2005年上海高考理科数学真题及答案.doc-资料库

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2005 年上海高考理科数学真题及答案考生注意： 1．答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚. 2．本试卷共有 22 道试题，满分 150 分，考试时间 120 分钟.请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上. 一、填空题（本大题满分 48 分）本大题共有 12 题，只要求直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分. 1．函数 )( xf  log ( x  )1 4 的反函数 f  )(1 x =__________. 2．方程 x 4  x 2  2 0 的解是__________. 3．直角坐标平面 xoy 中，若定点 )2,1(A 与动点 ,( yxP ) 满足 OP  OA 4 ，则点 P 的轨迹方程是__________. 4．在 ( ax  10) 的展开式中， 7x 的系数是 15，则实数 a =__________. 5．若双曲线的渐近线方程为 y 3 x ，它的一个焦点是 0,10 ，则双曲线的方程是 __________. 6．将参数方程 x     21  y  sin2 cos  （为参数）化为普通方程，所得方程是__________. 7．计算： lim n  3 3 n 1  n  n 2 1 n   2 =__________. 8．某班有 50 名学生，其中 15 人选修 A 课程，另外 35 人选修 B 课程.从班级中任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率是__________.（结果用分数表示）中，若 A 9．在 ABC )( xf 10．函数   120 sin|2 ，AB=5，BC=7，则 ABC 的面积 S=__________. |, xx   2,0 的图象与直线 y  有且仅有两个不同的交点， k  sin x  则 k 的取值范围是__________. 11．有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为 (5,4,3 aaaa )0 .用它 2 a 们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则 a 的取值范围是__________.

12．用 n 个不同的实数 , 1  可得到 !n 个不同的排列，每个排列为一行写成一个 !n 行 aa na , , 2 的数阵 . 对第 i 行 , aa 1  ，记 i a in , , i 2 b i  a 1 i  2 a i 2  3 a i 3    )1( n na in ， i  ,3,2,1  !, n .例如：用 1，2，3 可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是 12，所以， b 1  b 2    b 6  12  2 12 3  12  24 ，那么，在用 1，2，3，4， 5 形成的数阵中， b 1    b 2  b 120 =__________. 1 1 2 2 3 3 2 3 1 3 1 2 3 2 3 1 2 1 二、选择题（本大题满分 16 分）本大题共有 4 题，每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得 4 分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分. 13．若函数 )( xf ，则该函数在  , 1   x 2 1 A．单调递减无最小值 C．单调递增无最大值上是（） B．单调递减有最小值 D．单调递增有最大值 14．已知集合  xM  || x ,2|1  Rx  P ，  x    5| x  1  ,1 Zx     ，则 PM  等于（） A． x 0|  x ,3 Zx  B． x 0|  x ,3 Zx  C． x 1|  x ,0 Zx  D． x 1|  x ,0 Zx  15．过抛物线 y 2  的焦点作一条直线与抛物线相交于 A、B 两点，它们的横坐标之和等 4 x 于 5，则这样的直线 A．有且仅有一条 B．有且仅有两条 C．有无穷多条 D．不存在（）

16．设定义域为 R 的函数 )( xf  ||,1 | lg|    x  ,0 x x   1 1 ，则关于 x 的方程 f )(2 x  )( xbf  c 0 有 7 个不同实数解的充要条件是 A． 0b 且 0c B． 0b 且 0c C． 0b 且 0c （ D． 0b 且 0c ）三、解答题（本大题满分 86 分）本大题共有 6 题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 17．（本题满分 12 分）已知直四棱柱 ABCD  DCBA 1 1 1 1 中， 1 AA 2 ，底面 ABCD 是直角梯形， ∠A 是直角，AB||CD，AB=4，AD=2，DC=1，求异面直线 1BC 与 DC 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示） 18．（本题满分 12 分）证明：在复数范围内，方程 | z 2 | 1(  ) zi 1(  ) zi  55 i  2 i  （i 为虚数单位）无解. 19．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分. 如图，点 A、B 分别是椭圆 P 在椭圆上，且位于 x 轴上方，（1）求点 P 的坐标；  1 长轴的左、右端点，点 F 是椭圆的右焦点，点 2 x 36 PA  2  y 20 PF . （2）设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点，M 到直线 AP 的距离等于 | MB ，求椭圆上的点到 | 点 M 的距离 d 的最小值.

20．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分. 假设某市 2004 年新建住房面积 400 万平方米，其中有 250 万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长 8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加 50 万平方米.那么，到哪一年底，（1）该市历年所建中低价房的累计面积（以 2004 年为累计的第一年）将首次不少于 4750 万平方米？（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%？ 21．（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分. 对定义域是 fD 、 gD 的函数 y  )(xf 、 y  )(xg ，规定：函数 )( xh  ( )( xgxf ), ( xf ), ( xg      ), 当当 Dx  当 f Dx  且 Dx  且 Dx  且 Dx  Dx  g f f g g . （1）若函数 )( xf  1  1 x ， )( xg 2  ，写出函数 )(xh 的解析式； x （2）求问题（1）中函数 )(xh 的值域；（3）若 )( xg  ( xf )  ，其中是常数，且  ,0  ，请设计一个定义域为 R 的函数 y  )(xf ，及一个的值，使得 )( xh  cos 4 x ，并予以证明. 22．（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 8 分，第 3 小题满分 6 分. 在直角坐标平面中，已知点  P 1  ,2,1   2 ,2,2   3 ,2,3  ,  n nP 2, n P 3 P 2 ，其中 n 是正整数，对平面上任一点 0A ，记 1A 为 0A 关于点 1P 的对称点， 2A 为 1A 关于点 2P 的对称点，．．．， nA 为 1nA 关于点 nP 的对称点. （1）求向量 0 AA 的坐标； 2 （2）当点 0A 在曲线 C 上移动时，点 2A 的轨迹是函数 y  )(xf 的图象，其中 )(xf 是以 3 为周期的周期函数，且当  3,0x 时， )( xf  lg x .求以曲线 C 为图象的函数在 4,1 上的解析式；（3）对任意偶数 n ，用 n 表示向量 nAA0 的坐标. 数学（理）参考答案说明 1，本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同.可参照解答

中评分标准的精神进行评分. 2．评阅试卷，应坚持每题阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分. 1 2 15 4 9．一、（第 1 题至第 12 题） 1． 4 x 1 2．x=0 3．x+2y－4=0 4． 6． ( x  )1 2  2 y  4 7．3 8． 3 7 11． 0  a 15 3 12．－1080 二、（第 13 题至 16 题） 15.B 16.C 13.A 14.B 三、（第 17 题至第 22 题） 5． 2 x 2  y 9  1 3 10． 1  k 3 17．[解法一]由题意 AB//CD， BAC1 是异面直线 BC1 与 DC 所成的角. 连结 AC1 与 AC，在 Rt△ADC 中，可得 5AC ，又在 Rt△ACC1 中，可得 AC1=3. 在梯形 ABCD 中，过 C 作 CH//AD 交 AB 于 H，得  CHB  ,90  CH  ,2 HB  CB ,3 13 又在 Rt 1CBC 中，可得 BC 1  17 ，在  , ABC 中 1 cos  ABC 1  2 AB 2 AC 1 2 BC   1 2 BC AB  1  3 17 17 ,  ABC 1  arccos 3 17 17 . ∴异而直线 BC1 与 DC 所成角的大小为 arccos 3 17 17 .

[解法二]如图，以 D 为坐标原点，分别以 AD、DC、DD1 所在直线为 x、y、z 轴建立直角坐标系. 则 C1（0，1，2），B（2，4，0）  BC 1  ),2,3,2( CD  ),0,1,0(  与设 1 BC CD 所成的角为，则 cos   BC 1 BC 1  || CD CD | |  3 17 17 .   arccos 3 17 17 , ∴异面直线 BC1 与 DC 所成角的大小为 arccos 3 17 17 . 18．[证明]原方程化简为 | z 2 | 1(  ) zi 1(  ) zi  .31 i 设 z  x yi x( 、 )Ry  ，代入上述方程得 x 2  2 y  2 xi  2 yi  .31 i     x 2 2 x   y 2 2 y   1 3 )1( )2( 将（2）代入（1），整理得 8 2 x  12 x  5 .0  16 )( xf方程 ,0 无实数解，∴原方程在复数范围内无解. 19．[解]（1）由已知可得点 A（－6，0），F（4，0）设点 P 的坐标是 ,( yx ), 则 AP { x  ,6 }, y FP  { x  },4 y ，由已知得   2 x  36   ( x  2 y 20 )(6 x  1  )4  2 y 由于 y  ,0 只能 x   3 2 , （2）直线 AP 的方程是 x  3 y .0 5 2 6  2 x  9 x  18  ,0 x  3 2 或 x  .6 2 则 0 于是 y  ,3  点 P 的坐标是 3( 2 5, 2 ).3

设点 M 的坐标是（m，0），则 M 到直线 AP 的距离是于是 | m |6  2 |  m  |,6 又  6 m  ,6 解得 m  ,2 |6 ， | m 2 椭圆上的点 ,( yx 到点 M 的距离 d 有 ) 2 d  ( x  2 )2  2 y  2 x  4 x  4 20  由于  ,6 6 x 当 x  9 2 , 时 d 取得最小值 5 9 2 x ( x  9 2 2 )  ,15  4 9 .15 20．解：（1）设中低价房面积形成数列 na ，由题意可知 na 是等差数列，其中 a1=250，d=50，则 S n  250 n  令 25 2 n  225 n  4750 , 即 2 n  9 n ( nn  2 190  )1  50  2 25 n  225 n ,  ,0 而 n 是正整数 ,  n .10 ∴到 2013 年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于 4750 万平方米. （2）设新建住房面积形成数列{bn}，由题意可知{bn}是等比数列，其中 b1=400，q=1.08，则 bn=400·(1.08)n－1 由题意可知 a n 85.0 b n 有 250+(n－1)50>400 · (1.08)n－1 · 0.85. 由计算器解得满足上述不等式的最小正整数 n=6， ∴到 2009 年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%. 21．解（1） )( xh  2  x  x    1 1 x  ( )1,  ,1(  ) x  1 （2）当 x 时 )(,1 xh   2 x x  1 1  x 1  1 x  .2 若若 x 则 ,1  )( xh  ,4 其中等号当 x=2 时成立， x 则 ,1  )( xh  ,0 其中等号当 x=0 时成立， ∴函数 )( xh 的值域 (  ]0,  }1{ ,4[  ) （3）[解法一]令 )( xf  2sin x  cos ,2 x  则 )( xg  ( xf  )   (2sin x   cos (2 x 于是 )( xh  )( xf  ( xf  )   2 x  cos 2  ) 4 (sin ,  4  )  4 )(cos x  cos 2 x  ,2sin x 2 x  )2sin x  cos .4 x

[解法二]令 1)( xf  ,2sin2 x  ，  2  2 则 )( xg  ( xf   1)  (2sin2 x  1)  ,2sin2 x 于是 )( xh  )( xf  ( xf  )   1(  1)(2sin2 x  sin21)2sin2  x 2 2 x  cos .4 x 22．[解]（1）设点 ,(0 yxA ) ，A0 关于点 P1 的对称点 A1 的坐标为 2(1 A  x 4,  y ), A1 关于点 P2 的对称点 A2 的坐标为 2(2 A  x 4,  y ) ，所以， AA 0 2 }.4,2{ （2）[解法一]  AA 2 0  },4,2{  )( xf 的图象由曲线 C 向右平移 2 个单位，再向上平移 4 个单位得到. 因此，曲线 C 是函数 y  )(xg 的图象，其中 )(xg 是以 3 为周期的周期函数，且当 x  ]1,2( , 时 )( xg  lg( x  ,4)2  当于是 , x  ]4,1( , 时 )( xg  lg( x .4)1  [解法二]设 ( xAyxA 0 ,( ), 2 , y 2 ), 2 于是    x 2 y 2   x y 2 4 若 3  x 2  ,6 0 则  x 2  ,33 于是 ( xf 2 )  ( xf 2  )3  lg( x 2  ).3 当 1  x 3 ,4 则时  x 2  .6 y  4 lg( x  ),1  当 x ]4,1{ , 时 )( xg  lg( x .4)1  （3） AA 0 n  AA 0 2  AA 2 4    AA n n 2  由于 A 2 k  2 A 2 k  2 P 2 k P 21  k , 得 AA 0 n  (2 PP 21  PP 4 3    PP n n 1  ) ，  )2,1[(2  3 )2,1(    2,1( n 1  )]  {2 n 2 n 2(2, 3  )1 2(4,{}  n  )1 }. n 3

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