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2005年上海高考文科数学真题及答案.doc
2005 年上海高考文科数学真题及答案
考生注意：
1．答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚.
2．本试卷共有 22 道试题，满分 150 分，考试时间 120 分钟.请考生用钢笔或圆珠笔将答案
直接写在试卷上.
一、填空题（本大题满分 48 分）本大题共有 12 题，只要求直接填写结果，每个空格填对得
4 分，否则一律得零分.
1．函数
)(
xf
log
(
x
)1
4
的反函数
f
)(1 x
=__________.
2．方程
x
4
x
2
2
0
的解是__________.
3．若 yx, 满足条件
x
3 ，则
y
2
x
y
z
3
x
4
y
的最大值是__________.
4．直角坐标平面 xoy 中，若定点
)2,1(A
与动点
,(
yxP
)
满足
OP
OA
4
，则点 P 的轨迹
方程是__________.
5．函数
y
cos
2
x
sin
x
cos
x
的最小正周期 T=__________.
6．若
cos ，
1
7
,0
2
，则
cos
3
=__________.
7．若椭圆长轴长与短轴长之比为 2，它的一个焦点是
2
0,15
，则椭圆的标准方程是
__________.
8．某班有 50 名学生，其中 15 人选修 A 课程，另外 35 人选修 B 课程.从班级中任选两名学
生，他们是选修不同课程的学生的概率是__________.（结果用分数表示）
9．直线
1 关于直线 1x 对称的直线方程是__________.
2
10．在 ABC
，AB=5，BC=7，则 AC=__________.
x
y
中，若
A
120
11．函数
)(
xf
sin
x
sin|2
|,
xx
2,0
的图象与直线
y 有且仅有两个不同的交点，
k
则 k 的取值范围是__________.
12．有两个相同的直三棱柱，高为
2 ，底面三角形的三边长分别为
a
(5,4,3
aaaa
)0
.用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的
情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则 a 的取值范围是__________.
二、选择题（本大题满分 16 分）本大题共有 4 题，每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个结
论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选
对得 4 分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得
零分.
13．若函数
)(
xf
1
1
x
2
，则该函数在
, 上是
（
）
A．单调递减无最小值
B．单调递减有最小值
C．单调递增无最大值
14．已知集合
xxM
||
,2|1
Rx
，
P
A．
x
0|
x
,3
Zx
C．
x
1|
x
,0
Zx
PM 等于（
）
D．单调递增有最大值
x
5|
x
B．
x
,1
Zx
1
0|
x
,3
，则
Zx
D．
x
1|
x
,0
Zx
15．条件甲：“ 1a ”是条件乙：“
a ”的
a
（
）
A．既不充分也不必要条件
B．充要条件
C．充分不必要条件
D．必要不充分条件
16．用 n 个不同的实数
1 可得到 !n 个不同的排列，每个排列为一行写成一个 !n 行
,
aa
na
,
,
2
的数阵.对第i 行
,
aa
1 ，记
i
a
in
,
,
i
2
b
i
a
1
i
2
a
i
2
3
a
i
3
)1(
n
na
in
i
，
,3,2,1
!,
n
.例如：用 1，2，3 可得数阵如图，
由于此数阵中每一列各数之和都是 12，所以，
b
1
b
2
b
6
12
2
12
3
12
24
，
那么，在用 1，2，3，4，5 形成的数阵中，
b
1
b
2
b
120
等于（
）
A．－3600
B．1800
C．—1080
D．—720
三、解答题（本大题满分 86 分）本大题共有 6 题，解答下列各题必须写出必要的步骤.
17．（本题满分 12 分）已知长方体
ABCD
DCBA
1
1
1
1
中，M、N 分别是 1BB 和 BC 的中点，
AB=4，AD=2， DB1 与平面 ABCD 所成角的大小为 60 ，求异面直线 DB1 与 MN 所成角的
大小.（结果用反三角函数值表示）
18．（本题满分 12 分）在复数范围内解方程
|
z
2
|
(
z
)
iz
3
2
i
i
（i 为虚数单位）.
19．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分.
已知函数
)(
xf
kx
b
的图象与 yx, 轴分别相交于点 A、B，
AB
2
i
2
j
（ j
i, 分别
是与 yx, 轴正半轴同方向的单位向量），函数
)(
xg
2
x
x
6
.
（1）求 bk, 的值；
（2）当 x 满足
)(
xf
)(
xg
时，求函数
1)(
xg
)(
xf
的最小值.
20．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分.
假设某市 2004 年新建住房面积 400 万平方米，其中有 250 万平方米是中低价房.预计在
今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长 8%.另外，每年新建住房中，中
低价房的面积均比上一年增加 50 万平方米.那么，到哪一年底，
（1）该市历年所建中低价层的累计面积（以 2004 年为累计的第一年）将首次不少于
4750 万平方米？
（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%？
21．（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3
小题满分 6 分.
已知抛物线
2
y
2
(
ppx
)0
的焦点为 F，A 是抛物线上横坐标为 4、且位于 x 轴上方
的点，A 到抛物线准线的距离等于 5.过 A 作 AB 垂直于 y 轴，垂足为 B，OB
的中点为 M.
（1）求抛物线方程；
（2）过 M 作
MN ，垂足为 N，求点 N 的坐标；
FA
（3）以 M 为圆心，MB 为半径作圆 M，当
(mK
)0,
是 x 轴上一动点时，
讨论直线 AK 与圆 M 的位置关系.
22．（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满
分 8 分，第 3 小题满分 6 分.
对定义域是 fD 、 gD 的函数
y
)(xf
、
y
)(xg
，规定：函数
)(
xh
()(
xgxf
),
(
xf
(
),
xg
),
当
当
Dx
当
f
Dx
且
Dx
且
f
f
Dx
且
Dx
Dx
g
g
g
.
（1）若函数
)(
xf
2
x
3
，
)(
xg
x
2
，写出函数 )(xh 的解析式；
（2）求问题（1）中函数 )(xh 的最大值；
（3）若
)(
xg
(
xf
)
，其中是常数，且
,0
，请设计一个定义域为 R 的函
数
y
)(xf
，及一个的值，使得
)(
xh
cos
2
x
，并予以证明.
参考答案
说明
1，本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同.可参照解答
中评分标准的精神进行评分.
2．评阅试卷，应坚持每题阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评
阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的
内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数
之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分.
一、（第 1 题至第 12 题）
1．
4 x
1
2．x=0
3．11
4．x+2y－4=0
5．π 6．
11
14
7．
2
x
80
2
y
20
1
8．
3
7
9．x+2y－2=0
10．3
11．
1
k
3
12．
0
a
15
3
二、（第 13 题至 16 题）
13.A 14.B
15.B 16.C
三、（第 17 题至第 22 题）
17．[解]联结 B1C，由 M、N 分别是 BB1 和 BC 的中点，得 B1C//MN
∴∠DB1C 就是异面直线 B1D 与 MN 所成的角.
联结 BD，在 Rt△ABD 中，可得
52BD
，
又 BB1⊥平面 ABCD.
∠B1DB 是 B1D 与平面 ABCD 的所成的角，
∴∠B1DB=60°.
在 Rt△B1BD 中，BB1=BDtan60°=
2
15
，
又 DC⊥平面 BB1C1C， ∴DC⊥B1C，
CDB
1
DC
CB
1
DC
2
BC
2
BB
1
1
2
在 Rt△CB1C 中，
tan
∴∠DB1C=
arctan
1
2
,
即异面直线 B1D 与 MN 所成角的大小为
arctan
1
2
.
18．解：原方程化简为
|
z
2
|
(
z
)
iz
1
i
设
z
x
Ryxyi
,(
2
x
2
y
2
xi
1
i
,
),
代入上述方程得
x
2
2
x
2
y
1
1
,
解得
x
y
1
2
3
2
,
∴原方程的解是
z
1
2
3
2
.
i
19．解：（1）由已知得
bA
(
k
),0,
,0(
bB
),
则
AB
b
},{
b
k
于是
b
k
b
2
,
2
k
b
1
.
2
（2）由
)(
xf
(
xg
),
得
x
2
2
x
x
,6
即
(
x
)(2
x
)4
,0
得
2
x
,4
1)(
xg
)(
xf
2
x
5
x
2
x
2
x
1
x
2
,5
由于
x
2
,0
则
1)(
xg
)(
xf
3
∴
1)(
xg
)(
xf
时的最小值是－3.
，其中等号当且仅当 x+2=1，即 x=－1 时成立，
20．解：（1）设中低价房面积形成数列 na ，由题意可知 na 是等差数列，
其中 a1=250，d=50，则
S n
250
n
令
25 2
n
225
n
4750
,
即
2
n
9
n
(
nn
2
190
)1
50
2
25
n
225
n
,
,0
而
n
是正整数
,
n
.10
∴到 2013 年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于 4750 万平方米.
（2）设新建住房面积形成数列{bn}，由题意可知{bn}是等比数列，
其中 b1=400，q=1.08， 则 bn=400·(1.08)n－1
由题意可知
a
n
85.0
b
n
有 250+(n－1)50>400 · (1.08)n－1 · 0.85.
由计算器解得满足上述不等式的最小正整数 n=6，
∴到 2009 年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%.
21．解：（1）抛物线
2
y
2
px
的准线为
x
p
2
,
于是
4
p
2
∴抛物线方程为 y2= 4x.
,5
p
.2
（2）∵点 A 的坐标是（4，4）， 由题意得 B（0，4），M（0，2），
又∵F（1，0）， ∴
则 FA 的方程为 y=
4
3
;
FA
FA
MN
,
k
4 （x－1），MN 的方程为
3
k
MN
3
4
2
y
,
3
4
.
x
解方程组
4
3
2
y
(
x
)1
y
,
得
x
y
8
5
4
5
N
8(
5
4,
5
).
3
4
x
（3）由题意得，圆 M 的圆心是点（0，2），半径为 2.
当 m=4 时，直线 AK 的方程为 x=4，此时，直线 AK 与圆 M 相离，
当 m≠4 时，直线 AK 的方程为
y
4
4
m
(
mx
),
即为
4
x
4(
)
ym
4
m
,0
d 解得
,2
m
1
圆心 M（0，2）到直线 AK 的距离
d
2|
m
(
16
m
|8
2)4
，令
m当
1
时，直线 AK 与圆 M 相离；
当 m=1 时，直线 AK 与圆 M 相切；
当
1m 时，直线 AK 与圆 M 相交.
22．解（1）
)(
xh
)(3
x
)2
2(
x
x
2
x
)
,1[
x
(
)1,
（2）当
)(,1
xh
2(
x
)(3
x
)2
2
x
2
7
x
6
(2
x
)(
xh
时当
)(,1
xh
x
,1
当
x
)(,
xh
取得最大值是
x 时
1
8
;
2
1
8
.
7
)
4
1
8
.
（3）[解法一]令
)(
xf
sin
x
cos
x
,
则
)(
xg
(
xf
)
sin(
x
cos(
x
于是
)(
xh
)(
xf
(
xf
)
x
sin
)
2
(cos
cos
x
sin
x
,
x
sin
x
)
cos
.2
x
,
时
7
4
2
)
2
)(cos
x
[解法二]令
1)(
xf
sin2
x
,
，
则
)(
xg
(
xf
1)
2
sin(
x
1)
sin2
x
,
于是
)(
xh
)(
xf
(
xf
)
1(
sin2
x
1)(
sin2
x
sin21)
2
x
cos
.2
x
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