2004年福建高考文科数学真题及答案.doc-资料库

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2004 年福建高考文科数学真题及答案一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1．（5 分）已知全集 {1U  ，2，3，4， 5} ， {1 A  ，2， 3} ， {3 B  ， 4} ，则 ( ( ) A．{3} B．{5} C．{1 ，2，4， 5} 2．（5 分） tan15   cot15  等于 ( ) A．2 B． 2 3 C．4 U A B ð ) D．{1 ，2，3， 4} D． 4 3 3 3．（5 分）命题 p ：若 a 、b R ，则| a | | b | 1  是| a b  的充分而不必要条件；命题 q ：函数 | 1 y  | x 1| 2   的定义域是 ( ， 1]   ， ) ，则 ( A．“ p 或 q ”为假 B．“ p 且 q ”为真 [3 ) C． p 真 q 假 D． p 假 q 真 4．（5 分）已知 1F ， 2F 是椭圆的两个焦点，过 1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A ， B 两点，若  2ABF 是正三角形，则这个椭圆的离心率是 ( A． 2 2 B． 2 3 ) a 5．（5 分）设 nS 是等差数列{ }na 的前 n 项和，若 5 a 3 A．1 B． 1 C．2 C． 3 3 5 , 9  则 9 S S 5 ( ) D． 3 2 D． 1 2 6．（5 分）已知 m 、 n 是不重合的直线，、 是不重合的平面，有下列命题： ①若 m  ， / /n ，则 / /m n ； ②若 / /m ， / /m ，则 / / ； ③若   n ， / /m n ，则 / /m 且 / /m ； ④若 m  ， m  ，则 / / ．其中真命题的个数是 ( ) A．0 B．1 C．2 D．3 7．（5 分）已知函数 y  log 2 x 的反函数是 y 1( ) x f ，则函数 y  f 1(1 A． B．  的图象是 ( x ) )

C． 8．（5 分）已知 ,a b  是非零向量且满足 (3   a b   ) D．  a ,(4   a b   )  b 与的夹角是 (  b ，则 a ) A．  6 B．  3 C． 2  3 D． 5  6 9．（5 分）已知 ( x 8 )a  展开式中常数项为 1120，其中实数 a 是常数，则展开式中各项系数的和是 ( x ) A． 82 B． 83 C．1 或 83 D．1 或 82 10．（5 分）如图， A 、 B 、C 是表面积为 48的球面上三点， AB  ， 2 BC  ， 4 ABC  60  ，O 为球心，则直线 OA 与截面 ABC 所成的角是 ( ) A． arcsin 3 6 11．（5 分）定义在 R 上的偶函数 ( ) arccos 3 6 B． f x 满足 ( ) f x A． f 1 (sin ) 2 f (cos 1 2 ) C． (sin1) f f (cos1) C． arcsin 3 3 D． arccos 3 3 x  ， 4] 时， ( ) f x  ( f x  ，当 [3 2) f  B． (sin ) 3 3 (sin ) 2 D． f  f (cos f (cos  ) 3 3 2 ) x  ，则 ( 2 ) 12．（5 分）把标有号码 1，2，3， ，10 的 10 个乒乓球放在一个箱子中，摇匀后，从中任意取一个，号码为小于 7 的奇数的概率是 ( B． 7 A． 3 10 10 ) C． 2 5 D． 3 5 二、填空题（共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分） 13．（4 分）直线 2 y x  被曲线 2 x 0  2 y  6 x  2 y  15 0  所截得的弦长等于． 14．（4 分）设函数 ( ) f x      1 2 1 x x  1 ( x 0) ( x  0) 若 f （a） a ，则实数 a 的取值范围是． 15．（4 分）一个总体中有 100 个个体，随机编号为 0，1，2， ，99，依编号顺序平均分成 10 个小组，组

号依次为 1，2，3， ，10．现用系统抽样方法抽取一个容量为 10 的样本，规定如果在第 1 组随机抽取的号码为 m ，那么在第 k 小组中抽取的号码个位数字与 m k 的个位数字相同．若 6m  ，则在第 7 组中抽取的号码是． 16．（4 分）如图，将边长为 1 的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器．当这个正六棱柱容器的底面边长为时，其容积最大．三、解答题（共 6 小题，满分 74 分） 17．（12 分）设函数 ( ) f x  ，其中向量 (2cos ,1) a b x  a  b ， (cos , 3sin 2 ) x  x ， x R ．（1）若 ( ) 1 f x   ，且 [ 3 ，求 x ； x  3    ， ] 3  的图象按向量 ( c （2）若函数 2sin 2  y x , ) m n ，(| m |  平移后得到函数  ) 2 y  ( ) f x 的图象，求实数 m 、 n 的值． 18．（12 分）甲、乙两人同时参加奥运志愿者选拔赛的考试，已知在备选的 10 道题中，甲能答对其中的 6 道题，乙能答对其中的 8 道题．规定每次考试都从备选题中随机抽出 3 道题进行测试，至少答对 2 道题才能入选． ( )I 求甲答对试题数的分布列及数学期望； ( )II 求甲、乙两人至少有一人入选的概率． 19．（12 分）在三棱锥 S ABC  中， ABC 是边长为 4 的正三角形，平面 SAC  平面 ABC ， SA SC  2 2 ， M 为 AB 的中点．（Ⅰ）证明： AC SB ；（Ⅱ）求二面角 S CM B  的大小；  （Ⅲ）求点 B 到平面 SCM 的距离．

20．（12 分）某企业 2003 年的纯利润为 500 万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降．若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少 20 万元，今年初该企业一次性投入资金 600 万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第 n 年（今年为第一年）的利润为 500(1 1 2n ) 万元 (n 为正整数）．（Ⅰ）设从今年起的前 n 年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为 nA 万元，进行技术改造后的累计纯利润为 nB 万元（须扣除技术改造资金），求 nA 、 nB 的表达式；（Ⅱ）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？ 21．（12 分）如图， P 是抛物线 C y : 21 x 2 物线 C 相交于另一点 Q ．上一点，直线 l 过点 P 并与抛物线 C 在点 P 的切线垂直， l 与抛（Ⅰ）当点 P 的横坐标为 2 时，求直线 l 的方程；（Ⅱ）当点 P 在抛物线 C 上移动时，求线段 PQ 中点 M 的轨迹方程，并求点 M 到 x 轴的最短距离． 22．（14 分）已知 32 3 （Ⅰ）求实数 a 的值组成的集合 A ； x ax  ( ) f x 4  x x R  在区间[ 1 ，1] 上是增函数． ( ) 2  （Ⅱ）设关于 x 的方程 ( ) f x  2 x  的两个非零实根为 1x 、 2x ．试问：是否存在实数 m ，使得不等式 31 x 3 2 m tm   1 |  x 1 x 2 | 对任意 a A 及 [ 1 t   ，1] 恒成立？若存在，求 m 的取值范围；若不存在，请说明理由．

2004 年福建省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1．（5 分）已知全集 {1U  ，2，3，4， 5} ， {1 A  ，2， 3} ， {3 B  ， 4} ，则 ( ( ) A．{3} B．{5} C．{1 ，2，4， 5} U A B ð ) D．{1 ，2，3， 4} 【解答】解：全集 {1U  ，2，3，4， 5}， {1 A  ，2， 3} ， {3 B  ， 4} ，，2，3， 4} ，  {1  A B ð ( U A B 故选： B ．  ) {5} ， 2．（5 分） tan15   cot15  等于 ( ) A．2 B． 2 3 C．4 【解答】解：解法 1: tan15   cot15   sin15  cos15   cos15  sin15   D． 4 3 3 sin 15 2 2 cos15 sin15 cos 15       1 sin30   1 2  4 ．解法 2：由 tan15   tan(45   30 )   tan30 tan 45    1 tan 45 tan30     1  1  3 3 3 3  3 3   3 3 ． 原式 3  3   3 3  3 3   3 3  4 ．故选： C ． 3．（5 分）命题 p ：若 a 、b R ，则| a | | b | 1  是| a b  的充分而不必要条件；命题 q ：函数 | 1 y  | x 1| 2   的定义域是 ( ， 1]   ， ) ，则 ( A．“ p 或 q ”为假 B．“ p 且 q ”为真 [3 ) C． p 真 q 假 D． p 假 q 真【解答】解： |  a b  | | a |  | b | ，若| a | | b | 1  ，不能推出| a b  ，而| | 1 a b  ，一定有 | | 1 a | | b | 1  ，故命题 p 为假．又由函数 y  | x 1| 2   的定义域为| x   ，即| 1| 2 0 故有 ( x   ， 1]   ， ) ． [3 x  ，即 1 2 x  或 1 x  1| 2  ． 2

q 为真命题．故选： D ． 4．（5 分）已知 1F ， 2F 是椭圆的两个焦点，过 1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A ， B 两点，若  2ABF 是正三角形，则这个椭圆的离心率是 ( A． 2 2 B． 2 3 ) C． 3 3 D． 3 2 3 3 | F F 1 2 | ， 2 b a  3 2  即 2 a 3 c  2 c  2 3 3 ac AF 【解答】解：由题 1 | |   2 c   2 e  2 3 3 2 3 3 ac a  2  ， 0 e   ， 1 0 解之得： e  （负值舍去）． 3 3 故选： C ． a 5．（5 分）设 nS 是等差数列{ }na 的前 n 项和，若 5 a 3  5 , 9 A．1 B． 1 C．2 则 9 S S 5 ( ) D． 1 2 【解答】解：设等差数列{ }na 的首项为 1a ，由等差数列的性质可得 a 1  a 9 a  ， 1 52 a  a 5  ， 32 a  s 9 s 5  a 1 a 1 a 9 a 5  2  2  9  5 故选： A ．  9 a 5 5 a 3    9 5 5 9 1 ， 6．（5 分）已知 m 、 n 是不重合的直线，、 是不重合的平面，有下列命题： ①若 m  ， / /n ，则 / /m n ； ②若 / /m ， / /m ，则 / / ； ③若   n ， / /m n ，则 / /m 且 / /m ； ④若 m  ， m  ，则 / / ．其中真命题的个数是 ( ) A．0 B．1 C．2 D．3 【解答】解：①若 m  ， / /n ，则 m 与 n 平行或异面，故不正确；

②若 / /m ， / /m ，则与 可能相交或平行，故不正确； ③若   n ， / /m n ，则 / /m 且 / /m ， m 也可能在平面内，故不正确； ④若 m  ， m  ，则 / / ，垂直与同一直线的两平面平行，故正确故选： B ． 7．（5 分）已知函数 y  log 2 x 的反函数是 y 1( ) x f ，则函数 y  f 1(1  的图象是 ( x ) ) A． C．【解答】解：  y  log 2 x 故选： C ． B． D． 1  f ( ) 2 x   x f 1  (1  x 1 ) 2   x ．函数 y  f 1(1    2 x y 8．（5 分）已知 ,a b  是非零向量且满足 (3   a b   )  a ,(4   a b   )  b 与的夹角是 (  b ，则 a  的图象是 C ． x ) ) B．  3 A．  6  与的夹角是 【解答】解：设 a b   a b   a b      (3 ,(4  b  a ) ) C． 2  3 D． 5  6    a b a   )  (3  0,(4    ) a b b    0  3 a 即 2   a b      a b    b 2 0;4  0   a b    2 3 ; a b 2   12  a 2  cos   a b    || a b | |   3 a 2 3 2  a 2  3 2    6 故选： A ． 9．（5 分）已知 ( x 8 )a  展开式中常数项为 1120，其中实数 a 是常数，则展开式中各项系数的和是 ( x )

A． 82 B． 83 C．1 或 83 D．1 或 82 r ) a C x  r 8 8 2  r ．【解答】解： rT   1 r C x  8 8  r (   ax 1  r ) (   令 8 2 r  ， 0 r  ． 4 (   4 4 ) a C 8  1120 ， a   ． 2 当 2 a  时，令 1x  ，则 8 (1 2)  1  ．当 a   时，令 1x  ，则 2 8 (1 2)   ． 8 3 故选： C ． 10．（5 分）如图， A 、 B 、C 是表面积为 48的球面上三点， AB  ， 2 BC  ， 4 ABC  60  ，O 为球心，则直线 OA 与截面 ABC 所成的角是 ( ) A． arcsin 3 6 B． arccos 3 6 C． arcsin 3 3 D． arccos 3 3 【解答】解：表面积为 48的球面，它的半径是 R ，则 48 4 R   2 ， 2 3 R  ，因为 AB  ， 2 BC  ， 4 ABC  60  ，所以 BAC  90  ， BC 为小圆的直径，则平面 OBC  平面 ABC ， D 为小圆的圆心，所以 OD  平面 ABC ， OAD 就是直线 OA 与截面 ABC 所成的角， OD  (2 3) 2  2 2  2 2 ， AD  ， 2 cos OAD  2 2 3  ， 3 3 故选： D ．

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