2010年湖南高考理科数学真题及答案.doc-资料库

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2010 年湖南高考理科数学真题及答案本试题包括选择题、填空题和解答题三部分，共 6 页．时量 120 分钟，满分 150 分．参考公式：锥体的体积公式为 V  1 3 Sh ，其中 S 是锥体的底面积， h 是锥体的高．一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合 M    1,2,3 ， N    2,3,4 ，则 A． M N C． M N   2,3 2．下列命题中的假命题．．．是 A． Rx  ， 12 x ＞ 0 B． N M D． M N   1,4 B．   ， Nx  x  2 ＞ 0 1 C． Rx  ， lg＜1 D． Rx  ， tan x  2 3．极坐标方程 cos  和参数方程 , 1 x t        2 3 y t  （t为参数）所表示的图形分别是 A．圆、直线 C．圆、圆 4．在 Rt ABC 中， C  90  ， B．直线、圆 D．直线、直线   AC  ，则 AB AC  等于 4 5． A． 16 1dx 4 x 2 A． 2ln 2  等于 B． 8 C．8 D．16 B． 2ln 2 C． ln 2 D． ln 2 6．在 ABC 中，角 A，B，C所对的边长分别为 a，b，c．若 C  120  ， c  2 a ，则 A．a＞b C．a=b B．a＜b D．a与 b的大小关系不能确定 7．在某种信息传输过程中，用 4 个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有 0 和 1，则与信息 0110 至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 A．10 B．11 C．12 D．15 8．用 min{ ba 表示 a，b 两数中的最小值，若函数 }, )( xf  min{| x ||, x  t |} 的图象关于

直线 1x 2 A．-2 对称，则 t 的值为 B．2 C．-1 D．1 二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 5 分，共 35 分.把答案填在答题卡．．．中对应题号后的横线上. 9．已知一种材料的最佳加入量在 110g 到 210g 之间.若用 0.618 法安排试验，则第一次试点的加入量可以是 . 10．如图 1 所示，过⊙O 外一点 P 作一直线与⊙O 交于 A，B 两点.已知 PA=2，点 P 到⊙O 的切线长 PT=4，则弦 AB 的长为 . 11．在区间[-1，2]上随机取一个数 x，则 | 1| x 的概率为 . 12．图 2 是求 2 1  2 2  2 3  …+100 的值的程序框图，则正整数 n  2 ． 13．图 3 中的三个直角三角形是一个体积为 20 3cm 的几何体的三视图，则 h  cm ． 14．过抛物线 2 x  2 ( py p ＞的焦点作斜率为 1 的直线与该抛物线交于 ,A B 两点， ,A B 在 0) x 轴上的正射影分别为 ,D C ．若梯形 ABCD 的面积为12 2 ，则 p  ． 15．若数列 na 满足：对任意的 n N  ，只有有限个正整数 m 使得 ma n＜成立，记这样的 m 的个数为 ( 则数列  ( )na  ，则得到一个新数列 (  )na  是 0,1,2, )na  ．例如，若数列 na 是1,2,3 ,n…， … ，  n …， … ．已知对任意的 1, Nn  ， na 2 n ，则 5( )a   ， (( na    ) ) ．三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分 12 分）

已知函数 ( ) f x  3 sin 2 x  2sin 2 x ．（Ⅰ）求函数 ( ) f x 的最大值；（II）求函数 )(xf 的零点集合. 17．（本小题满分 12 分）图 4 是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量（单位：吨）的频率分布直方图. （I）求直方图中 x 的值；（II）若将频率视为概率，从这个城市随机抽取 3 位居民（看作有放回的抽样），求月均用水量在 3 至 4 吨的居民数 X 的分布列和数学期望. 18．（本小题满分 12 分）如图 5 所示，在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，E 是棱 DD1 的中点. （I）求直线 BE 和平面 ABB1A1 所成角的正弦值；（II）在棱 C1D1 上是否存在一点 F，使 B1F//平面 A1BE？证明你的结论. 19．（本小题满分 13 分）为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距 8km 的 A，B两点各建一个考察基地．视冰川面为平面形，以过 A，B两点的直线为 x轴，线段 AB的垂直平分线为 y轴建立平面直角坐标系（图 6）．在直线 2 x  的右侧，考察范围为到点 B的距离不超过 6 5 5 km 的区域；在直线 2 x  的左侧，考察范围为到 A，B两点的距离之和不超过 4 5 km 的区域．（Ⅰ）求考察区域边界曲线的方程；（Ⅱ）如图 6 所示，设线段 1 2PP ， 2 3P P 是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动 0.2km，以后每年移动的距离为前一年的 2 倍，求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间．

20．（本小题满分 13 分）已知函数 )( xf  2 x  bx  ,( Rcbc  ) ，对任意 Rx  ，恒有 f )(' x  ( xf ). （I）证明：当 0x 时， )( xf  ( x  2c ;) （II）若对满足题设条件的任意 b，c，不等式 )( cf  )( ( cMbf  2 2  b ) 恒成立，求 M 的最小值. 21．（本小题满分 13 分）数列 { an }( *Nn  ) a 中， 1  , naa 1  是函数 f n )( x  1 3 3 x  1 2 3( a n  2 ) xn 2  2 3 xan n 的极小值点. （I）当 a=0 时，求通项 ;na （II）是否存在 a，使数列 }{ na 是等比数列？若存在，求 a 的取值范围；若不存在，请说明理由. 参考答案一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． CBAD 1—4 二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 5 分，共 35 分.把答案填在答题卡．．．中对应题号后的横 5—8 DABD 线上. 9．171.81 或 48.2 10．6 14．2 15．2， 2n 11． 2 3 12．100 13．4 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．解：（I）因为 )( xf  2sin3 x 1(  cos )2 x  sin( 2 x   6 ,1) 

x  k   ( k  时，函数 )(xf 取得最大值 1. 所以，当 2 x   6  2 k   （II）解法 1 由（I）及，即  2 )( xf 2 x   6  2 k    6 ，或 2 x 故函数 )(xf 的零点的集合为  6  ) Z 1 2 , k    ) 6  , 即 x ，所以  k    3 , k  Z } 或 x  k    3 0 得 2 k  sin( 2 x 5  6 k x  或  ,    6 |{ xx  解法 2 由 )( xf 0 得 sin32 x cos x  sin2 2 x , 于是 sin x ，或 0 3 cos  sin x 即 tan x .3 由 sin x  可知0 x  k ；由 tan x 3 可知 x  k  故函数 )(xf 的零点的集合为 |{ xx  k  或 , x  k   17．解：（I）依题意及频率分布直方图知， 0.02+0.1+x+0.37+0.39=1, 解得 x=0.12. （II）由题意知，X~B（3，0.1）. 因此  . 3 , k  3  Z } ( XP  )0  C 0 3  9.0  .0 ,729 ( XP  )1  C 1 3  9.01.0  2  .0 ,243 ( XP  )2  C 2 3  2 1.0  9.0  .0 027 , ( XP  )3  C 3 3  3 1.0  .0 001 . 故随机变量 X 的分布列为 X P 0 0．729 1 0．243 2 0．027 3 0．001 X 的数学期望为 EX=3×0.1=0.3. 18．解法 1 设正方体的棱长为 1，如图所示，以 AB , AD , AA 1 为单位正交基底建立空间直角坐标系. （I）依题意，得 B（1，0，0），E（ 1,1,0 2 ）， A（0，0，0），D（0，1，0），所以 BE 1,1,1(  2 ), AD  ).0,1,0( 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，因为 AD⊥平面 ABB1A1，所以 AD 是平面 ABB1A1 的一个法向量，设直线 BE 和平面 ABB1A1 所成的角为，则 sin   | BE | BE   | AD | AD | |   2 3 . 1  1 3 2

2 即直线 BE 和平面 ABB1A1 所成的角的正弦值为 . 3 BE ),1,0,1( （II）依题意，得 ),1,0,0(  BA 1 A 1 ) 1,1,1(  2  BAn  1 设 n  ,( ), zyx 是平面 A1BE 的一个法向量，则由 ,0 BEn   0 ，得  x z  y x     0 1 2 z  ,0 所以 x  , yz  1 2 z . 取 z 得 ,2  n  )2,1,2( 设 F 是棱 C1D 上的点，则 F（t，1，1） 0(  t ).1 又 ),1,0,1(1B 所以 FB 1 (  t  ).0,1,1 D 而 FB1 平面 A1BE，于是 B1F//平面 A1BE  nFB 1  ( t 0 )2,1,2()0,1,1   01)1 (2 t 0 t  1 2 F 为 C1D1 的中点，这说明在棱 C1D1 上存在点 F（C1D1 的中点），使 B1F//平面 A1BE. 解法 2（I）如图（a）所示，取 AA1 的中点 M，连结 EM，BM.因为 E 是 DD1 的中点，四边形 ADD1A2 为正方形，所以 EM//AD. 又在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，AD⊥平面 ABB1A1，所以 EM⊥平面 ABB1A1，从而 BM 为直线 BE 在平面 ABB1A1 上的射影，∠EBM 为 BE 和平面 ABB1A1 所成的角. 2 2  2 2  2 1  .3 于是，设正方体的棱长为 2，则 EM=AD=2， EM BE 在 BEM EBM Rt sin 中，   BE 2 3  . 2 即直线 BE 和平面 ABB1A1 所成的角的正弦值为 . 3 （II）在棱 C1D 上存在点 F，使 B1F//平面 A1BE.

事实上，如图（b）所示，分别取 C1D1 和 CD 的中点为 F，G，连结 EG，BG，CD1，FG.因 A1D1//B1C1//BC，且 A1D1=BC，所以四边形 A1BCD1 是平行四边形，因此，D1C//A1B.又 E，G 分别为 D1D，CD 的中点，所以 EG//D1C，从而 EG//A1B，这说明 A1，B，G，E，共面，所以 BG  平面 A1BE. 因四边形 C1CDD1 与 B1BCC1 皆为正方形，F，G 分别为 C1D1 和 CD 的中点，所以 FG//C1C//B1B，且 FG=C1C=B1B，因此四边形 B1BGF 是平行四边形，所以 B1F//BG，而 B1F  平面 A1BE，BG  平面 A1BE，故 B1F//平面 A1BE. 19．解：（I）设边界曲线上点 P 的坐标为 ,( yx ). 当 2x 时，由 | PA |  PB | 54|  知，点 P 在以 A，B，为焦点，长轴长为 2 a 54 的椭圆上，此时短半轴长 b )52( 2  2 4  .2 因而其方程为 2 x 20 2  y 4  .1 故考察区域边界曲线（如图）的方程为 C 1 (: x  2 )4  2 y  36 5 ( x  )2 和 2 xC : 20 2  2 y 4  (1 x  ).2 （II）设过点 P1，P2 的直线为 1l ，过点 P2，P3 的直线为 2l ，则直线 2 1,l l 的方程分别为 y  3 x  ,14 y  .6 设直线l 平等于直线 1l ，其方程为 y  3 mx  , 代入椭圆方程 2 x 20 2  y 4  ,1 消去 y，得 2 16 x  10 3 mx  2 (5 m  )4  0 由  100  3 m 2  4 16  (5 m 2  )4  ,0 解得 m=8，或 m=-8 从图中可以看出，当 m=8 时，直线l 与 C2 的公共点到直线 1l 的距离最近，此时直线l 的方程为 y  3 x 与 ,8 l l 1 之间的距离为 d 14| |8  31   .3

又直线 2l 到 C1 和 C2 的最短距离 d 6'  56 5 , 而 d 3'  ，所以考察区域边界到冰川边界的线的最短距离为 3. 设冰川边界线移动到考察区域所需的时间为 n 年，则由题设及等比数列求和公式，得 )1 n 2(2.0 12   3 ，所以 .4n 故冰川界线移动到考察区域所需的最短时间为 4 年. 20．解：（I）易知 f )(' x  2 . bx  由题设，对任意的 bxRx   2, 2 x  bx  c , 即 2 x  ( b  )2 x  bc 0 恒成立，所以 ( b  2 )2  (4 bc  )  0 ，从而 c 2  b 4  .1 于是 c  ,1 且 c  2 2 b 4 |1  b |, 因此 2 bc  c ( bc  )  .0 故当 0x 时，有 ( x  2 c )  )( xf  2( ) xbc   ( cc  )1  0 即当 0x 时， )( xf  ( x  2c .) （II）由（I）知， c  | b .| 当 c  时，有 | b | )( cfM 2 c    )( vf 2 b c  令 t  则 1  t 而函数  2 1 , b c )( tg 2 2 2  b  c  2 b c  cb  1(  t ,1 1  t bc 2 b 2  b  .2 b c  cb   2 1  . t 1 )1 的值域是 ( 3, 2 ). 因此，当 x  时，M 的取值集合为 | b | 3    2 ,  .   当 c  时，由（I）知， | b | b  ,2  c .2 此时 )( cf  )( bf  从而 )( cf  )( bf  ,08 或 3 2 c (  2 2 c 2  b  ,0 2 b ) 恒成立.

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