2006年北京高考理科数学真题及答案.doc-资料库

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2006 年北京高考理科数学真题及答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 9 页，共 150 分。考试时间 120 分钟。考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷（选择题共 40 分）注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡。 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试卷上。一、本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）在复平面内，复数 1 i  i 对应的点位于（A）第一象限（C）第三象限  （2）若 a （B）第二象限（D）第四象限     a c 都是非零向量，则“ a b     与b c ”是“  a    ( b c   ) ”的（A）充分而不必要条件（C）充分必要条件（B）必要而不充分条件（D）既不充分也不必要条件（3）在1,2,3,4,5 这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有（A）36 个（C）18 个（B）24 个（D）6 个（4）平面的斜线 AB 交于点 B ，过定点 A 的动直线l 与 AB 垂直，且交于点C ，则动点C 的轨迹是（A）一条直线（C）一个椭圆 (3 a     （5）已知 ( ) f x （B）一个圆（D）双曲线的一支  , x x 4 , a x 1   1 是(   上的减函数，那么 a 的取值范围是 ) , x 1)  log a （A） (0,1) 1 1 , 7 3 （C） [ ) （B）（D） ) 1(0, 3 1[ ,1) 7 （ 6 ）在下列四个函数中，满足性质：“ 对于区间 (1,2) 上的任意 1 ( x x x 1 , 2 x ， ) 2 | ( f x 1 )  ( f x （A） ( ) f x  （C） ( ) f x  ) | |  2 1 x 2x x 2  恒成立”的只有 x 1 | （B）  f x  | x | （D） ( ) f x 2 x

（7）设   2 2 4  7 2  10 2    2 3 n 10  ( n N  ) ( ) f n 2 (8 7 2 (8 7 （A）（C） n  1) 3 n  1) ，则 ( ) f n 等于 2 (8 7 2 (8 7 n  1 n  1) 1) 4 （B）（D）（8）下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口 , ,A B C 的机动车辆数如图所示，图中 1 x x x 分别表示该时段单位时间通过路段   , , AB BC CA , , 2 3 的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则 20，30；35，30；55，50 x （A） 1  x 2  x 3 x （B） 1  x 3  x 2 x （C） 2  x 3  x 1 x （D） 3  x 2  x 1 第Ⅱ卷（共 110 分）注意事项： 1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。把答案填在题中横线上。 2 x （9） lim 1 x  2 的值等于__________________. 3 x   2 1 x  72 ) x （12）在 ABC （13）已知点 ( , B A 中，若sin :sin :sin C  y x     y x    1 x   P x y 的坐标满足条件 ) （10）在 ( x  的展开式中， 2x 的系数中__________________（用数字作答）. （11）若三点 (2,2), A ( ,0), B a C b ab  共线，则 (0, )( 0)  的值等于_________________. 1 a 1 b 5: 7 :8 ，则 B 的大小是______________. 4 ，点O 为坐标原点，那么| |PO 的最小值等于_______,最大值等于____________. （14）已知 , ,A B C 三点在球心为O ，半径为 R 的球面上，AC BC ，且 AB R ，那么 ,A B 两点的球面距离为_______________，球心到平面 ABC 的距离为______________.

三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（15）（本小题共 12 分）已知函数 ( ) f x  1  2 sin(2 cos x x   ) 4 ，（Ⅰ）求 ( ) f x 的定义域；（Ⅱ）设是第四象限的角，且 tan （16）（本小题共 13 分）   ，求 ( f  的值. ) 4 3 已知函数 ( ) f x  3 ax 2  bx  在点 0x 处取得极大值 5 ，其导函 cx 数 y  f '( ) x 的图象经过点 (1,0) ， (2,0) ，如图所示.求：（Ⅰ） 0x 的值；（Ⅱ） , ,a b c 的值. （17）（本小题共 14 分）如图，在底面为平行四边表的四棱锥 P ABCD  中， AB AC ， PA  平面 ABCD ，且 PA AB ，点 E 是 PD 的中点. （Ⅰ）求证： AC PB ；（Ⅱ）求证： //PB 平面 AEC ；（Ⅲ）求二面角 E AC B   的大小. （18）（本小题共 13 分）某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案. 方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过. 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是 , ,a b c ，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响. （Ⅰ）分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率；（Ⅱ）试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小.（说明理由）（19）（本小题共 14 分）

已知点 ( 2,0), M  N (2,0) ，动点 P 满足条件| PM | PN | | 2 2  .记动点 P 的轨迹为W . （Ⅰ）求W 的方程；   （Ⅱ）若 ,A B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA OB 的最小值. （20）（本小题共 14 分）在数列{ }na 中，若 1 ,a a 是正整数，且 2 a n |  a n 1   a n  2 |, n  3,4,5,  ，则称 { }na 为“绝对差数列”. （Ⅰ）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）；（Ⅱ）若“绝对差数列”{ }na 中， 20 a 3, a 21  ，数列{ }nb 满足 0 b n  a n  a n 1   a n  2 ， n  1,2,3,  ，分别判断当 n   时， na 与 nb 的极限是否存在，如果存在，求出其极限值；（Ⅲ）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项. 2006 年北京高考理科数学真题参考答案一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）（1）D （5）C （2）C （6）A （3）B （7）D （4）A （8）C 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）（9）（1） 1 2 1 2 （10）－14 （12）  3 （13） 2 10 （14） R 1 3 3 2 R 三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分）（15）（共 12 分）

解：（Ⅰ）由 cosx≠0 得 x  k    2 ( k  Z ) 故 f(x)的定义域为    x  k    2 , k  Z   （Ⅱ）因为 tan a 4 3 ，且 a 是第四象限的角。所以 sin a 4 5 ， cos a 故 )( af  1  2 a  sin( cos 2 a 3 5  ) 4 2 2 cos )2 a 2(2 2  2sin a cos a 2 cos a 2sin a  cos a sin2 a  cos a sin a  ) a a cos a 1  1  2 cos 2 (cos 2 14 5      （16）（共 13 分）解法一：（Ⅰ）由图象可知，在（－∞，1）上 f  x )(  0 ，在（1，2）上 f  x )(  0 ，在（2，＋∞）上 f  x )(  0 故 )(xf 在（－∞，1），（2，＋∞）上递增，在（1，2）上递减。因此 )(xf 在 x=1 处取得极大值，所以 0 x 1 。（Ⅱ） f  )( x  2 3 ax  2 bx  c 由 f  )1(  ,0 f  )2(  ,0 f )1(  ,5

得 2 3 cb a     12 4 a cb     5 cba   0 0 解得 a=2，b= -9，c=12 解法二：（Ⅰ）同解法一。（Ⅱ）设 f  )( x  ( xm  )(1 x  )2  mx 2  3 mx  2 m 又 f  )( x  3 ax 2  2 bx  c bma ,  所以  3 2 , cm  ,2 m 3  3 2 2 mx  2 mx 3 xm 3 )( xf  由 f )1(  5 m  2 m  5 即 m 3  3 2 得 m=6 所以 a=2，b= -9，c=12 （17）（共 14 分）解法一：（Ⅰ）∵PA⊥平面 ABCD ∴AB 是 PB 在平面 ABCD 上的射影又∵AB⊥AC，AC  平面 ABCD， ∴AC⊥PB （Ⅱ）连接 BD，与 AC 相交于 O，连接 EO。 ∵ABCD 是平等四边形， ∴O 是 BD 的中点，又 E 是 PD 的中点，

∴EO∥PB 又 PB  平面 AEC，EO  平面 AEC， ∴PB∥平面 AEC。（Ⅲ）取 BC 中点 G，连接 OG，则点 G 的坐标为 ( ba 2 2 , 又 0 E  ,0(  bb , 2 2 ), AC  )0,0,( a 0, ）， OG b ，＝（ 2 0 )0, ∴ 0 ACE   0,0 ACG   0 ∴OE⊥AC，OG⊥AC ∴∠EOG 是二面角 E-AC-B 的平面角。 ∵ cos EOG  cos  0,0 GE  0 0 GE 0 0 GE    2 2 ∴  EOG  135  ∴二面角 E  AC  B 135 的大小为  （18）（共 13 分）解：记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为 A，B，C，则  AP    , BPa    , CPb   c （Ⅰ）应聘者用方案一考试通过的概率 p  1 ab  ab     CBAP CBAPCBAPCBAP        1 1 bc c a    2 bc ca abc       b    abc  ac   1          应聘者用方案二考试通过的概率 p   1 3  ab 2 1 3  CBP     CAP   1 3 1 3  BAP     bc  ca

（Ⅱ）因为 , cba ,  1,0 所以 p 1  p 2  2 3 c   ab  bc  ca   2 abc   bc  1   a  ca  1    b  0  2 3 p 故 1  ab  1  p 2 即采用第一种方案，该应聘者考试通过的概率较大。（19）（共 14 分）解法一：（Ⅰ）由 PM  PN 22 知动点 P 的轨迹是以 M，N 为焦点的双曲线的右支，实半轴长 2a 又半焦距 c=2，故虚半轴长 b  2 c  2 a  2 所以 W 的方程为 2 x 2  2 y 2  ,1 x  2 （Ⅱ）设 A，B 的坐标分别为（ 1, yx ），（ 1 2, yx 2 ）当 AB  , x 轴时 x 1  x 2 , y 1  y , 2 从而 , OA OB  xx 21  yy 1 2  2 x 1  2 y 1  2 当 AB 与 x 轴不垂直时，设直线 AB 的方程为 y=kx+m，与 W 的方程联立，消去 y 得：  1   2 xk 2  2 kmx  2 m  2 0 故 x 1  x 2  2 km 2 1 k  , xx 21  2 2 m k   2 1 所以 OA  OB  xx 21  yy 1 2

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