2004年福建高考理科数学真题及答案.doc-资料库

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2004 年福建高考理科数学真题及答案一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1．（5 分）复数 A． 1 1( 1   i i 10 ) 的值是 ( B．1 2．（5 分） tan15   cot15  等于 ( ) ) C． 32 D．32 A．2 B． 2 3 C．4 D． 4 3 3 3．（5 分）命题 p ：若 a 、b R ，则| a | | b | 1  是| a b  的充分而不必要条件；命题 q ：函数 | 1 y  | x 1| 2   的定义域是 ( ， 1]   ， ) ，则 ( A．“ p 或 q ”为假 B．“ p 且 q ”为真 [3 ) C． p 真 q 假 D． p 假 q 真 4．（5 分）已知 1F ， 2F 是椭圆的两个焦点，过 1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A ， B 两点，若  2ABF 是正三角形，则这个椭圆的离心率是 ( A． 2 2 B． 2 3 ) C． 3 3 D． 3 2 5．（5 分）已知 m 、 n 是不重合的直线，、 是不重合的平面，有下列命题： ①若 m  ， / /n ，则 / /m n ； ②若 / /m ， / /m ，则 / / ； ③若   n ， / /m n ，则 / /m 且 / /m ； ④若 m  ， m  ，则 / / ．其中真命题的个数是 ( ) A．0 B．1 C．2 D．3 6．（5 分）某校高二年级共有六个班级，现从外地转入 4 名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排 2 名，则不同的安排方案种数为 ( ) A． 2 2 4A C 6 B． 2 A C 6 1 2 2 4 C． 2 2 4A A 6 D． 2 62A 7．（5 分）已知函数 y  log 2 x 的反函数是 y 1( ) x f ，则函数 y  f 1(1 A． B．  的图象是 ( x ) )

C． 8．（5 分）已知 ,a b  是非零向量且满足 (3   a b   ) D．  a ,(4   a b   )  b 与的夹角是 (  b ，则 a ) A．  6 9．（5 分）若 B．  3 C． 2  3 1 x C． 1 2 lim( n   D． 5  6 1 2 x   的值是 ( 1 )n x ) D． 2 5 (1 2 )x 展开式的第 3 项为 288，则 9 A．2 B．1 10．（5 分）如图， A 、 B 、C 是表面积为 48的球面上三点， AB  ， 2 BC  ， 4 ABC  60  ，O 为球心，则直线 OA 与截面 ABC 所成的角是 ( ) A． arcsin 3 6 B． arccos 3 6 C． arcsin 3 3 D． arccos 11．（5 分）定义在 R 上的函数 ( ) f x 满足 ( ) f x  ( f x  ，当 [3 x  ， 5] 时， ( ) f x 2) 3 3 2 |   x  ，则 ( 4 | )  f  A． (sin ) 6 2  ) 3 (cos C． f f (cos  f (sin  ) 6 2  ) 3 B． (sin1) f f (cos1) D． (cos2) f f (sin 2) 12．（5 分）把标有号码 1，2，3， ，10 的 10 个乒乓球放在一个箱子中，摇匀后，从中任意取一个，号码为小于 7 的奇数的概率是 ( B． 7 A． 3 10 10 ) C． 2 5 D． 3 5 二、填空题（共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分） 13．（4 分）直线 2 y x  被曲线 2 x 0  2 y  6 x  2 y  15 0  所截得的弦长等于． 14．（4 分）设函数 ( ) f x      a 1 x   x 1 ,( ,( x x  0)  0) 在 0 x  处连续，则实数 a 的值为． 15．（4 分）某射手射击 1 次，击中目标的概率是 0.9．他连续射击 4 次，且各次射击是否击中目标相互之

间没有影响．有下列结论： ①他第 3 次击中目标的概率是 0.9； ②他恰好击中目标 3 次的概率是 30.9 0.1 ； ③他至少击中目标 1 次的概率是 1 0.1 ． 4 其中正确结论的序号是（写出所有正确结论的序号）． 16．（4 分）如图，将边长为 1 的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器．当这个正六棱柱容器的底面边长为时，其容积最大．三、解答题（共 6 小题，满分 74 分） 17．（12 分）设函数 ( ) f x  ，其中向量 (2cos ,1) a b x  a  b ， (cos , 3sin 2 ) x  x ， x R ．（1）若 ( ) 1 f x   ，且 [ 3 ，求 x ； x  3    ， ] 3  的图象按向量 ( c （2）若函数 2sin 2  y x , ) m n ，(| m |  平移后得到函数  ) 2 y  ( ) f x 的图象，求实数 m 、 n 的值． 18．（12 分）甲、乙两人同时参加奥运志愿者选拔赛的考试，已知在备选的 10 道题中，甲能答对其中的 6 道题，乙能答对其中的 8 道题．规定每次考试都从备选题中随机抽出 3 道题进行测试，至少答对 2 道题才能入选． ( )I 求甲答对试题数的分布列及数学期望； ( )II 求甲、乙两人至少有一人入选的概率． 19．（12 分）在三棱锥 S ABC  中， ABC 是边长为 4 的正三角形，平面 SAC  平面 ABC ， SA SC  2 2 ， M 为 AB 的中点．（Ⅰ）证明： AC SB ；（Ⅱ）求二面角 S CM B  的大小；  （Ⅲ）求点 B 到平面 SCM 的距离．

20．（12 分）某企业 2003 年的纯利润为 500 万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降．若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少 20 万元，今年初该企业一次性投入资金 600 万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第 n 年（今年为第一年）的利润为 500(1 1 2n ) 万元 (n 为正整数）．（Ⅰ）设从今年起的前 n 年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为 nA 万元，进行技术改造后的累计纯利润为 nB 万元（须扣除技术改造资金），求 nA 、 nB 的表达式；（Ⅱ）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？ 21．（14 分）已知 ( ) f x  2 x x a  2 2  ( x R  ) 在区间[ 1 ，1] 上是增函数．（Ⅰ）求实数 a 的值组成的集合 A ；（ Ⅱ ）设关于 x 的方程 ( ) f x  的两个非零实根为 1x 、 2x ．试问：是否存在实数 m ，使得不等式 1 x 2 m tm   1 |  x 1 x 2 | 对任意 a A 及 [ 1 t   ，1] 恒成立？若存在，求 m 的取值范围；若不存在，请说明理由． 22．（12 分）如图， P 是抛物线 C y : 21 x 2 上一点，直线 l 过点 P 且与抛物线 C 交于另一点 Q ．（Ⅰ）若直线 l 与过点 P 的切线垂直，求线段 PQ 中点 M 的轨迹方程；（Ⅱ）若直线 l 不过原点且与 x 轴交于点 S ，与 y 轴交于点T ，试求 ST SP  ST SQ 的取值范围．

2004 年福建省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1．（5 分）复数 1( 1   i i 10 ) 的值是 ( ) A． 1 B．1 C． 32 D．32 1 ( 1   i i 2 )  2 i  2 i   1 所以 1( 1   i i 10 )   ( 1) 5   1 【解答】解：故选： A ． 2．（5 分） tan15   cot15  等于 ( ) A．2 B． 2 3 C．4 【解答】解：解法 1: tan15   cot15   sin15  cos15   cos15  sin15   D． 4 3 3 sin 15 2 2 cos15 sin15 cos 15       1 sin30   1 2  4 ．解法 2：由 tan15   tan(45   30 )   tan30 tan 45    1 tan 45 tan30     1  1  3 3 3 3  3 3   3 3 ． 原式 3  3   3 3  3 3   3 3  4 ．故选： C ． 3．（5 分）命题 p ：若 a 、b R ，则| a | | b | 1  是| a b  的充分而不必要条件；命题 q ：函数 | 1 y  | x 1| 2   的定义域是 ( ， 1]   ， ) ，则 ( A．“ p 或 q ”为假 B．“ p 且 q ”为真 [3 ) C． p 真 q 假 D． p 假 q 真【解答】解： |  a b  | | a |  | b | ，若| a | | b | 1  ，不能推出| a b  ，而| | 1 a b  ，一定有 | | 1 a | | b | 1  ，故命题 p 为假． x  ，即 1 2 x  或 1 x  1| 2  ． 2 又由函数 y  | x 1| 2   的定义域为| x   ，即| 1| 2 0 故有 ( x   ， 1]   ， ) ． [3 q 为真命题．故选： D ．

4．（5 分）已知 1F ， 2F 是椭圆的两个焦点，过 1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A ， B 两点，若  2ABF 是正三角形，则这个椭圆的离心率是 ( A． 2 2 B． 2 3 ) C． 3 3 D． 3 2 3 3 | F F 1 2 | ， 2 b a  3 2  即 2 a 3 c  2 c  2 3 3 ac AF 【解答】解：由题 1 | |   2 c   2 e  2 3 3 2 3 3 ac a  2  ， 0 e   ， 1 0 解之得： e  （负值舍去）． 3 3 故选： C ． 5．（5 分）已知 m 、 n 是不重合的直线，、 是不重合的平面，有下列命题： ①若 m  ， / /n ，则 / /m n ； ②若 / /m ， / /m ，则 / / ； ③若   n ， / /m n ，则 / /m 且 / /m ； ④若 m  ， m  ，则 / / ．其中真命题的个数是 ( ) A．0 B．1 C．2 D．3 【解答】解：①若 m  ， / /n ，则 m 与 n 平行或异面，故不正确； ②若 / /m ， / /m ，则与 可能相交或平行，故不正确； ③若   n ， / /m n ，则 / /m 且 / /m ， m 也可能在平面内，故不正确； ④若 m  ， m  ，则 / / ，垂直与同一直线的两平面平行，故正确故选： B ． 6．（5 分）某校高二年级共有六个班级，现从外地转入 4 名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排 2 名，则不同的安排方案种数为 ( ) A． 2 2 4A C 6 B． 2 A C 6 1 2 2 4 C． 2 2 4A A 6 D． 2 62A 【解答】解：先将 4 名学生均分成两组方法数为 2 4 C ， 1 2 再分配给 6 个年级中的 2 个分配方法数为 2 6A ，

根据分步计数原理合要求的安排方法数为 2 C A ． 4 2 6 1 2 故选： B ． 7．（5 分）已知函数 y  log 2 x 的反函数是 y 1( ) x f ，则函数 y  f 1(1  的图象是 ( x ) ) A． C．【解答】解：  y  log 2 x 故选： C ． B． D． 1  f ( ) 2 x   x f 1  (1  x 1 ) 2   x ．函数 y  f 1(1    2 x y 8．（5 分）已知 ,a b  是非零向量且满足 (3   a b   )  a ,(4   a b   )  b 与的夹角是 (  b ，则 a  的图象是 C ． x ) ) C． 2  3 D． 5  6 A．  6 B．  3  与的夹角是 【解答】解：设 a b   a b   a b      (3 ,(4  b  a ) )    a b a   )  (3  0,(4    ) a b b    0  3 a 即 2   a b      a b    b 2 0;4  0   a b    2 3 ; a b 2   12  a 2  cos   a b    || a b | |   3 a 2 3 2  a 2  3 2    6 故选： A ． 9．（5 分）若 (1 2 )x 展开式的第 3 项为 288，则 9 A．2 B．1 lim( n  1 x C． 1 2  1 2 x   的值是 ( 1 )n x ) D． 2 5 【解答】解：根据题意， (1 2 )x 展开式的第 3 项为 2 T 9 9 C 2 9 ( 2 ) x   2  36 ( 2 ) x   2  288 ，

x  ， 8 化简可得， 2 解可得， 3 2 x  ；  则 1 x lim( n  1 2 x 故选： A ．   1 n x )  ； 2 10．（5 分）如图， A 、 B 、C 是表面积为 48的球面上三点， AB  ， 2 BC  ， 4 ABC  60  ，O 为球心，则直线 OA 与截面 ABC 所成的角是 ( ) A． arcsin 3 6 B． arccos 3 6 C． arcsin 3 3 D． arccos 3 3 【解答】解：表面积为 48的球面，它的半径是 R ，则 48 4 R   2 ， 2 3 R  ，因为 AB  ， 2 BC  ， 4 ABC  60  ，所以 BAC  90  ， BC 为小圆的直径，则平面 OBC  平面 ABC ， D 为小圆的圆心，所以 OD  平面 ABC ， OAD 就是直线 OA 与截面 ABC 所成的角， OD  (2 3) 2  2 2  2 2 ， AD  ， 2 cos OAD  2 2 3  ， 3 3 故选： D ． 11．（5 分）定义在 R 上的函数 ( ) f x 满足 ( ) f x  ( f x  ，当 [3 x  ， 5] 时， ( ) f x 2) 2 |   x  ，则 ( 4 | )  A． (sin ) 6 f  f (cos  ) 6 B． (sin1) f f (cos1)

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