2004 年北京高考理科数学真题及答案
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。第 I 卷 1 至 2 页。第 II 卷 3 至 9 页。共
150 分。考试时间 120 分钟。
注意事项:
第 I 卷(选择题 共 40 分)
1. 答第 I 卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2. 每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选
涂其他答案,不能答在试题卷上。
3. 考试结束,监考人将本试卷和答题卡一并收回。
参考公式:
三角函数的积化和差公式
sin cos
cos
sin
)
)
sin(
)]
sin(
)]
[sin(
[sin(
1
2
1
2
1
[cos(
2
1
2
cos
cos
)
cos(
)]
sin sin
[cos(
)
cos(
)]
正棱台、圆台的侧面积公式
S
台侧
( '
)
c c l
1
2
其中 c’,c 分别表示上、下底面周长, l 表示斜高或母线长
球体的表面积公式 S
2
R
球 4
其中 R 表示球的半径
一. 选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目
要求的。
{ |
(1)设全集是实数集 R, M x
2
x
}
2 , N
{ |
x x
}1 ,则 M N 等于
A. { |
x x 2
}
C. { |
x x 1
}
(2)满足条件
|
z
B. { |
x
2
x
}
1
D. { |
x
2
x
1
}
|43|
i
i
|
的复数 z 在复平面上对应点的轨迹是
A. 一条直线
B. 两条直线
C. 圆
D. 椭圆
(3)设 m、n 是两条不同的直线,,
, 是三个不同的平面,给出下列四个命题:
①若 m, n / /,则 m n
②若 / / , / / , m,则 m
③若 m / /, n / /,则 m n/ /
④若 , ,则 / /
其中正确命题的序号是
A. ①和②
B. ②和③
C. ③和④
D. ①和④
(4)如图,在正方体 ABCD A B C D
1
1
1
1 中,P 是侧面 BB C C1
1 内一动点,若 P 到直线 BC 与直线 C D1
1
的距离相等,则动点 P 的轨迹所在的曲线是
D1 C1
A1 B1
P
D C
A B
A. 直线
B. 圆
C. 双曲线
D. 抛物线
2
x
2
ax
( )
(5)函数 f x
, ]1
A. a (
(6)已知 a、b、c 满足 c
A. ab
3 在区间[1,2]上存在反函数的充分必要条件是
[ ,
2
2
D. a
,且 ac 0 ,那么下列选项中一定成立的是
b
0
)
B. c b a
B. a [ ,
a
0
C. a [ , ]1 2
(
D. ac a
C. cb
ac
)
c
ab
, ]
1
2
2
(
)
)
(
(7)从长度分别为 1,2,3,4,5 的五条线段中,任取三条的不同取法共有 n 种。在这些取法中,以
取出的三条线段为边可组成的钝角三角形的个数为 m,则
m
n
等于
A.
1
10
B.
1
5
( )
( 8 ) 函 数 f x
C.
3
10
,
x x P
,
x x M
D.
2
5
, 其 中 P 、 M 为 实 数 集 R 的 两 个 非 空 子 集 , 又 规 定
(
f P
)
{ |
y y
( ),
}
f x x P
, f M
(
)
{ |
y y
①若 P M ,则 f P
(
)
(
f M
)
②若 P M ,则 f P
(
)
(
f M
)
( ),
f x x M
,给出下列四个判断:
}
③若 P M R
,则 f P
(
④若 P M R
,则 f P
(
)
)
(
f M R
)
(
f M R
)
其中正确判断有
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
二. 填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。把答案填在题中横线上。
第 II 卷(非选择题 共 110 分)
( )
(9)函数 f x
cos
2
x
2 3
sin cos
x
x
的最小正周期是___________
(10)方程 lg(
4
x
2
)
x
lg
2
的解是___________________
lg
3
(11) 某地 球 仪上 北 纬 30 纬 线的 长 度为 12cm , 该地 球 仪的 半 径是 __________cm, 表面 积 是
______________cm2
(12)曲线 C:
x
y
cos
1
sin
(为参数)的普通方程是__________,如果曲线 C 与直线 x
0
a
y
有公共点,那么实数 a 的取值范围是_______________--
(13)在函数 f x
( )
2
ax
bx
c
中,若 a,b,c 成等比数列且 f ( )0
4 ,则 f x( ) 有最______________
值(填“大”或“小”),且该值为______________
(14)定义“等和数列”:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么这个数
列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和。
已知数列{ }an 是等和数列,且 a1
2 ,公和为 5,那么 a18 的值为______________,这个数列的前 n
项和 Sn 的计算公式为________________
三. 解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
(15)(本小题满分 13 分)
在 ABC 中, sin
A
cos
A
(16)(本小题满分 14 分)
2
2
, AC 2 , AB 3,求 tgA 的值和 ABC 的面积
如图,在正三棱柱 ABC A B C
1
1
1 中,AB=3, AA1
4 ,M 为 AA1 的中点,P 是 BC 上一点,且由 P 沿
棱柱侧面经过棱 CC1 到 M 的最短路线长为 29 ,设这条最短路线与 CC1 的交点为 N,求:
(I)该三棱柱的侧面展开图的对角线长
(II)PC 和 NC 的长
(III)平面 NMP 与平面 ABC 所成二面角(锐角)的大小(用反三角函数表示)
A1 C1
B1
M
N
A C
P
B
(17)(本小题满分 14 分)
如图,过抛物线 y
2
2
px p
(
0
) 上一定点 P( x
, )( y0
y0
0
0 ),作两条直线分别交抛物线于 A
( x y1
, ),B( x
1
, )
y2
2
(I)求该抛物线上纵坐标为
p
2
的点到其焦点 F 的距离
(II)当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时,求
y
1
y
2
y
0
的值,并证明直线 AB 的斜率是非零常数
y
P
O x
A
B
(18)(本小题满分 14 分)
( )
函数 f x( ) 是定义在[0,1]上的增函数,满足 f x
2
f x
(
2
)
且 f ( )1
1 ,在每个区间 (
1
i
2
,
1
i (i 1,
2 1
]
2……)上, y
( ) 的图象都是斜率为同一常数 k 的直线的一部分。
f x
)1
(I)求 f ( )0 及 f (
2
i 1
2
a
2
(II)设直线 x
a
1
lim(
n
, x
a
n
)
( )
记 S k
, f (
,
i
(
)(
1 2 的表达式
)1
的值,并归纳出 f
4
1
i
2 1
,求 S k( ) 的表达式,并写出其定义域和最小值
1
i
2
f x
,x 轴及 y
)
,
( ) 的图象围成的矩形的面积为 ai (i 1,2……),
(19)(本小题满分 12 分)
某段城铁线路上依次有 A、B、C 三站,AB=5km,BC=3km,在列车运行时刻表上,规定列车 8 时整
从 A 站发车,8 时 07 分到达 B 站并停车 1 分钟,8 时 12 分到达 C 站,在实际运行中,假设列车从 A 站正点
发车,在 B 站停留 1 分钟,并在行驶时以同一速度 vkm h/ 匀速行驶,列车从 A 站到达某站的时间与时刻表
上相应时间之差的绝对值称为列车在该站的运行误差。
(I)分别写出列车在 B、C 两站的运行误差
(II)若要求列车在 B,C 两站的运行误差之和不超过 2 分钟,求 v 的取值范围
(20)(本小题满分 13 分)
给定有限个正数满足条件 T:每个数都不大于 50 且总和 L=1275。现将这些数按下列要求进行分组,
每组数之和不大于 150 且分组的步骤是:
首先,从这些数中选择这样一些数构成第一组,使得 150 与这组数之和的差 r1 与所有可能的其他选择
相比是最小的, r1 称为第一组余差;
然后,在去掉已选入第一组的数后,对余下的数按第一组的选择方式构成第二组,这时的余差为 r2 ;
如此继续构成第三组(余差为 r3 )、第四组(余差为 r4 )、……,直至第 N 组(余差为 rN )把这些数全部分
完为止。
2,
(I)判断 r r
1
,
, 的大小关系,并指出除第 N 组外的每组至少含有几个数
rN
(II)当构成第 n(n
一. 选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算。每小题 5 分,满分 40 分。
2004 年普通高等学校招生全国统一考试
数学试题(理工农医类)(北京卷)参考答案
(1)A
(5)D
(2)C
(6)C
(3)A
(7)B
(4)D
(8)B
二. 填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算。每小题 5 分,满分 30 分。
(9) (10) x
20
,
x
1
1
(11) 4 3
192
(12) x
2
(
y
21
)
1
1
2
1
a
2
(13)大
-3
(14)3
当 n 为偶数时, S
n 5
2
n
;当 n 为奇数时, S
n
5
n
2
1
2
三. 解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
(15)本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识,考查运算能力。满分 13 分。
解法一:
sin
A
cos
A
2
cos(
A
45
)
2
2
cos(
A
45
)
1
2
又 0
A
180
A
45
60
,
A
tgA tg
(
45
60
)
105
1
1
3
3
2
3
sin
A
sin
105
sin(
45
60
)
sin
45
cos
60
cos
45
sin
60
6
2
4
AC AB
sin
A
1
2
2 3
2
4
6
3
4
(
2
6
)
S
ABC
1
2
解法二:
sin
A
cos
A
2
2
(sin
A
cos
A
)
2
2
sin cos
A
A
0
A
180
,
(1)
A
,cos
0
A
0
1
2
1
2
sin
(sin
A
cos
A
)
2
1 2
sin cos
A
A
3
2
sin
A
cos
A
6
2
(1)+(2)得:sin A
(1)-(2)得: cos A
(2)
6
2
4
6
2
4
tgA
sin
cos
A
A
2
4
6
4
2
6
2
3
(以下同解法一)
(16)本小题主要考查直线与平面的位置关系、棱柱等基本知识,考查空间想象能力、逻辑思维能力
和运算能力。满分 14 分。
解 :( I ) 正 三 棱 柱 ABC A B C
1
1
1 的 侧 面 展 开 图 是 一 个 长 为 9 , 宽 为 4 的 矩 形 , 其 对 角 线 长 为
2
9
2
4
97
(II)如图 1,将侧面 BB C C1
1 绕棱 CC1 旋转120 使其与侧成 AA C C1
1 在同一平面上,点 P 运动到点 P1
的位置,连接 MP1 ,则 MP1 就是由点 P 沿棱柱侧面经过棱 CC1 到点 M 的最短路线
A1 C1
B1
M
N
A
x P
C
B
x
P1
1 ,在 Rt MAP
1 中,由勾股定理得 (
3
2
x
)
2
2
29
设 PC x ,则 P C x
求得 x 2
2
2
5
PC P C
1
P C
NC
1
MA
P A
1
4
5
NC
(III)如图 2,连结 PP1 ,则 PP1 就是平面 NMP 与平面 ABC 的交线,作 NH PP 1 于 H,又 CC1 平面
ABC,连结 CH,由三垂线定理得, CH PP 1
A1 C1
B1
M
N
C
A P H P1
B
NHC 就是平面 NMP 与平面 ABC 所成二面角的平面角(锐角)
在 Rt PHC
CH PC
2
中,
PCP
1
PCH
1
2
60
1
中, tg NHC NC
CH
在 Rt NCH
故平面 NMP 与平面 ABC 所成二面角(锐角)的大小为 arctg 4
5
4
5
4
5
1
(17)本小题主要考查直线、抛物线等基本知识,考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能
力。满分 14 分
解:(I)当 y
时, x
p
8
p
2
px
2
又抛物线 y
2
的准线方程为 x
由抛物线定义得,所求距离为
p
8
(
p
2
5
p
8
p
2
)
y
P
O x
A
B
(2)设直线 PA 的斜率为 k PA ,直线 PB 的斜率为 k PB
2
由 y
1
2
px
, y
0
1
2
2
px
0
相减得 (
y
y
0
)(
y
1
y
0
)
2
(
p x
1
x
0
)
1
故 k
PA
y
x
1
1
y
x
0
0
2
p
y
0
y
1
(
x
1
x
0
)