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2006年北京高考文科数学真题及答案.doc
2006 年北京高考文科数学真题及答案
一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分）
1．（5 分）设集合 { | 2
A
x
x
1 3}
， { | 3
B
x
，则 A B 等于 (
2}
x
)
A．{ | 3
x
x
1}
B．{ |1
x
x
2}
C．{ |
x x
3}
D．{ |
x x
1}
2．（5 分）函数 1 cos
y
A．关于 x 轴对称
C．关于原点对称
x
的图象 (
)
B．关于 y 轴对称
3．（5 分）若 a 与 b
都是非零向量，则“ a b
c
”是“ (
a c
a
”的 (
)
)
D．关于直线
x
对称
2
b c
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
4．（5 分）在 1，2，3，4，5 这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为
奇数的共有 (
)
A．36 个
B．24 个
C．18 个
D．6 个
5．（5 分）已知
( )
f x
(3
a
log
1)
x
,
x x
a
4 ,
a x
1
1
是 (
上的减函数，那么 a 的取值范围是 (
)
,
)
A． (0,1)
C． 1 1
,
7 3
6．（5 分）如果 1 ， a ， b ， c ， 9 成等比数列，那么 (
B． 1(0,
3
)
[
D． 1[
7
,1)
)
)
A． 3
b ，
ac
9
B．
b ，
3
ac
9
C． 3
b ，
ac
9
D．
b ，
3
ac
9
7．（5 分）设 A 、 B 、 C 、 D 是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是 (
)
A．若 AC 与 BD 共面，则 AD 与 BC 共面
B．若 AC 与 BD 是异面直线，则 AD 与 BC 是异面直线
C．若 AB AC ， DB DC ，则 AD BC
D．若 AB AC ， DB DC ，则 AD BC
8．（5 分）如图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口 A ，
B ， C 的机动车辆数如图所示，图中 1x ， 2x ， 3x 分别表示该时段单位时间通过路段
,
AB BC CA 的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出
,
的车辆数相等），则 (
)
x
A． 1
x
2
x
3
x
B． 1
x
3
x
2
x
C． 2
x
3
x
1
x
D． 3
x
2
x
1
二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分）
9．（5 分）若三点 (2,2)
， ( ,0)
B a ， (0,4)
C
共线，则 a 的值等于
．
A
72
)
x
10．（5 分）在
(
x
的展开式中， 3x 的系数是
．（用数字作答）
11．（5 分）已知函数 ( )
f x
x
a
4
a
的反函数的图象经过点 ( 1,2)
，那么 a 的值等于
3
．
12．（5 分）已知向量 (cos
a
,sin )
夹角的大小是
．
b
， (cos
,sin )
，且 a
b
，那么 a
与 a b
b
的
13 ．（ 5 分 ） 在 ABC
中 ， A ， B ， C 所 对 的 边 长 分 别 为 a ， b ， c ． 若
， B 的大小是
．
4
y
x
y x
1
x
，点 O 为坐标原点，那么|
|PO 的最小值
sin : sin : sin
A
B
C
5 : 7 :8
，则 :
a b c
:
14．（5 分）已知点 ( ,
P x y 的坐标满足条件
)
等于
，最大值
等于
．
三、解答题（共 6 小题，满分 80 分）
15．（12 分）已知函数
( )
f x
（Ⅰ）求 ( )
f x 的定义域；
x
1 sin 2
cos
x
（Ⅱ）设是第四象限的角，且
tan
，求 (
f 的值．
)
4
3
16．（13 分）已知函数
( )
f x
3
ax
2
bx
在点 0x 处取得极大值 5，其导函数
cx
y
的图
( )
f x
象经过点 (1,0) ， (2,0) ，如图所示，求：
（Ⅰ） 0x 的值；
（Ⅱ） a ， b ， c 的值．
17．（14 分）如图，
ABCD A B C D
1
1 1
1
是正四棱柱．
（Ⅰ）求证： BD 平面
ACC A ；
1 1
（Ⅱ）若二面角 1C BD C
的大小为 60 ，求异面直线 1BC 与 AC 所成角的大小．
18．（13 分）某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案．
方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；
方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．
假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是 a ， b ， c ，且三门课程考试是否及格
相互之间没有影响．
（Ⅰ）分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率；
（Ⅱ）试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小．（说明理由）
19．（14 分）已知椭圆
2
2
x
a
2
2
y
b
1(
a b
的左、右焦点分别为 1F ， 2F ，点 P 在此椭圆上，
0)
PF
且 1
F F
1
2
， 1
PF ， 2
PF ．
|
|
|
4
3
|
14
3
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线 l 过圆 2
x
2
y
4
x
2
y
的圆心 M 且交椭圆于 A ， B 两点，且 A ， B 关于点
0
M 对称，求直线 l 的方程．
20．（14 分）设等差数列{ }na 的首项 1a 及公差 d 都为整数，前 n 项和为 nS ．
（Ⅰ）若 11
a ， 14
S ，求数列{ }na 的通项公式；
98
0
（Ⅱ）若 1 6a
， 11
a ， 14 77
S ，求所有可能的数列{ }na 的通项公式．
0
2006 年北京高考文科数学真题参考答案
一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分）
1．（5 分）设集合 { | 2
A
x
x
1 3}
， { | 3
B
x
，则 A B 等于 (
2}
x
)
A．{ | 3
x
x
1}
B．{ |1
x
x
2}
C．{ |
x x
3}
D．{ |
x x
1}
， { | 3
B
，
2}
x
x
【解答】解：
A
{ | 2
x
x
1 3} { |
x x
1}
A B
{ | 3
x
x
1}
故选： A ．
2．（5 分）函数 1 cos
y
x
的图象 (
)
A．关于 x 轴对称
C．关于原点对称
【解答】解：余弦函数 cos
y
B．关于 y 轴对称
D．关于直线
x
对称
2
x
是偶函数
函数 1 cos
y 是偶函数，故关于 y 轴对称，
故选： B ．
3．（5 分）若 a 与 b
都是非零向量，则“ a b
c
”是“ (
a c
a
b c
”的 (
)
)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
【解答】解： a b
a c
D．既不充分也不必要条件
a c
a b
(
a b c
0
) 0
a
(
b c
，
)
由于本过程可逆，
故选： C ．
4．（5 分）在 1，2，3，4，5 这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为
奇数的共有 (
)
A．36 个
B．24 个
C．18 个
D．6 个
【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题，
各位数字之和为奇数的有两类：
①两个偶数一个奇数：有 1
C A 个；
3
18
3
3
②三个都是奇数：有 3
A 个．
3
6
根据分类计数原理知共有18 6
个．
24
故选： B ．
5．（5 分）已知
( )
f x
(3
a
log
1)
x
,
x x
a
4 ,
a x
1
1
是 (
上的减函数，那么 a 的取值范围是 (
)
,
)
A． (0,1)
B． 1(0,
3
)
C． 1 1
,
7 3
[
)
D． 1[
7
,1)
【解答】解：依题意，有 0
解得
0
a ，
1
3
1a 且 3
a ，
1 0
又当 1x 时， (3
a
1)
x
4
a
7
a
1
，
当 1x 时， log
a x ，
0
因为 ( )
f x 在 R 上单调递减，所以 7
a
解得 1
a
7
1 0
综上： 1
7
a
1
3
故选： C ．
6．（5 分）如果 1 ， a ， b ， c ， 9 成等比数列，那么 (
)
A． 3
b ，
ac
9
B．
b ，
3
ac
9
C． 3
b ，
ac
9
D．
b ，
3
ac
9
ac ，
( 9) 9
( 1)
【解答】解：由等比数列的性质可得
b b 且 b 与奇数项的符号相同，
9
b ，
3
故选： B ．
7．（5 分）设 A 、 B 、 C 、 D 是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是 (
)
A．若 AC 与 BD 共面，则 AD 与 BC 共面
B．若 AC 与 BD 是异面直线，则 AD 与 BC 是异面直线
C．若 AB AC ， DB DC ，则 AD BC
D．若 AB AC ， DB DC ，则 AD BC
【解答】解： A 显然正确； B 也正确，因为若 AD 与 BC 共面，则必有 AC 与 BD 共面与条
件矛盾
C 不正确，如图所示：
D 正确，用平面几何与立体几何的知识都可证明．
故选： C ．
8．（5 分）如图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口 A ，
B ， C 的机动车辆数如图所示，图中 1x ， 2x ， 3x 分别表示该时段单位时间通过路段
,
AB BC CA 的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出
,
的车辆数相等），则 (
)
x
A． 1
x
2
x
3
x
B． 1
x
3
x
2
x
C． 2
x
3
x
1
x
D． 3
x
2
x
1
x
【解答】解：依题意，有 1
50
x
3
55
x
3
，
5
，
x
3
x
1
x
同理， 2
30
x
1
20
x
1
10
，
x
2
x
1
x
同理， 3
30
x
2
35
x
2
5
x
3
x
2
故选： C ．
二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分）
9．（5 分）若三点 (2,2)
A
【解答】解：
AB
(
a
C
B a ， (0,4)
， ( ,0)
AC
( 2,2)
，
2, 2)
共线，则 a 的值等于 4 ．
，
依题意，向量 AB
与 AC
共线，
故有 2(
a
2) 4 0
，
得 4
a
故答案为 4
10．（5 分）在
(
x
的展开式中， 3x 的系数是 84 ．（用数字作答）
72
)
x
【解答】解：
rT
1
r
C x
7
7
r
2(
x
r
)
( 2)
r
r
C x
7
7 2
r
，
令 7 2
r
，
3
解得 2
r ，
2
故所求的系数为 2
( 2)
C
7
84
故答案为 84
11．（5 分）已知函数 ( )
f x
x
a
4
a
2 ．
的反函数的图象经过点 ( 1,2)
，那么 a 的值等于
3
【解答】解：依题意，点 ( 1,2)
在函数 ( )
f x
x
a
4
a
的反函数的图象上，
3
则点 (2, 1) 在函数 ( )
f x
x
a
4
a
的图象上
3
将 2
x ，
y ，代入
1
y
x
a
4
a
中，解得 2
a
3
故答案为：2
12．（5 分）已知向量 (cos
a
,sin )
夹角的大小是
2
．
b
， (cos
,sin )
，且 a
b
，那么 a
与 a b
b
的
【解答】解：
a b
(cos
cos
sin )
,sin
a b
，
(cos
cos
sin )
,sin
，
a b
(
) (
a b
)
(cos
cos
)(cos
cos
)
(sin
sin )
sin )(sin
cos
2
cos
2
sin
2
sin
2
的夹角为，
设 a
1 1 0
与 a b
b
0 ，
2
，
则 cos
故
故答案为：
2
．
13 ．（ 5 分 ） 在 ABC
中 ， A ， B ， C 所 对 的 边 长 分 别 为 a ， b ， c ． 若
sin : sin : sin
A
B
C
5 : 7 :8
，则 :
a b c
:
【解答】解：由正弦定理得 sin : sin : sin
B
A
:
a b c
:
5 : 7 :8
5: 7 :8 ， B 的大小是
．
C
5 : 7 :8
设 5
k ， 7
a
b
由余弦定理
k ， 8
k ，
c
2
2
c
a
2
ac
B
cos
2
b
2
25
k
2
49
k
2
64
k
2 5 8
k k
1
2
．
B
3
故答案为： 5: 7 :8 ，
3
14．（5 分）已知点 ( ,
P x y 的坐标满足条件
)
4
y
x
y x
1
x
，点 O 为坐标原点，那么|
|PO 的最小值
等于 2 ，最大值
等于
．
【解答】解：画出可行域，如图所示：易得 (2,2)
A
，
OA
2 2 (1,3)
B
，
OB
10
； (1,1)
C ，
OC
2
故|
|OP 的最大值为 10 ，
最小值为 2 ．
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