2004年北京高考文科数学真题及答案.doc-资料库

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2004 年北京高考文科数学真题及答案本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分。第 I 卷 1 至 2 页。第 II 卷 3 至 9 页。共 150 分。考试时间 120 分钟。注意事项：第 I 卷（选择题共 40 分） 1. 答第 I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。 2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上。 3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。一. 选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）设 M  { | x 2    x 2 ， N }  { | x x  }1 ，则 M N 等于 A. { | 1 x   x } 2 （2）满足条件| z | B. { | x 2    x } 1 C. { | 1 x   x } 2 D. { | x 2    x } 1 |  3 4 的复数 z 在复平面上对应点的轨迹是 i | A. 一条直线 B. 两条直线 C. 圆 D. 椭圆（3）设 m、n 是两条不同的直线，, , 是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若 m， n / /，则 m n ②若 / / ， / / ， m，则 m ③若 m / /， n / /，则 m n/ / ④若  ，  ，则 / / 其中正确命题的序号是 A. ①和② B. ②和③ （4）已知 a、b、c 满足 c A. ab ac C. ③和④ a  0 D. ①和④   ，且 ac  0 ，那么下列选项中一定成立的是 b  0 ) B. c b a ( D. ac a C. cb ) c ab  ( 2 2 （5）从长度分别为 1，2，3，4 的四条线段中，任取三条的不同取法共有 n 种，在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的三角形的个数为 m，则 m n 等于 B. A. 0 3 4 （6）如图，在正方体 ABCD A B C D 1 4 1 2 C. D.  1 1 1 1 中，P 是侧面 BB C C1 1 内一动点，若 P 到直线 BC 与直线 C D1 1 的距离相等，则动点 P 的轨迹所在的曲线是 A 直线 B 圆 C 双曲线 D 抛物线（7）函数 f x ( )  2 x  2 ax  3 在区间［1，2］上存在反函数的充分必要条件是 D 1 D A 1 A C 1 C B 1 P B

A. a  ( , ]1 ( ) （ 8 ）函数 f x     B. a  [ , 2 , x x P  , x x M   ) C. a     [ , 2 , ] 1 ( ) D. a [ , ]1 2 ，其中 P 、 M 为实数集 R 的两个非空子集，又规定 ( f P )  { | y y  ( ), } f x x P  ， f M ( )  { | y y  ( ), f x x M  ，给出下列四个判断：其中正确的有: } ①若 P M   ，则 f P ( )  ( f M )   ②若 P M   ，则 f P ( )  ( f M )   ③若 P M R   ，则 f P ( )  ( f M R  ) ④若 P M R   ，则 f P ( )  ( f M R  ) A. 3 个 B. 2 个 C. 1 个 D. 0 个二. 填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。把答案填在题中的横线上。 ( ) （9）函数 f x  sin cos x x 的最小正周期是______________ （10）方程 lg( x 2  2 )  lg x  lg 3 的解是______________ （11）圆 x 2  ( y  21 )  1 的圆心坐标是______________，如果直线 x 那么实数 a 的取值范围是______________    0 与该圆有公共点， a y （12）某地球仪上北纬 30 纬线的长度为12cm ，该地球仪的半径是_______cm，表面积是______cm2 （13）在函数 f x ( )  2 ax  bx  c 中，若 a，b，c 成等比数列且 f ( )0 4  ，则 f x( ) 有最_______值（填“大”或“小”），且该值为______________ （14）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。已知数列{ }an 是等和数列，且 a1 2 ，公和为 5，那么 a18 的值为______________，且这个数列的前 21 项和 S21 的值为______________ 三. 解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（15）（本小题满分 14 分）在 ABC 中， sin A  cos A  2 2 ， AC  2 ， AB  3，求 tgA 的值和 ABC 的面积（16）（本小题满分 14 分）如图，在正三棱柱 ABC A B C  1 1 中，AB＝2， AA1 1 2 ，由顶点 B 沿棱柱侧面经过棱 AA1 到顶点 C1 的最短路线与 AA1 的交点记为 M，求：（I）三棱柱的侧面展开图的对角线长（II）该最短路线的长及 A M 1 的值 AM （III）平面 C MB1 与平面 ABC 所成二面角（锐角）的大小

A 1 M A C 1 B 1 C B y P O x A B （17）（本小题满分 14 分）如图，抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点 P（1，2），A（ x y1 , ），B（ x 1 , ）均在抛物 y2 2 线上。（I）写出该抛物线的方程及其准线方程（II）当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求 y 2 的值及直线 AB 的斜率 y 1 （18）（本小题满分 14 分） ( ) 函数 f x( ) 定义在［0，1］上，满足 f x  2 f x ( 2 ) 且 f ( )1 1 ，在每个区间 ( 1 i 2 , 1 i （i  1，2……） 2 1 ] 上， y  ( ) 的图象都是平行于 x 轴的直线的一部分。 f x ， f ( )1 （I）求 f ( )0 及 f ( 2 i 1 2 a   2  （II）设直线 x , 及 lim(  ， x  a 1 n 求 a a1 2 )1 的值，并归纳出 f 4 1 i 2 1  ) 的值，x 轴及 y a n ( 1 i 2 f x )( i 1 2  的表达式 ) , ,  ( ) 的图象围成的矩形的面积为 ai （i  1，2……），（19）（本小题满分 12 分）某段城铁线路上依次有 A、B、C 三站，AB=15km，BC=3km，在列车运行时刻表上，规定列车 8 时整从 A 站发车，8 时 07 分到达 B 站并停车 1 分钟，8 时 12 分到达 C 站，在实际运行中，假设列车从 A 站正点发车，在 B 站停留 1 分钟，并在行驶时以同一速度 vkm h/ 匀速行驶，列车从 A 站到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的绝对值称为列车在该站的运行误差。（I）分别写出列车在 B、C 两站的运行误差（II）若要求列车在 B，C 两站的运行误差之和不超过 2 分钟，求 v 的取值范围（20）（本小题满分 12 分）给定有限个正数满足条件 T：每个数都不大于 50 且总和 L＝1275。现将这些数按下列要求进行分组，每组数之和不大于 150 且分组的步骤是：首先，从这些数中选择这样一些数构成第一组，使得 150 与这组数之和的差 r1 与所有可能的其他选择相比是最小的， r1 称为第一组余差；然后，在去掉已选入第一组的数后，对余下的数按第一组的选择方式构成第二组，这时的余差为 r2 ；如此继续构成第三组（余差为 r3 ）、第四组（余差为 r4 ）、……，直至第 N 组（余差为 rN ）把这些数全部分完为止。 2, （I）判断 r r 1 , , 的大小关系，并指出除第 N 组外的每组至少含有几个数 rN

（II）当构成第 n（n

2004 年普通高等学校招生北京卷文史类数学试题参考答案一. 选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算。每小题 5 分，满分 40 分。1-6:DCAABDCB 二. 填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算。每小题 5 分，满分 30 分。（9）（10） x  21 , x 1  2 （11）（0，-1），1  2 1    a 2 （12）4 3 192 （13）大 -3 （14）3 52 三. 解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（15）本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，考查运算能力。满分 14 分。解法一：  sin A  cos A  2 cos( A  )45   2 2  cos( A  )45   1 2 又 0   A 180   A  45  ,60  A  105   tgA  tg 45(   )60   1 1   3 3  2 3 sin A  sin 105   sin( 45    60 )  sin  45 cos 60   cos 45  sin 60   S ABC  1 2 AC AB  sin A  1 2    2 3 2  4 6  3 4 ( 2  6 ) 解法二：sin A  cos A  2 2 6 2  4 （1）  (sin A  cos 2 ) A  1 2 sin2 A cos A  1 2 0   A  180  ,  sin A  ,0 cos A  0 (sin A  cos A ) 2   1 2 sin cos A A  3 2  sin A  cos A  6 2 （2）（1）+（2）得：sin A  6 2 4 （1）－（2）得：cos A  6 2 4  tgA  sin cos A A  2  4 6  4  2 6    2 3 （以下同解法一）（16）本小题主要考查直线与平面的位置关系、棱柱等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。满分 14 分。解：（I）正三棱柱 ABC A B C  1 1 1 的侧面展开图是长为 6，宽为 2 的矩形,其对角线长为 6 2 2 2  2 10 （II）如图，将侧面 AA B B1 1 绕棱 AA1 旋转120 使其与侧面 AA C C1 1 在同一平面上，点 B 运动到点 D

的位置，连接 DC1 交 AA1 于 M，则 DC1 就是由顶点 B 沿棱柱侧面经过棱 AA1 到顶点 C1 的最短路线，其长为 2 DC  2 CC 1  2 4  2 2  2 5   DMA   C MA 1 1 ， AM A M1  故 A M 1 AM 1 A 1 M A C 1 B 1 C B D （III）连接 DB， C B1 ，则 DB 就是平面 C MB1 与平面 ABC 的交线在 DCB 中   DBC  CBA  ABD   60   30   90  CB DB 又 C C 1 平面 CBD 由三垂线定理得 C B DB 1   C BC1 就是平面 C MB1 与平面 ABC 所成二面角的平面角（锐角）侧面 C B BC 1 是正方形   1 C BC1  45 故平面 C MB1 与平面 ABC 所成的二面角（锐角）为 45 （17）本小题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力，满分 14 分。解：（I）由已知条件，可设抛物线的方程为 y 2 2 px y P O x A B 点 P（1，2）在抛物线上  准线方程是 x  1 2 2 2 p ，得 p  2 故所求抛物线的方程是 y 1  2 4 x （II）设直线 PA 的斜率为 k PA ，直线 PB 的斜率为 k PB 则 k PA  y x 1 1   2 2 ( x 1  1 ) ， k PB  y 2 x 2   2 1 ( x 2  1 ) PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补 k   k PB PA 由 A（ x y1 , ），B（ x 1 , ）在抛物线上，得 y2 2 2 y 1 14 （1）; y x 2 2 24 x （2）  1 4  2 y 1 y 1  2  1 y 2 y 2  2 2  1 1 4  2 y 1 ( y 2  )2 y 1 y 2  4 由（1）-（2）得直线 AB 的斜率 k AB  y x 2 2   1  y x 1 4  y 1 y 2     4 4 1( x 1  x 2 ) （18）本小题主要考查函数、数列等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力。满分 14 分。解：（I）由 f ( ) 0  2 f ( ) 0 ，得 f ( )0 0 由 f ( ) 1  2 f ( 1 2 ) 及 f ( )1 1 ，得 f ( 1 2 )  1 2 f ( ) 1  1 2

同理， f 1 i 2 ( 1 4 )  x  f ) (  1 2 1  4 2 1 ( )   时， f x 2 1 i 归纳得 f 1 2 1 i  a1 ( 1 i 2  )  2  1 i 2 a2 , , 1 2 ( i   1 1 8 i   a 2 1 i  ) ( 1 i  1 2  （II）当所以{ }an 是首项为 1 2 ，公比为 1 4 的等比数列, 所以 lim(  n a 1  a 2    a n )  ( i  1 2 , ) 1 i   1 2  2 3 1 i 2 )  1 2 1 1  4 （19）本小题主要考查解不等式等基本知识，考查应用数学知识分析问题和解决问题的能力。满分 12 分。解：（I）列车在 B，C 两站的运行误差（单位：分钟）分别是 | 300 v 300 （II）由于列车在 B，C 两站的运行误差之和不超过 2 分钟，所以| v 解得 39 时，（*）式变形为当当 0  v 300 7 300 7  v 当 v  480 11 480 11 时，（*）式变形为 7  综上所述， v 的取值范围是[39， 300 v 时，（*）式变形为 7     7 300 v  480 11 2   v 480 11 2   v 00 11 480  v v 195 4 2   ] （*）  和| 7 | | 7    v 300 7  v | |   480 11 | v 480 11 2  v 300 7  v 195 4 480 11 解得解得 480 11 150 50 （20）解：（I） r 1 r 2   。除第 N 组外的每组至少含有 rN 3 个数（II）当第 n 组形成后，因为 n N ，所以还有数没分完，这时余下的每个数必大于余差 rn ，余下数之和也大于第 n 组的余差 rn ，即 L  [( 150  r 1 )  ( 150  ) r   2  ( 150  r n )]  r n r 2    由此可得 r 1 （III）用反证法证明结论，假设 N  11 ，即第 11 组形成后，还有数没分完，由（I）和（II）可知， 1 ，所以 r    r  n n L n  1 因为 ( 150 ) 1 r n r 2 r n r 1     n 1 1   150 n n L   1 余下的每个数都大于第 11 组的余差 r11 ，且 r 11 （*）因为第 11 组数中至少含有 3 个数，所以第 11 组数之和大于 37 5 3 112 5 . r11 10 故余下的每个数  . . 这与（*）式中 r11 r 11   37 5 150 112 5 . 第组数之和 37 5 150 r 10 11         r . 矛盾，所以 N  11 150 11 1275   10  37 5. , 此时第 11 组的余差

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