us，可以 发现，15kHz*66.67us=1，即基带上一个 OFDM symbol 的发送时间正好发送一 个一次谐波的完整波形。对于 10M 的 LTE 系统，采用的是 1024 个子载波，但 是只有中间 600 个（不含最中间的直流）子载波被用于传送数据。在一个 OFDM symbol 的时间内（即 66.67us)，靠近中间的两个一次谐波传输一个完整波形， 再靠外一点的两个二次谐波传输两个完整波形，以此类推至最外面的两个 300 次谐波传输了 300 个完整的波形。在这 66.67us 内，600 个子载波互相正交， 其上分别承载了 600 个复数信号。 上面的说法有点啰嗦，不如图示来得直观。本来准备再画一图的，不过一来 上面已经有了类似的图，实是大同小异；二来，600 个子载波，也太多了点。。。 OK，说到这里，从时域上面来看 OFDM，其实是相当简洁明快讨人喜欢的。 不过，一个系统若要从时域上来实现 OFDM，难度太大，时延和频偏都会严重 破坏子载波的正交性，从而影响系统性能。这点在各种教材文章中都会有提及， 我就不赘述了。 下面将转入频域来描述 OFDM，由于频域不甚直观，的确会稍稍让人费解。 不过只要时刻想着时域子载波间的叠加，一切都会好起来。 章节二：频域上的 OFDM 第一章节时域上的讨论开始于 OFDM 中的"O"；本章节频域上我们从"FDM" 开始。 先图例一个常规 FDM 的系统图：
    图 11：常规 FDM，两路信号频谱之间有间隔，互相不干扰 为了更好的利用系统带宽，子载波的间距可以尽量靠近些。 图 12：靠得很近的 FDM，实际中考虑到硬件实现，解调第一路信号时，已经很 难完全去除第二路信号的影响了（电路的实现毕竟不能像剪刀裁纸一样利落）， 两路信号互相之间可能已经产生干扰了 还能再近些吗？可以的。这就是 OFDM 的来历啊，近到完全等同于奈奎斯 特带宽（后面有详述），使频带的利用率达到了理论上的最大值。 图 13：继续靠近，间隔频率互相正交，因此频谱虽然有重叠，但是仍然是没有 互相干扰的。神奇的 OFDM 上面三个图的确有点小儿科，不知道"小白"是不是已经在心里呐喊：这谁不 知道呀！不过我在这里花时间画了三张图，总还是有所考量的： a. 作为上一个章节和本章节之间的补充和连接，说明一下 OFDM 在频域上面的
    表现，亦即 OFDM 的本源来历。 b. 引导思考：信号的带宽是多少？ c. 引导思考：OFDM 正交频谱叠加部分到底有多宽呢？结合 1.4，先想想，再 往下看，会更好。 再次回到正轨，请回看第一节中的图一至图六等时域波形图，图示了在时域 上，波形的调制，叠加接收，以及最终的解码。让我们看看图一至图三中的每个 步骤在频域上是如何表现的。 首先来看 sin(t)。"小白"呀"小白"，你且说说 sin(t)的频谱是啥呀？"小白"弱弱 的说：是一个冲激。是的，sin(t)是个单一的正弦波，代表着单一的频率，所以 其频谱自然是一个冲激。不过其实图一中所示的 sin(t)并不是真正的 sin(t)，而只 是限定在[0,2π]之内的一小段。无限长度的信号被限制在一小截时间之内，【就 好比从一个完整的人身上逮下一根头发，然后把整个人都丢掉，以发代人】其频 谱也不再是一个冲激了。 对限制在[0,2π]内的 sin(t)信号，相当于无限长的 sin(t)信号乘以一个[0,2π] 上的门信号（矩形脉冲），其频谱为两者频谱的卷积。sin(t)的频谱为冲激，门 信号的频谱为 sinc 信号（即 sin(x)/x 信号）。冲激信号卷积 sinc 信号，相当于 对 sinc 信号的搬移。所以分析到这里，可以得出图一的时域波形其对应的频谱 如下： 图 21：限定在[0,2π]内的 a·sin(t)信号的频谱，即以 sin(t)为载波的调制信号的频 谱 sin(2t)的频谱分析基本相同。需要注意的是，由于正交区间为[0,2π]，因此 sin(2t)在相同的时间内发送了两个完整波形。相同的门函数保证了两个函数的 频谱形状相同，只是频谱被搬移的位置变了：
    分享到：
    赞 收藏

    相关推荐

    资料库

    课程资源

    共收录17145份资料，累计13个分类，关注成员有19位，主要包括：PHP,网络管理,网页制作,Java,.Net,数据库,3G/移动开发,C/C++,游戏开发,嵌入式,讲义,软件测试,专业指导

    热门标签

    PHP 网络管理 网页制作 Java .Net 数据库 3G/移动开发 C/C++ 游戏开发 嵌入式 讲义 软件测试 专业指导

    最新资料