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期末考试评分标准的数学模型.doc

发布时间：2022-06-09 发布人：admin 分类：说明书 资料大小：0.14M 资料格式：doc 举报 版权申诉
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    大学期末考试评分标准的数学模型 20080931 邓志静 过控 0801 杨小勇 过控 0801 陈东平 过控 0801
    大学期末考试与高中的考试存在很大的不同之处，大学的期末考试成绩是主要分为两 个部分：平时成绩和期末考试成绩。平时成绩和期末考试成绩总分一般为一百分，然而平时 成绩与期末考试成绩所占的比例不同会导致出现不同的局面。同学会因为平时成绩与期末考 试成绩所占的比例不同而偏重与不同的方面。为此，我们可以用一个数学模型来描述这种大 学期末考试评分标准的合理性，从定性和定量的角度对大学期末考试评分标准的合理性做出 判断。这里我们讲用稳定性模型来解决这个问题。我将用层次分析法来建立一个数学模型。 当然影响期末考试成绩的因素是错综复杂的，很难用数学工具给以圆满的解释这个评分原则 的合理性，这个模型只不过告诉我们，一个复杂的实际过程可以被合理的简化到什么程度， 得到的结果又怎样用来判断这个评分标准的合理性。我将用层次分析模型来判断大学期末考 试评分标准的合理性。 层次分析法的基本思路与人们对于一个复杂的决策问题的思路，判断过程大体上是一样 的。这里需要解决的是大学的期末考试评分标准合理性的问题。 而大学期末考试的最终成绩是分为两个部分的：平时成绩和期末考试成绩。平时成绩 又可以细分为三个方面：平时上课出勤率，上课时的表现和作业完成情况。期末考试成绩则 主要决定与同学的认真程度，由于在每个人的智力不一样，所以这与不同人的智力高低有一 定的关系。 一.建立层次结构模型 大学期末考试合理性的判断 平时考试成绩 期末考试成绩 上 课 出 勤 率 上 课 的 表 现 完 成 作业 智 力 因素 学 习 态度 学 习 方法 平 时 ： 期 末 =2 ：8 平 时 ： 期 末 =3 ：7 平 时 ： 期 末 =4 ：6
    下面我们来分层次。我们将决策问题分为四个层次，最上层为目标层，即判断大学期 末考试评分标准的合理性。第二层为结构层，即构成目标的结构有两个：平时成绩和期末考 试成绩。最下层为方案层，有 P1 、P2、P3 三个供选择的方案，P1 表示期末考试成绩中平时 成绩与期末考试成绩的比例为 2 ：8，P2 表示平时成绩与期末考试成绩的比例为 3 ：7，P3 表示平时成绩与期末考试成绩的比例为 4 ：6. 中间层为准则层。教育首先要同学去听课，所以上课率是一个准则；需要同学上课听 讲，则需要同学上课认真听讲，所以上课的表现是一个准则；然后需要学生听懂之后能够运 用知识解决问题或者对于没听懂的学生要他们自己看书学习，则课后的作业也应该是一个准 则。 对于平时成绩的准则大概就是以上的三个方面，对于期末考试的准则有点复杂。首先 期末考试是为了检查学生的学习情况而不是为了考倒学生，所以学生的考试及格率非常重 要，期末考试的另外一个作用是敦促一些平时学习不是很认真的同学，他们平时或许听课比 较没听懂，对于所学习的知识没有很明白，考试就是要出一些书上的知识，使得这些同学能 够抓住最后的机会复习一下所学的知识，弄清楚学习了什么。这与每个人的智力水平有关， 有些同学智力比较高，老师讲了一下他们的反应会快一点能够听懂，会很快明白其中的原理， 而一些同学的反应要慢一些，只要是老师不是讲得很透彻的话，他们就很难明白过来，这种 现象是普遍存在的。所以每个人的智力是一个很重要的准则，或者说一个人的反应快慢是一 个很重要的准则。 像那些平时不用怎么认真听课的，只需要在考试前几天看一下书就能考得比较高分数 的人，对他们来说如果期末考试成绩能够占很大比例的话他们将会又很大的优势，而对于那 些靠平时学习的积累，期末前几天的复习不是很重要的同学，期末考试占太大的比例对他们 来说将不是很好。 二.构造成比较阵 按照 Saaty 等人的做法，不把所有的因素放在一起比较，而是两两相互对比，采用相对 尺度。 现在做正反矩阵。设上课出勤率为 C1，上课的表现为 C2，完成作业的情况为 C3，智 力因素为 C4，学习态度为 C5，学习方法为 C6。 如果是按照平时成绩与期末考试成绩比例为 3：7 的比例的话，那么平时成绩的三个部 分：出勤率、上课时的表现和完成作业的情况将各占十分，即 出勤率：上课时的表现：完成作业的情况 = 1：1：1 C1：C2：C3 = 1：1：1 对于期末考试成绩的 70 分，由于智力因素认为无法改变，并且可以通过其他途径来弥 补，所以智力因素可以占 20 分。我们把学习态度定为 30 分，因为在任何时候态度是很重要 的。然后学习方法可以为 20 分，因为学习方法对于应付考试来说很有效果，一些同学可以 找到相关资料针对性的复习，专门看考试的重点。学习方法还应该包括考试的方法，当然一 定有一部分同学用不诚信的方式来对待考试，用考试作弊来得到好的成绩。但是学习当中还 是有一些灵活的方法可以用的，不能只是死板地读书，所以我们认为学习方法可以站到 20 分左右。 这样我们可以算出影响期末考试成绩的三个因素的重要性： 智力因素：学习态度：学习方法 = 2：3：2 即：
    C4：C5：C6 = 2：3：2 这样我们可以计算出矩阵的每一个值： a11 = C1 = 1 a12  a13 = a14 = a15 = a16 = 1  C 1 2 C 1  C 1 3 C 1  1 C 4 2 C 1  1 C 5 3 C 1  1 C 6 2 C 由于 aij= 1 jia ，即相对于对角线对称的两个数的乘积等于 1，所以不用求出每一个矩阵元 素的值，只需要将上半部分求出来，然后对称的部分变为其倒数，就可以求出整个矩阵的所 有元素。 A23= A24= A25 = A26 = A34 = A35 = A36 = A45 = A46 = A56 = 2  C 3 C 2  C 4 C 2  C 5 C 2  C 6 C 3  C 4 C 3  C 5 C 3  C 6 C 4  C 5 C 4  C 6 C 5  C 6 C 1 1 2 1 3 1 2 1 2 1 3 1 2 2 3 1 3 2 要比较第三层六个因素 C1、C2、C3、C4、C5、C6 对上层因素的影响，每次选取两个因 素 Ci 和 Cj，用 aij 表示 Ci 和 Cj 对上层因素的影响之比，全部比较结果可以用对比矩阵来 表示： A =（aij）6*6，aij >0, aji = 1 aij
    表示。由于上式给出的 aij 的特点，A 成为正反矩阵。 显然必有 aii = 1.因为 C1、C2、 C3、C4、C5、C6 分别表示上课出勤率、上课的表现、完成作业的情况、智力因素、学习态 度和学习方法六个准则，我们用成对比较法（做 C26 = 矩阵（正反矩阵）为： 5*6 2 = 15 次对比）得到的成对比较 A =                  1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 3 3 1 1 2 2 1 2 1 3 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 3 1 1 2 3 1 1 2 3 2 1 3 1 2 3 1                  3 2 1 3 2 三.计算权向量并做一致性检验 得到的成对比较阵是一致阵，像上式中的 A，自然应取对应与特征根 n 的、归一化的 特征向量（即分量之和为 1）表示诸因素 C1、C2、C3、C4、C5、C6 对上层因素的权重，这 个向量称为权向量。一般来说成对比较阵不是一致阵，但在不一致的允许范围内，Saaty 等 人建议用对应于 A 的最大特征根（记作）的特征向量（规划后）作为权向量，即满 足的方程为： A =  直观的看，因为矩阵 A 的特征根和特征向量连续地依赖于矩阵的元素 aij ，所以当 aij 离 一致性不远时，A 的特征根和特征向量也与一致性的相差不大。上式表示的方法称为又成对 比较阵求权向量的特征法。求和的简便算法和特征根法更深入的意义，具体到这个问题 的方法如下： 由上式： A =  可以得到： (A —*E) * = 0 因为 为一个不为 0 的列向量，所以要使上式(A — *E) * = 0 成立，必需要 使 A —*E = 0 成立。 于是得到一下一个向量，并且他的膜等于 0
                     - 1 -1  - 1 - 1 1    - 1   - - 1  1 2 1 - 3 1 2 1 1  1  2 1 -  3 1  2 1 2 1 3 1  2  - - - - - - - -  1 2 1  2 1  2 - 1  -   1 3 1 3 1 3 2 3 1     2 3 - - - - - 1   1 2 1  2 1 2 1                               3 2 1    3 2 - 下面来计算这个向量的膜 = 0 1 3 1 2 1 3 2 3 1 2 1 2 计算结果为： 5 36 得： = 1 或  = 1 2 — （1 - ）2（  ）2 = 0 （1-）6 + （1 - ）2（  ）2（  ）（  ） + （1 - ）2（  ）2 1 2 2 3 （  ）2 + （  ）4（  ）2 + （1 - ）2（  ）2（  ）2 + （1-）2 （  ）2（  ） — （  ）4（  ）2 —（1 - ）2（  ）2 1 2 1 3 ）（  3 2 2 3 3 2 1 3 1 2 1 3 （  ）2 —（1 - ）2（  ）2（  ）2 —（1-）6 —（1 - ）2（  ）2 （  ）2 —（1 - ）2（  ）2（  ）2 = 0 有几个部分是一样的，可以直接约掉，约掉后的结果为： （1 - ）2（  ）2（  ）（  ） +（1-）2（  ）（  ） —（1 - ）2（  ）2（  ）2 —（1 - ）2（  ）2（  1 2 ）2（  2 3 ）2 = 0 2 3 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 2 1 3 3 2 1 2 1 2 2 3 3 2 1 2 我们要求的是最大特征根，因此 = 1 此时我们可以根据求出的的值来求出矩阵(A —*E)中的每个元素的数值，然后把 这些数值组成的矩阵就是矩阵(A —*E)。 然后用求出来的矩阵(A —*E)根据关系： (A —*E) * = 0 便可以求出特征向量
    (A —*E) =                  1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 3 3 1 1 2 2 1 2 1 3 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 3 1 1 2 3 1 1 2 3 2 1 3 1 2 3 1                  3 2 1 3 2
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